2.1圓的標準方程

1、,圓的標準方程,黃石三中 曹旗,一、創(chuàng)設情境,美麗的“圓”,驚險的“弧線”,大型摩天輪,隧道的“包容”,公園一隅,共享單車,二、引入新課,問題1: 在上一節(jié)中，我們已經在平面直角坐標系下，研究了直線與方程。 一條直線可以用一個二元一次方程來表示，反過來，一個二元一次方程也可以表示一條直線，我們可以通過研究方程來得到直線的性質。 那么，我們熟悉的圓也可以用一個方程來表示嗎？,問題2 我們初中已初步學習了圓，請同學們回憶，我們是如何定義圓呢？,要確定一個圓，需要兩個要素：,圓心和半徑,圓的定義：平面內，到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓。,圓心,半徑,A,M,設M為圓心為A，半徑為r ( ) 的

2、圓上的一個動點，那么動點M滿足的條件是：,|MA|=r,r,三、探究新知,問題: 在直角坐標系下，設圓的圓心A坐標為 ，半徑為 （其中 、 、 都是常數(shù)， ）， 你能得到圓的方程嗎？,y,設M為圓心為A，半徑為r的圓上的一個動點， 那么動點M滿足的條件是：,|MA|=r,解：設圓上任一點M坐標為,根據(jù)圓的定義，圓就是集P=M|MA|=r,點M在圓上,M(x,y) 適合上述方程,圓的標準方程,y,x,O,M,圓心A(a,b),半徑r,注：1.方程是關于x，y的二元二次方程； 2.括號內變量x,y的系數(shù)都是1,展開后沒有xy項； 3.方程右邊是半徑的平方，而不是半徑。,兩點間距離公式,平方,加油,

3、快問快答,（1）說出下列方程所表示的圓的圓心坐標和半徑： (x + 7)2 + ( y 4)2 = 36 (x a)2 + y 2 = m2 （ ）, 2x2 + 2y2 1 = 0,圓心：（-7，4），半徑：6,圓心：（a，0），半徑：,圓心：（0，0），半徑：,x2 + y2 =,加油,（2）說出下列圓的方程 經過點P(5,1)，圓心在點C(8,-3) 圓心為原點,半徑為3,特別的， 當圓的圓心為原點，圓的標準方程為：,當圓的圓心為原點且r=1時，圓的方程為：,單位圓,快問快答,例 寫出圓心為 ，半徑長等于5的圓的方程，并判斷點 ， 是否在這個圓上。,解：圓心是 ，半徑長等于5的圓的標準方

4、 程是：,四、新知應用,把點 的坐標代入方程 左右兩邊相等，即點的坐標適合圓的方程，所以 在這個圓上；,把點 的坐標代入方程 左右兩邊不相等，即點的坐標不適合圓的方程，所以 不在這個圓上。,追問： 是在圓內？還是圓外？,點與圓的位置關系,A,A,A,M,M,M,設|MA|=d，圓半徑為r,點在圓上,點在圓內,點在圓外,d=r,dr,dr,y,y,y,思考： 是在圓內？還是圓外？,d=|M2A|=,點M2 在圓外,平方,你發(fā)現(xiàn)了什么？,比較,怎樣判斷點 在圓 圓上？圓內？還是在圓外呢？,A,x,y,o,M3,五、新知歸納,特殊,一般,點在圓上,點在圓內,點在圓外,試一試：點 與圓 的位置關系是_

5、,點P在圓上或圓外,(x0-a)2+(y0-b)2r2,(x0-a)2+(y0-b)2 =r2,(x0-a)2+(y0-b)2r2,代數(shù)問題,幾何問題,幾何問題代數(shù)化,六、例練探析,例 的三個頂點的坐標是 ， 求它的外接圓的方程。,六、例練探析,例 的三個頂點的坐標是 ， 求它的外接圓的方程。,法一 解：設所求圓的方程是,因為 都在圓上，所以它們的坐標都滿足此方程。于是,六、例練探析,例 的三個頂點的坐標是 ， 求它的外接圓的方程。,思考：還有別的解法嗎？,D,E,M,六、例練探析,例 的三個頂點的坐標是 ， 求它的外接圓的方程。,解法一：設所求圓的方程是,因為 都在圓上，所以它們的坐標都滿足

6、此方程。于是,所以， 的外接圓方程為,代數(shù)法,待定系數(shù)法,解法二: 因為 ，所以線段 的中點 的坐標為 ， 直線 的斜率 。,因此線段 的垂直平分線 的方程 ，,同理，可得線段 的垂直平分線 的方程是 。,圓心 的坐標是方程組 的解。,解此方程組，得 ，所以圓心 的坐標是 。,半徑長為,所以， 的外接圓的方程為 。,即 。,幾何法,數(shù),形,精確計算,完美展現(xiàn),數(shù)形結合,歸納思考,上面第二種解法，用的是什么方法？和法一相比，有什么不同？,幾何法,特別地，若圓心為O(0,0),則圓的標準方程為：,2、點與圓的位置關系,3、求圓的標準方程的方法, 幾何法：數(shù)形結合, 代數(shù)法：待定系數(shù)法,1、圓的標準方程,圓心C(a,b),半徑r,七、課堂小結,知識上,思想方法上,1、“坐標法”思想,坐標法是研究幾何問題的重要方法，通過坐標系，把點和坐標、曲線和方程聯(lián)系起來，實現(xiàn)了形和數(shù)的統(tǒng)一。,2、“數(shù)形結合”思想,幾何問題代數(shù)化,數(shù)缺形時少直觀， 形缺數(shù)時難入微； 數(shù)形結合百般好， 隔離分家萬事休。 華羅庚,笛卡爾,數(shù)與形,