3.3.2利用導數研究函數的極值 (2).ppt

1、導數在研究函數中的應用,1、單調性的步驟： (1) 求函數的定義域；（2）求出函數的導函數； （3）求解不等式f (x)0，其解集為單調遞增區(qū)間；求解不等式f(x)0，其解集為單調遞減區(qū)間.,復習引入,用導數法確定函數的,2、極值的步驟: (1)確定函數的定義域；(2)求導數f(x)；(3)求方程f(x) =0的全部解；(4)檢查f(x)在f(x) =0的根左.右兩邊值的符號,如果左正右負(或左負右正),那么f(x)在這個根取得極大值或極小值,3、最值的步驟： (1) 求f(x)在區(qū)間(a,b)內極值(極大值或極小值)； (2) 將y=f(x)的各極值與f(a)、f(b)(端點處)比較,其中最

2、大的一個為最大值，最小的一個最小值.,例1：已知函數 (1)求 的單調減區(qū)間 (2)若 在區(qū)間 上的最大值為 , 求該區(qū)間上的最小值,所以函數的單調減區(qū)間為,解:,令 解得,當 變化時, 的變化情況如下表:,（舍去）,最小值為,所以函數的最大值為 ,最小值為,例2、已知函數 在點 處取得極大值5,其導函數 的圖像(如圖)過點（1,0）,（2,0）, 求：（1） 的值；（2）a,b,c的值；,.,(2),數形結合以及函數與方程思想的應用,函數 在 時有極值10，則a，b的值為（ ） A、 或 B、 或 C、 D、 以上都不對,C,注意：f/(x0)=0是函數取得極值的必要不充分條件,注意代入檢驗

3、,，,練習：,例3、設函數f(x)=lnx-2ax. (1)若函數yf(x)的圖象在點(1，f(1)處的切線為直線l，且直線l與圓(x1)2y21相切，求a的值； (2)當a0時，求函數f(x)的單調區(qū)間.,解：(1)依題意有， 因此y=f(x)在點(1，f(1)處的切線的斜率為12a， 又f(1)2a，y=f(x)在點(1，f(1)處的切線方程為 y2a(12a)(x1).即(2a1)xy10 又已知圓的圓心為(1,0)，半徑為1， 依題意， 解得,例3、設函數f(x)=lnx-2ax. (1)若函數yf(x)的圖象在點(1，f(1)處的切線為直線l，且直線l與圓(x1)2y21相切，求a的

4、值； (2)當a0時，求函數f(x)的單調區(qū)間.,(2)由題意知f(x)lnx2ax的定義域為(0，)， 又知 ，又a0，x0，令 所以在 時，f(x)lnx2ax是增函數； 在 時，f(x)lnx2ax是減函數. 所以當a0時，函數f(x)的單調增區(qū)間是 函數f(x)的單調減區(qū)間是,例4、已知函數f(x)=x3+ax2+bx+c在 與x=1處都取得極值.(1)求a,b的值與函數f(x)的單調區(qū)間. (2)若對x-1,2，不等式f(x)c2恒成立， 求c的取值范圍.,所以函數f(x)的單調遞增區(qū)間是 與(1,+),單調遞 減區(qū)間是,(2) 當 為極大值，而 所以f(2)=2+c為最大值，要使f

5、(x)f(2)=2+c，得c2.,本例中，把條件“f(x)c2恒成立”改為“f(x)c2恒成立”，求c的取值范圍.,例5、已知函數 ，(1)當a0時，求函數f(x)的單調區(qū)間；(2)若函數f(x)在1,e上的最小值是 求a的值.,解：函數 的定義域為(0,+), (1)a0,故函數在(0,+)上是單調遞增的.,(2)在1,e上，分如下情況討論： 當a0，函數f(x)單調遞增，其最小值為 f(1)= a1，這與函數在1,e上的最小值是 相矛盾； 當a=1時，函數f(x)在(1,e上單調遞增，其最小值為 f(1) =1，同樣與最小值是 相矛盾；,當10，單調遞增，所以函數f(x)滿足最小 值為,例5、已知函數 ，(1)當a0時，求函數f(x)的單調區(qū)間；(2)若函數f(x)在1,e上的最小值是 求a的值.,當a=e時，函數f(x)在1,e)上有f(x)0，單調遞減，其最小值為f(e)=2，還與最小值是 相矛盾；,當ae時，顯然函數f(x)在1,e上單調遞減，其最小值為,仍與最小值是 相矛盾；