八年級數(shù)學上冊 15.2《完全平方公式(一)》教案 新人教版_第1頁
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文檔簡介

1、15.2 完全平方公式(一) 教學目標 (一)教學知識點 1完全平方公式的推導及其應用 2完全平方公式的幾何解釋 (二)能力訓練要求 1經歷探索完全平方公式的過程,進一步發(fā)展符號感和推理能力 2重視學生對算理的理解,有意識地培養(yǎng)學生的思維條理性和表達能力 (三)情感與價值觀要求 在靈活應用公式的過程中激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣,培養(yǎng)創(chuàng)新能力和探索精神 教學重點 完全平方公式的推導過程、結構特點、幾何解釋,靈活應用 教學難點 理解完全平方公式的結構特征并能靈活應用公式進行計算 教學方法 自主探索法 有了平方差公式的學習基礎,學生可以在教師引導下自主探索完全平方公式,最后達到靈活、準確應用公式的目的

2、教具準備 投影片 教學過程 提出問題,創(chuàng)設情境 請同學們探究下列問題: (出示投影片) 一位老人非常喜歡孩子每當有孩子到他家做客時,老人都要拿出糖果招待他們來一個孩子,老人就給這個孩子一塊糖,來兩個孩子,老人就給每個孩子兩塊塘, (1)第一天有a個男孩去了老人家,老人一共給了這些孩子多少塊糖? (2)第二天有b個女孩去了老人家,老人一共給了這些孩子多少塊糖? (3)第三天這(a+b)個孩子一起去看老人,老人一共給了這些孩子多少塊糖? (4)這些孩子第三天得到的糖果數(shù)與前兩天他們得到的糖果總數(shù)哪個多?多多少?為什么? (1)第一天老人一共給了這些孩子a2糖 (2)第二天老人一共給了這些孩子b2糖

3、 (3)第三天老人一共給了這些孩子(a+b)2糖 (4)孩子們第三天得到的糖塊總數(shù)與前兩天他們得到的糖塊總數(shù)比較,應用減法即: (a+b)2(a2+b2) 我們上一節(jié)學了平方差公式即(a+b)(a-b)=a2-b2,現(xiàn)在遇到了兩個數(shù)的和的平方,這倒是個新問題 老師很欣賞你的觀察力,這正是我們這節(jié)課要研究的問題 導入新課 能不能將(a+b)2轉化為我們學過的知識去解決呢? 可以我們知道a2=aa,所以(a+b)2=(a+b)(a+b),這樣就轉化成多項式與多項式的乘積了 像研究平方差公式一樣,我們探究一下(a+b)2的運算結果有什么規(guī)律 (出示投影片) 計算下列各式,你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律? (1)(

4、p+1)2=(p+1)(p+1)=_; (2)(m+2)2=_; (3)(p-1)2=(p-1)(p-1)=_; (4)(m-2)2=_; (5)(a+b)2=_; (6)(a-b)2=_ (1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=p2+p+p+1=p2+2p+1 (2)(m+2)2=(m+2)(m+2)=m2+2m+m2+22=m2+4m+4 (3)(p-1)2=(p-1)(p-1)=p2+p(-1)+(-1)p+(-1)(-1)=p2-2p+1 (4)(m-2)2=(m-2)(m-2)=m2+m(-2)+(-2)m+(-2)(-2)=m2-4m+4 (5)(a+b)2=(a+b)(a+b)

5、=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2 (6)(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2 我還發(fā)現(xiàn)(1)結果中的2p=2p1,(2)結果中4m=2m2,(3)、(4)與(1)、(2)比較只有一次項有符號之差,(5)、(6)更具有一般性,我認為它可以做公式用 大家分析得很好可以用語言敘述嗎? 兩數(shù)和(或差)的平方等于這兩數(shù)的平方和再加(或減)它們的積的2倍 它是一個完全平方的形式,能不能叫完全平方公式呢? 很有道理它和平方差公式一樣,使整式運算簡便易行于是我們得到完全平方公式: 文字敘述:兩數(shù)和(或差)的平方,等于它們的平方和,加(或減)它們的積的2倍

6、符號敘述:(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 其實我們還可以從幾何角度去解釋完全平方差公式 (出示投影片)你能根據圖(1)和圖(2)中的面積說明完全平方公式嗎? 先看圖(1),可以看出大正方形的邊長是a+b 還可以看出大正方形是由兩個小正方形和兩個矩形組成,所以大正方形的面積等于這四個圖形的面積之和 陰影部分的正方形邊長是a,所以它的面積是a2;另一個小正方形的邊長是b,所以它的面積是b2;另外兩個矩形的長都是a,寬都是b,所以每個矩形的面積都是ab;大正方形的邊長是a+b,其面積是(a+b)2于是就可以得出:(a+b)2=a2+ab+b2這正好符合完全平方公式

7、 那么,我們可以用完全相同的方法來研究圖(2)的幾何意義了 如圖(2)中,大正方形的邊長是a,它的面積是a2;矩形DCGE與矩形BCHF是全等圖形,長都是a,寬都是b,所以它們的面積都是ab;正方形HCGM的邊長是b,其面積就是b2;正方形AFME的邊長是(a-b),所以它的面積是(a-b)2從圖中可以看出正方形AEMF的面積等于正方形ABCD的面積減去兩個矩形DCGE和BCHF的面積再加上正方形HCGM的面積也就是:(a-b)2=a2-2ab+b2這也正好符合完全平方公式 數(shù)學源于生活,又服務于生活,于是我們可以進一步理解完全平方公式的結構特征現(xiàn)在,大家可以輕松解開課時提出的老人用糖招待孩子

8、的問題了 (a+b)2-(a2+b2) =a2+2ab+b2-a2-b2=2ab于是得孩子們第三天得到的糖果總數(shù)比前兩天他們得到的糖果總數(shù)多2ab塊 應用舉例: 出示投影片: 應用完全平方公式計算: (1)(4m+n)2 (2)(y-)2 (3)(-a-b)2 (4)(b-a)2 運用完全平方公式計算: (1)1022 (2)992 分析:利用完全平方公式計算,第一步先選擇公式;第二步準確代入公式;第三步化簡 解: (1)(4m+n)2=(4m)2+24mn+n2 (a+b)2=a2+2ab+b2 =16m2+8mn+n2 (2)方法一: (y-)2=y2-2y+()2 (a-b)2=a2-2

9、ab+b2 =y2-y+ 方法二:(y-)2 =2=y2+2y(-)+(-)2 (a+b)2=a2+2ab+b2 =y2-y+ (3)(-a-b)2=(-a)2-2(-a)b+b2=a2+2ab+b2 (4)(b-a)2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2 從(3)、(4)的計算可以發(fā)現(xiàn): (a+b)2=(-a-b)2,(a-b)2=(b-a)2 解:(1)1022=(100+2)2 =1002+21002+22 =10000+400+4 =10404 (2)992=(100-1)2 =1002-21001+12 =10000-200+1 =9801 請同學們總結完全平方公式的結構特征 公式的左邊是一個二項式的完全平方;右邊是三項,其中有兩項是左邊二項式中

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