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文檔簡介
1、導數在研究函數中的應用,1、單調性的步驟: (1) 求函數的定義域;(2)求出函數的導函數; (3)求解不等式f (x)0,其解集為單調遞增區(qū)間;求解不等式f(x)0,其解集為單調遞減區(qū)間.,復習引入,用導數法確定函數的,2、極值的步驟: (1)確定函數的定義域;(2)求導數f(x);(3)求方程f(x) =0的全部解;(4)檢查f(x)在f(x) =0的根左.右兩邊值的符號,如果左正右負(或左負右正),那么f(x)在這個根取得極大值或極小值,3、最值的步驟: (1) 求f(x)在區(qū)間(a,b)內極值(極大值或極小值); (2) 將y=f(x)的各極值與f(a)、f(b)(端點處)比較,其中最
2、大的一個為最大值,最小的一個最小值.,例1:已知函數 (1)求 的單調減區(qū)間 (2)若 在區(qū)間 上的最大值為 , 求該區(qū)間上的最小值,所以函數的單調減區(qū)間為,解:,令 解得,當 變化時, 的變化情況如下表:,(舍去),最小值為,所以函數的最大值為 ,最小值為,例2、已知函數 在點 處取得極大值5,其導函數 的圖像(如圖)過點(1,0),(2,0), 求:(1) 的值;(2)a,b,c的值;,.,(2),數形結合以及函數與方程思想的應用,函數 在 時有極值10,則a,b的值為( ) A、 或 B、 或 C、 D、 以上都不對,C,注意:f/(x0)=0是函數取得極值的必要不充分條件,注意代入檢驗
3、,,,練習:,例3、設函數f(x)=lnx-2ax. (1)若函數yf(x)的圖象在點(1,f(1)處的切線為直線l,且直線l與圓(x1)2y21相切,求a的值; (2)當a0時,求函數f(x)的單調區(qū)間.,解:(1)依題意有, 因此y=f(x)在點(1,f(1)處的切線的斜率為12a, 又f(1)2a,y=f(x)在點(1,f(1)處的切線方程為 y2a(12a)(x1).即(2a1)xy10 又已知圓的圓心為(1,0),半徑為1, 依題意, 解得,例3、設函數f(x)=lnx-2ax. (1)若函數yf(x)的圖象在點(1,f(1)處的切線為直線l,且直線l與圓(x1)2y21相切,求a的
4、值; (2)當a0時,求函數f(x)的單調區(qū)間.,(2)由題意知f(x)lnx2ax的定義域為(0,), 又知 ,又a0,x0,令 所以在 時,f(x)lnx2ax是增函數; 在 時,f(x)lnx2ax是減函數. 所以當a0時,函數f(x)的單調增區(qū)間是 函數f(x)的單調減區(qū)間是,例4、已知函數f(x)=x3+ax2+bx+c在 與x=1處都取得極值.(1)求a,b的值與函數f(x)的單調區(qū)間. (2)若對x-1,2,不等式f(x)c2恒成立, 求c的取值范圍.,所以函數f(x)的單調遞增區(qū)間是 與(1,+),單調遞 減區(qū)間是,(2) 當 為極大值,而 所以f(2)=2+c為最大值,要使f
5、(x)f(2)=2+c,得c2.,本例中,把條件“f(x)c2恒成立”改為“f(x)c2恒成立”,求c的取值范圍.,例5、已知函數 ,(1)當a0時,求函數f(x)的單調區(qū)間;(2)若函數f(x)在1,e上的最小值是 求a的值.,解:函數 的定義域為(0,+), (1)a0,故函數在(0,+)上是單調遞增的.,(2)在1,e上,分如下情況討論: 當a0,函數f(x)單調遞增,其最小值為 f(1)= a1,這與函數在1,e上的最小值是 相矛盾; 當a=1時,函數f(x)在(1,e上單調遞增,其最小值為 f(1) =1,同樣與最小值是 相矛盾;,當10,單調遞增,所以函數f(x)滿足最小 值為,例5、已知函數 ,(1)當a0時,求函數f(x)的單調區(qū)間;(2)若函數f(x)在1,e上的最小值是 求a的值.,當a=e時,函數f(x)在1,e)上有f(x)0,單調遞減,其最小值為f(e)=2,還與最小值是 相矛盾;,當ae時,顯然函數f(x)在1,e上單調遞減,其最小值為,仍與最小值是 相矛盾;
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