高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第九章平面解析幾何第八節(jié)直線與圓錐曲線課件文.ppt

1、文數(shù) 課標(biāo)版,第八節(jié)直線與圓錐曲線,1.直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷 判斷直線l與圓錐曲線r的位置關(guān)系時(shí),通常將直線l的方程Ax+By+C=0(A,B不同時(shí)為0)與圓錐曲線r的方程F(x,y)=0聯(lián)立,消去y(也可以消去x)得到一個(gè)關(guān)于變量x(或變量y)的方程,即聯(lián)立消去y(或x) 后得ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0).,教材研讀,(1)當(dāng)a0時(shí),若0,則直線l與曲線r相交;若=0,則直線l與曲線r相切;若0,則直線l與曲線r相離. (2)當(dāng)a=0時(shí),得到一個(gè)一次方程,則直線l與曲線r相交,且只有一個(gè)交點(diǎn),此時(shí),若r為雙曲線,則直線l與雙曲線的漸近線平行;若r為拋物線,則直線l與

2、拋物線的對(duì)稱軸平行或重合.,直線l:f(x,y)=0,圓錐曲線r:F(x,y)=0,l與r有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2), 則A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)是方程組的兩組解,方程組消元后化為 關(guān)于x(或y)的一元二次方程ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0),判別式=b2-4ac,應(yīng)有0,所以x1,x2(或y1,y2)是方程ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0)的兩個(gè)根.由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=-,x1x2=,以此結(jié)合 弦長(zhǎng)公式可整體代入求值.A、B兩點(diǎn)間的距離|AB|=|x1-x2|=(其中k為直線l的斜率),也可以寫成關(guān)于y的形式, 即|AB|=|y1-y2|=

3、(k0).特殊地,如果,2.直線與圓錐曲線相交的弦長(zhǎng)問(wèn)題,直線l過(guò)拋物線的焦點(diǎn),拋物線方程以y2=2px(p0)為例,那么|AB|= x1+x2+p.,3.弦AB的中點(diǎn)與直線AB斜率的關(guān)系 (1)已知AB是橢圓+=1(ab0)的一條弦,其中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0,y0).運(yùn) 用點(diǎn)差法求直線AB的斜率,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2),A,B都在橢圓上,兩式相減得+=0, +=0, =-=-,故kAB=-. (2)已知AB是雙曲線-=1(a0,b0)的一條弦,且A(x1,y1),B(x2,y2),x1x,2,弦中點(diǎn)M(x0,y0),則與(1)同理可知kAB=. (3)已知AB是拋物線

4、y2=2px(p0)的一條弦,且A(x1,y1),B(x2,y2),x1x2,弦中點(diǎn)M(x0,y0). 則兩式相減得-=2p(x1-x2), (y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2), =,即kAB=.,判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”,錯(cuò)誤的打“”) (1)直線l與拋物線y2=2px只有一個(gè)公共點(diǎn),則l與拋物線相切.() (2)若直線l與拋物線y2=2px相交,則一定有兩個(gè)公共點(diǎn).() (3)直線y=kx(k0)與雙曲線x2-y2=1一定相交.() (4)若直線與雙曲線相交,則一定有兩個(gè)公共點(diǎn).() (5)與雙曲線的漸近線平行的直線與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn).() (6)直線與橢圓只有

5、一個(gè)交點(diǎn)直線與橢圓相切.(),1.直線y=kx-k+1與橢圓+=1的位置關(guān)系為() A.相交B.相切C.相離D.不確定 答案A由于直線y=kx-k+1=k(x-1)+1過(guò)定點(diǎn)(1,1),又(1,1)在橢圓內(nèi),故直線與橢圓必相交.,2.直線y=x+3與雙曲線-=1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是() A.1B.2C.1或2D.0 答案A因?yàn)橹本€y=x+3與雙曲線的漸近線y=x平行,所以它與雙 曲線只有1個(gè)交點(diǎn).,3.雙曲線C:-=1(a0,b0)的右焦點(diǎn)為F,直線l過(guò)焦點(diǎn)F,且斜率為k,則 直線l與雙曲線C的左,右兩支都相交的充要條件是() A.k-B.k或k-D.-k 答案D由雙曲線的漸近線的幾何意義知-k.,4

6、.過(guò)點(diǎn)(0,1)作直線,使它與拋物線y2=4x僅有一個(gè)公共點(diǎn),這樣的直線有條. 答案3 解析當(dāng)過(guò)點(diǎn)(0,1)的直線的斜率不存在時(shí),方程為x=0,與拋物線y2=4x僅有一個(gè)公共點(diǎn),符合題意. 當(dāng)過(guò)點(diǎn)(0,1)的直線的斜率存在時(shí),設(shè)為k,此時(shí)直線為y=kx+1,由得k2x2+(2k-4)x+1=0,(*),當(dāng)k=0時(shí),方程(*)只有一解,即直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn),符合題意,當(dāng)k0時(shí),由=(2k-4)2-4k2=0,解得k=1,即直線y=x+1與拋物線相切,綜上,符合條件的直線有3條.,考點(diǎn)一直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判定及應(yīng)用 典例1在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C1:+=1(ab0)的左焦

7、 點(diǎn)為F1(-1,0),且點(diǎn)P(0,1)在C1上. (1)求橢圓C1的方程; (2)設(shè)直線l同時(shí)與橢圓C1和拋物線C2:y2=4x相切,求直線l的方程. 解析(1)由題意得a2-b2=1,b=1,則a=, 橢圓C1的方程為+y2=1. (2)易得直線l的斜率存在且不為零,則可設(shè)l的方程為y=kx+b(k0).,考點(diǎn)突破,由消去y整理得(1+2k2)x2+4kbx+2b2-2=0,1=16k2b2-8(b2-1)(2k2+ 1)=16k2+8-8b2=0,即b2=2k2+1. 由消去y整理得k2x2+(2kb-4)x+b2=0,2=(2kb-4)2-4k2b2=16-16kb=0,即kb=1,

8、,由得b=,代入得=2k2+1,即2k4+k2-1=0. 令t=k2,則2t2+t-1=0,解得t1=或t2=-1(舍), 或 l的方程為y=x+或y=-x-.,方法技巧 (1)判斷直線與圓錐曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí),可直接求解相應(yīng)方程組得到交點(diǎn)坐標(biāo),也可利用消元后的一元二次方程根的判別式來(lái)確定,需注意利用判別式的前提是二次項(xiàng)系數(shù)不為0. (2)依據(jù)直線與圓錐曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)時(shí),聯(lián)立方程并消元,得到一元方程,此時(shí)注意觀察方程的二次項(xiàng)系數(shù)是否為0,若為0,則方程為一次方程;若不為0,則將方程解的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為判別式與0的大小關(guān)系求解.,1-1若直線y=kx+2與雙曲線x2-y2=6的右支交于不同的兩點(diǎn),

9、那么k的取值范圍為() A.B. C.D.,答案D由消去y,得(1-k2)x2-4kx-10=0, 直線與雙曲線右支交于不同的兩點(diǎn), 解得-k-1.,考點(diǎn)二弦長(zhǎng)問(wèn)題 典例2(2016課標(biāo)全國(guó),21,12分)已知A是橢圓E:+=1的左頂點(diǎn), 斜率為k(k0)的直線交E于A,M兩點(diǎn),點(diǎn)N在E上,MANA. (1)當(dāng)|AM|=|AN|時(shí),求AMN的面積; (2)當(dāng)2|AM|=|AN|時(shí),證明:0. 由已知及橢圓的對(duì)稱性知,直線AM的傾斜角為. 又A(-2,0),因此直線AM的方程為y=x+2.,將x=y-2代入+=1得7y2-12y=0. 解得y=0或y=,所以y1=. 因此AMN的面積SAMN=2

10、=. (2)證明:將直線AM的方程y=k(x+2)(k0)代入+=1得,(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0. 由x1(-2)=得x1=, 故|AM|=|x1+2|=. 由題設(shè),直線AN的方程為y=-(x+2), 故同理可得|AN|=.,設(shè)f(t)=4t3-6t2+3t-8,則k是f(t)的零點(diǎn), f (t)=12t2-12t+3=3(2t-1)20,所以f(t)在(0,+)內(nèi)單調(diào)遞增. 又f()=15-260,因此f(t)在(0,+)內(nèi)有唯一的零點(diǎn),且零點(diǎn) k在(,2)內(nèi),所以k2.,由2|AM|=|AN|得=,即4k3-6k2+3k-8=0.,方法技巧 弦長(zhǎng)的求解 (1)當(dāng)弦

11、的兩端點(diǎn)坐標(biāo)易求時(shí),可直接利用兩點(diǎn)間的距離公式求解. (2)當(dāng)直線的斜率存在時(shí),斜率為k的直線l與圓錐曲線C相交于A(x1,y1), B(x2,y2)兩個(gè)不同的點(diǎn),則弦長(zhǎng)|AB|=|x1-x2|= |y1-y2|(k0). (3)當(dāng)弦過(guò)焦點(diǎn)時(shí),可結(jié)合焦半徑公式求解弦長(zhǎng).,2-1(2016貴州貴陽(yáng)摸底)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓+=1 (ab0)的離心率為,過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F作兩條互相垂直的弦AB與CD.當(dāng) 直線AB的斜率為0時(shí),AB=4. (1)求橢圓的方程; (2)若|AB|+|CD|=,求直線AB的方程.,將直線AB的方程代入橢圓方程中并整理得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-1

12、2=0, 則x1+x2=,x1x2=, 所以|AB|=|x1-x2| =. 同理,|CD|=, 所以|AB|+|CD|=+ =,解得k=1, 所以直線AB的方程為x-y-1=0或x+y-1=0.,考點(diǎn)三中點(diǎn)弦問(wèn)題 典例3(2016福建福州質(zhì)檢)拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,直線x-y=0與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),若P(1,1)為線段AB的中點(diǎn),則拋物線C的方程為() A.y=2x2B.y2=2x C.x2=2yD.y2=-2x 答案B 解析設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),拋物線方程為y2=2px(p0),則兩式相 減可得2p=(y1+y2)=kAB2=2,可得p=1, 拋物線C的方程為y2=2x.,方法技巧 處理中點(diǎn)弦問(wèn)題的常用方法 (1)點(diǎn)差法:即設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)后,代入圓錐曲線方程,并將兩式相減,式中含有x1+x2,y1+y2,三個(gè)未知量,這樣就直接聯(lián)系了中點(diǎn)和直線 的斜率,借用中點(diǎn)公式即可求得斜率. (2)根與系數(shù)的關(guān)系:即聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程,將其轉(zhuǎn)化為一元二次方程后由根與系數(shù)的關(guān)系求解.,3-1已知拋物線y=x2上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)M,N關(guān)于直線l:y=-kx+對(duì)稱, 求k的取值范圍.