數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模ppt課件.ppt

1、數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模,1,主要內(nèi)容,1.什么是數(shù)學(xué)模型？ 1.1基本概念 1.2特點(diǎn)和分類 2.如何數(shù)學(xué)建模？ 2.1方法和步驟 2.2示例 3.為什么數(shù)學(xué)建模？ 3.1現(xiàn)實(shí)意義 3.2個(gè)人收獲,2,1.什么是數(shù)學(xué)模型？,數(shù)學(xué) 模型 數(shù)學(xué)模型,3,自 然 離 不 開(kāi) 數(shù) 學(xué),1、圓形蜘蛛網(wǎng)是一個(gè)簡(jiǎn)單漂亮的數(shù)學(xué)創(chuàng)造,2、蜂巢,消耗最少的材料和最少的“工時(shí)”巴黎科學(xué)院院士、瑞士數(shù)學(xué)家克尼格,3、在礦物結(jié)構(gòu)中，可以找到許多更為奇妙的空間圖形,4,社 會(huì) 離 不 開(kāi) 數(shù) 學(xué),5,宇宙之大，粒子之微，火箭之速，華工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，數(shù)學(xué)無(wú)處不在，凡是有“量”和“形”的地方就少不了用數(shù)學(xué)，

2、研究量（或形）的關(guān)系、量（或形）的變化、量（或形）的變化關(guān)系、量（或形）的關(guān)系的變化等問(wèn)題都離不開(kāi)數(shù)學(xué)作為語(yǔ)言工具 。,著名數(shù)學(xué)家 華羅庚,任何應(yīng)用問(wèn)題，一旦建立起了數(shù)學(xué)的模型，就會(huì)立即顯現(xiàn)出解決問(wèn)題的清晰途徑和通向勝利的一線曙光。,馬克思教導(dǎo)我們：,一門學(xué)科只有成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí)，才算達(dá)到了完善的地步！,6,玩具、照片、飛機(jī)、火箭模型 , 實(shí)物模型,我們常見(jiàn)的模型,7,玩具、照片、飛機(jī)、火箭模型 , 實(shí)物模型,水箱中的艦艇、風(fēng)洞中的飛機(jī) , 物理模型,我們常見(jiàn)的模型,地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖 , 符號(hào)模型,8,玩具、照片、飛機(jī)、火箭模型 , 實(shí)物模型,水箱中的艦艇、風(fēng)洞中的飛機(jī) , 物理模型,

3、地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖 , 符號(hào)模型,模型是為了一定目的，對(duì)客觀事物的一部分進(jìn)行簡(jiǎn)縮、 抽象、提煉出來(lái)的原型的替代物，集中反映了原型中 人們需要的那一部分特征。,我們常見(jiàn)的模型,9,模型,物質(zhì)模型（形象模型）,理想模型（抽象模型）,直觀模型,物理模型,思維模型,符號(hào)模型,數(shù)學(xué)模型,模型的分類,10,“1”是最簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型。,那些我們所熟知的數(shù)學(xué)模型,設(shè)水池的總?cè)萘繛?。兩臺(tái)抽水機(jī)同時(shí)工作所需要時(shí)間為,例 兩臺(tái)不同功率的抽水機(jī)向一個(gè)大水池中注水。如果第一臺(tái)抽水機(jī)單獨(dú)工作，4小時(shí)可以將水池注滿；如果第二臺(tái)抽水機(jī)單獨(dú)工作，6小時(shí)可以將水池注滿?，F(xiàn)在由兩臺(tái)抽水機(jī)同時(shí)工作，需要多長(zhǎng)時(shí)間注滿水池？,（

4、小時(shí)）,11,弧度制是對(duì)角大小的另一種度量方式，弧度制的基本原理與平面相似形有關(guān)。,1,扇形,相似于扇形,因此，可以用扇形弧長(zhǎng)與半徑之比來(lái)確定圓心角。,比如，當(dāng)扇形的弧長(zhǎng)與半徑之比為,時(shí)，對(duì)應(yīng)的圓心角是直角；,時(shí)，對(duì)應(yīng)的圓心角是平角（扇形剛好是半圓）.,當(dāng)扇形的弧長(zhǎng)與半徑之比為,弧度制的主要特點(diǎn)是只用數(shù)就可以表示角的大小，并不需要在弧度值的后面再加量綱（名數(shù)）。 引入角的弧度制實(shí)際上是數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，這種數(shù)學(xué)模型恰是關(guān)于幾何圖形的數(shù)學(xué)模型。,12,方程是表現(xiàn)等量關(guān)系的數(shù)學(xué)模型,那些我們所熟知的數(shù)學(xué)模型,例 一百匹馬，一百塊瓦，大馬馱仨，小馬馱倆，馬仔倆馱一塊。問(wèn)大馬、小馬、馬仔各幾何。,解 設(shè)

5、大馬，小馬，馬仔分別為,匹，應(yīng)有,分別消去 和 可得,這是一個(gè)不完全方程組的求整數(shù)解問(wèn)題丟番圖問(wèn)題。,13,“點(diǎn)”、“面”、“線”抽象化的數(shù)學(xué)模型,那些我們所熟知的數(shù)學(xué)模型,1726年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（17011783）受聘于沙俄科學(xué)院，后來(lái)出任數(shù)學(xué)部主任。1736年秋天，歐拉收到來(lái)自東普魯士首都哥尼斯堡（今屬奧地利）的一封信，哥尼斯堡大學(xué)的學(xué)生在來(lái)信中向他請(qǐng)教的是下面一個(gè)問(wèn)題。,布勒格爾河橫穿市區(qū)，哥尼斯堡大學(xué)的校園就坐落于新舊河道交匯處。校園附近有一個(gè)小島，七座小橋分別連通著河岸、小島和半島。傍晚前后，學(xué)生們?nèi)齼蓛傻厣⒉接谛u上與河岸邊。,有人突發(fā)奇想，能不能在一個(gè)晚上走遍這七座橋而每座

6、橋又都只通過(guò)一次呢？,哥尼斯堡七橋問(wèn)題,14,哥尼斯堡是條頓騎士在1380年建立的，作為日耳曼勢(shì)力最東端的前哨達(dá)四百年之久。第二次世界大戰(zhàn)以后，他被更名為加里寧格勒，成為前蘇聯(lián)最大的海軍基地。今天，哥尼斯堡位于立陶宛與波蘭之間，加里寧格勒現(xiàn)仍屬俄羅斯。,15,作為一筆畫(huà)過(guò)程，應(yīng)該只有一個(gè)起點(diǎn)和一個(gè)終點(diǎn)，并且起點(diǎn)和終點(diǎn)應(yīng)該是奇節(jié)點(diǎn)，而其它點(diǎn)都是通過(guò)點(diǎn)，并只能是偶節(jié)點(diǎn),歐拉在草紙上勾畫(huà)出示意圖。在他看來(lái)，問(wèn)題是否有可行的方案，與島、半島的大小無(wú)關(guān)，也與河岸上橋頭的間隔及小橋的長(zhǎng)度無(wú)關(guān)。因而不妨將半島、兩側(cè)河岸和小島都縮為一點(diǎn)，將各個(gè)小橋代之以線。,現(xiàn)在的問(wèn)題是，能否用一只鉛筆從“結(jié)點(diǎn)”A、B、C、

7、D之中的某一點(diǎn)開(kāi)始，不抬筆地連續(xù)描完每一條線而不出現(xiàn)線路重復(fù)呢？,類似這樣的問(wèn)題，后來(lái)被統(tǒng)稱為“一筆畫(huà)”問(wèn)題。,圖中四個(gè)節(jié)點(diǎn)A、B、C、D都是奇節(jié)點(diǎn)。所以，這是一個(gè)不可行的一筆畫(huà)問(wèn)題。,16,什么是數(shù)學(xué)模型、數(shù)學(xué)建模,一般地說(shuō)，數(shù)學(xué)模型可以描述為，對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)特定對(duì)象，為了一個(gè)特定目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的簡(jiǎn)化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。,數(shù)學(xué)模型,數(shù)學(xué)建模,建立數(shù)學(xué)模型的全過(guò)程 （包括表述、求解、解釋、檢驗(yàn)等）,17,數(shù)學(xué)模型的分類,18,2.如何數(shù)學(xué)建模？,19,你碰到過(guò)的數(shù)學(xué)模型“航行問(wèn)題”,用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：,答：船速每小時(shí)

8、20千米/小時(shí).,甲乙兩地相距750千米，船從甲到乙順?biāo)叫行?0小時(shí)， 從乙到甲逆水航行需50小時(shí)，問(wèn)船的速度是多少?,x =20 y =5,20,航行問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟,作出必要的簡(jiǎn)化假設(shè)（船速、水速為常數(shù)）；,用符號(hào)表示有關(guān)量（x, y表示船速和水速）；,用物理定律（勻速運(yùn)動(dòng)的距離等于速度乘以 時(shí)間）列出數(shù)學(xué)式子（二元一次方程）；,求解得到數(shù)學(xué)解答（x=20, y=5）；,回答原問(wèn)題（船速每小時(shí)20千米/小時(shí)）；,21,驗(yàn)證上述結(jié)果（用實(shí)際現(xiàn)象進(jìn)行驗(yàn)證）。,幾個(gè)數(shù)學(xué)建模示例,22,例1 椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎,問(wèn)題分析,模型假設(shè),通常 三只腳著地,放穩(wěn) 四只腳著地,四條腿一樣

9、長(zhǎng)，椅腳與地面點(diǎn)接觸，四腳連線呈正方形;,地面高度連續(xù)變化，任何方向都不會(huì)出現(xiàn)間斷，即地面可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面;,地面相對(duì)平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時(shí)著地。,23,椅子位置,利用正方形(椅腳連線)的對(duì)稱性,用(對(duì)角線與x軸的夾角)表示椅子位置,四只腳著地,距離是 的函數(shù),四個(gè)距離(四只腳),A,C 兩腳與地面距離之和 f( ),B,D 兩腳與地面距離之和 g( ),兩個(gè)距離,椅腳與地面距離為零,正方形ABCD 繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn),用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來(lái),模型構(gòu)成,24,用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來(lái),f() , g()是連續(xù)函數(shù),對(duì)任意, f(), g

10、()至少一個(gè)為0,數(shù)學(xué)問(wèn)題,已知： f() , g()是連續(xù)函數(shù) ; 對(duì)任意， f() g()=0 ; 且 g(0)=0， f(0) 0. 證明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.,模型構(gòu)成,地面為連續(xù)曲面,椅子在任意位置至少三只腳著地,25,模型求解,給出一種簡(jiǎn)單、粗糙的證明方法,將椅子旋轉(zhuǎn)900，對(duì)角線AC和BD互換。 由g(0)=0， f(0) 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)0. 令h()= f()g(), 則h(0)0和h(/2)0. 由 f, g的連續(xù)性知 h為連續(xù)函數(shù), 據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì), 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) . 因?yàn)閒()

11、 g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.,評(píng)注和思考,建模的關(guān)鍵 ,假設(shè)條件的本質(zhì)與非本質(zhì),考察四腳呈長(zhǎng)方形的椅子,和 f(), g()的確定,26,數(shù)學(xué)建模的一般步驟,模 型 準(zhǔn) 備,了解實(shí)際背景,明確建模目的,搜集有關(guān)信息,掌握對(duì)象特征,形成一個(gè) 比較清晰 的問(wèn)題,27,模 型 假 設(shè),針對(duì)問(wèn)題特點(diǎn)和建模目的,作出合理的、簡(jiǎn)化的假設(shè),抓本質(zhì)，在合理與簡(jiǎn)化之間作出折中,模 型 構(gòu) 成,用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言、符號(hào)描述問(wèn)題內(nèi)在規(guī)律,發(fā)揮想像力,使用類比法,盡量采用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具,數(shù)學(xué)建模的一般步驟,28,模型 求解,各種數(shù)學(xué)方法、軟件和計(jì)算機(jī)技術(shù),如結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計(jì)分析、 模型對(duì)數(shù)據(jù)的穩(wěn)

12、定性分析,模型 分析,模型 檢驗(yàn),與實(shí)際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較， 檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇?、適用性,模型應(yīng)用,數(shù)學(xué)建模的一般步驟,29,例2 商人們?cè)鯓影踩^(guò)河,問(wèn)題(智力游戲),隨從們密約, 在河的任一岸, 一旦隨從的人數(shù)比商人多, 就殺人越貨.,但是乘船渡河的方案由商人決定.商人們?cè)鯓硬拍馨踩^(guò)河?,問(wèn)題分析,多步?jīng)Q策過(guò)程,決策 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人員,要求在安全的前提下(兩岸的隨從數(shù)不比商人多),經(jīng)有限步使全體人員過(guò)河,30,模型構(gòu)成,xk第k次渡河前此岸的商人數(shù),yk第k次渡河前此岸的隨從數(shù),xk, yk=0,1,2,3; k=1,2,sk=(xk , yk)狀態(tài),S=(x , y

13、) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2,S 允許狀態(tài)集合,uk第k次渡船上的商人數(shù),vk第k次渡船上的隨從數(shù),dk=(uk , vk)決策,D=(u , v) u+v=1, 2 允許決策集合,uk, vk=0,1,2; k=1,2,sk+1=sk dk,+(-1)k,狀態(tài)轉(zhuǎn)移律,求dkD(k=1,2, n), 使skS按轉(zhuǎn)移律 由s1=(3,3)到達(dá)sn+1=(0,0).,多步?jīng)Q策問(wèn)題,31,模型求解,窮舉法 編程上機(jī),圖解法,狀態(tài)s=(x,y) 16個(gè)格點(diǎn),允許決策D 移動(dòng)1或2格; k奇,左下移; k偶,右上移.,s1,sn+1,d1, d11給

14、出安全渡河方案,評(píng)注和思考,規(guī)格化方法, 易于推廣,考慮4名商人各帶一隨從的情況,允許狀態(tài)S,S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2,D=(u , v) u+v=1, 2,32,適當(dāng)?shù)卦O(shè)置狀態(tài)和決策，確定狀態(tài)轉(zhuǎn)移律，建立多步?jīng)Q策模型，是有效解決此類問(wèn)題的方法。,數(shù)學(xué)建模的全過(guò)程,現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息,數(shù)學(xué)模型,現(xiàn)實(shí)對(duì)象的解答,數(shù)學(xué)模型的解答,(歸納),(演繹),表述,求解,解釋,驗(yàn)證,根據(jù)建模目的和信息將實(shí)際問(wèn)題“翻譯”成數(shù)學(xué)問(wèn)題,選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法求得數(shù)學(xué)模型的解答,將數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述的解答“翻譯”回實(shí)際對(duì)象,用現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息檢驗(yàn)得到的解答,

15、實(shí)踐,現(xiàn)實(shí)世界,數(shù)學(xué)世界,33,思考與練習(xí),34,35,練習(xí) 我方巡邏艇發(fā)現(xiàn)敵方潛水艇。與此同時(shí)敵方潛水艇也發(fā)現(xiàn)了我方巡邏艇，并迅速下潛逃逸。設(shè)兩艇間距離為60哩，潛水艇最大航速為30節(jié)而巡邏艇最大航速為60節(jié)，問(wèn)巡邏艇應(yīng)如何追趕潛水艇。,顯然，這是一個(gè)對(duì)策問(wèn)題，較為復(fù)雜。僅討論以下簡(jiǎn)單情形：,敵潛艇發(fā)現(xiàn)自己目標(biāo)已暴露后，立即下潛，并沿著直線方向全速逃逸，逃逸方向我方不知。,（追趕方案的設(shè)計(jì)） 設(shè)巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)位于B處的潛水艇，取極坐標(biāo)，以B為極點(diǎn)，BA為極軸，設(shè)巡邏艇追趕路徑在此極坐標(biāo)下的方程為r=r()，見(jiàn)圖1。,36,3.為什么數(shù)學(xué)建模？,37,隨著科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展，數(shù)學(xué)模型這個(gè)詞匯

16、越來(lái)越多地出現(xiàn)在現(xiàn)代人的生產(chǎn)、工作和社會(huì)活動(dòng)中。例如： 電氣工程師必須建立一個(gè)用于控制生產(chǎn)過(guò)程的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)它的精確設(shè)計(jì)和計(jì)算來(lái)實(shí)現(xiàn)有效的過(guò)程控制； 氣象工作者為得到準(zhǔn)確的天氣預(yù)報(bào)，需要依賴于根據(jù)氣象站、氣象衛(wèi)星匯集的氣壓、雨量、風(fēng)速等資料建立的數(shù)學(xué)模型； 生理醫(yī)學(xué)家通過(guò)構(gòu)建藥物濃度在人體內(nèi)隨時(shí)間和空間變化的數(shù)學(xué)模型，可以分析藥物的療效，有效地指導(dǎo)臨床用藥； 城市規(guī)劃者需要建立一個(gè)包括人口、經(jīng)濟(jì)、交通、環(huán)境等大系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，為領(lǐng)導(dǎo)層對(duì)城市發(fā)展規(guī)劃的決策提供科學(xué)依據(jù)。,38,數(shù)學(xué)建模的重要意義,電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)及飛速發(fā)展；,數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域滲透。,數(shù)學(xué)建模作為用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)

17、際問(wèn)題的第一步， 越來(lái)越受到人們的重視。,數(shù)學(xué)建模,計(jì)算機(jī)技術(shù),知識(shí)經(jīng)濟(jì),39,2014A題 嫦娥三號(hào)軟著陸軌道設(shè)計(jì)與控制策略 2014B題 創(chuàng)意平板折疊桌 2013A題 車道被占用對(duì)城市道路通行能力的影響 2013B題 碎紙片的拼接復(fù)原 2012A題 葡萄酒的評(píng)價(jià) 2012B題 太陽(yáng)能小屋的設(shè)計(jì) ,數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽有哪些題目？,國(guó)賽,40,數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽有哪些題目？,深圳杯夏令營(yíng),2015A題：醫(yī)保欺詐行為的主動(dòng)發(fā)現(xiàn) 2015B題： DNA序列的k-mer index 問(wèn)題 2015C題：福田紅樹(shù)林自然保護(hù)區(qū)濕地生態(tài)系統(tǒng)模型框架的構(gòu)建及應(yīng)用實(shí)例研究 2015D題：航班延誤問(wèn)題,41,知識(shí),性格,特長(zhǎng),思維,不同專業(yè)組合,性格互補(bǔ)，快慢結(jié)合