第2章 氣體動理論.ppt

1、第2章 氣體動理論 (Kinetic theory of gases),理想氣體分子模型假設: P3637,1.關于個別分子力學性質的假設: 1)分子可視為質點:分子本身線度比分子間距離小很多; 2)除碰撞以外,分子之間、分子與器壁之間無相互作用; 3)以上的碰撞是完全彈性碰撞(動量守恒、動能守恒); 4)分子的運動遵從經典力學規(guī)律。,2.關于分子集體的統(tǒng)計性假設: 1)每個分子速度不同,由于碰撞分子速度不斷變化; 2)平衡態(tài)時,忽略重力影響,分子按位置的分布是均勻的; 3)平衡態(tài)時,分子速度(對質心系)按方向的分布是均勻的。,(1),理想氣體為大量的、自由的、作無規(guī)則熱運動的彈性質點的集合。

2、,統(tǒng)計規(guī)律對大量分子才有意義。,(2),對大量分子,每個速度分量平方的統(tǒng)計平均值相等,即,對每個分子:,思考:,2.1 理想氣體壓強和溫度 (Pressure and temperature of idea gases),目的:討論理想氣體壓強、溫度與分子熱運動的關系。,一、理想氣體壓強公式,所有分子按速度分組, 用vi 表示第i 組分子速度, ni為第i 組分子數(shù)密度,首先計算第i 組分子對器壁S面的碰撞,注意: 是相對于系統(tǒng)質心參考系的,分子(m)與S碰撞時動量的變化:,分子對S的沖量:,在時間間隔t內,與S面發(fā)生碰撞的分子數(shù)目為:,(3),S,第i 組分子在t內對器壁S面的總沖量為:,各

3、種速度的所有分子在t內對器壁S面的總沖量為:,因vix0的那些分子求和,又由于分子的雜亂性, vix0的分子數(shù)應各占總數(shù)之半, 有,由動量定理,所有分子在t內對器壁S面的沖力:,(4),所有分子對器壁S面的壓強為:,壓強公式,分子平均平動動能(微觀量),(5),1)壓強是大量分子撞擊器壁產生的統(tǒng)計平均效果;,2)壓強公式是一個統(tǒng)計規(guī)律;,思考:推導壓強公式的過程中,哪些地方用了統(tǒng)計假設?,說明:,二、 與溫度T 的關系、溫度的微觀意義,說明:1)上式適用于平衡態(tài)下一定質量的理想氣體;,(6),P=nkT,2)溫度是大量分子熱運動的集體表現(xiàn),具有統(tǒng)計意義;,3)溫度的微觀意義: a) 熱力學溫度

4、是分子平均平動動能的量度; b) 溫度是氣體分子熱運動激烈程度的量度;,思考: 1)如果容器內只有幾個分子, 能否用 計算它們的平均平動動能?,2)把盛有氣體的密封絕熱容器放在作勻速直線運動 的汽車上, 則氣體的溫度與汽車靜止時是否相同? 若汽車突然剎車,容器內的溫度是否變化?,2.2 能量均分定理 理想氣體內能 (Equipartition theorem and internal energy of ideal gases),一、自由度(degree of freedom) i,1.決定一個物體空間位置的獨立坐標數(shù)稱為自由度,質點:(x,y,z) i=3,剛體:質心(x,y,z) 軸的取向

5、(,)中任意二個 繞軸轉動(),平動自由度 t=3 轉動自由度 r=3,i=t+r=6,(7),目的:討論分子熱運動能量如何分配和理想氣體內能的計算。,分子熱運動的能量:分子的平動、轉動和振動能量。,2)雙原子分子 (CO,H2,O2,N2)看成一線段,剛性雙原子分子: i=5 (x,y,z), (,)中任意二個,3)多原子分子(H2O,CO2,NH3,CH4):,i=6,當溫度很高時分子為非剛性分子(又叫彈性分子),要加振動自由度s, s=n(n-1)/2 其中n為原子個數(shù),i = t + r,(8),自由度公式: i = t + r + s,剛性多原子分子看成剛體:,2.氣體分子的自由度:

6、,i=3 (x,y,z),1)單原子分子(He,Ne)看成質點,剛性分子自由度:,二、能量按自由度均分原理,(9),能量按自由度均分原理: 在溫度為T 的平衡態(tài)下,氣體分子的能量按自由度均分, 每個自由度的平均能量為kT/2,分子平均平動動能:,分子在每一個平動自由度上所具有的動能:,分子在每一個轉動自由度上所具有的動能同樣如此;,思考:1)對個別分子, 能均分原理是否成立? 2)大量分子的能量通過什么過程實現(xiàn)均分的?,kT/2:理想氣體處于平衡態(tài)時分子每個自由度上平均 能量。,3kT/2:分子平均平動動能。,ikT/2:剛性分子平均動能(不包括振動能量)。,三、理想氣體內能,氣體的內能:氣體

7、分子熱運動能量 + 分子之間的勢能,M kg理想氣體(不計分子之間的勢能)內能:,M kg理想氣體(剛性分子)內能:,(10),每個分子熱運動的平均能量,說明 1)理想氣體的內能只是溫度的單值函數(shù) 2)內能的變化只與始末狀態(tài)有關,而與過程無關。 3)內能是微觀量的統(tǒng)計平均值,(11),例1: 儲有氧氣的容器以速率v=100m/s運動,假設該容器 突然停止,全部定向運動的動能變?yōu)闅怏w分子熱運 動的動能,求容器中氧氣的溫度將會上升多少?,解:容器中氧氣定向動能:,容器中氧氣(理想氣體,剛性分子)內能變化:,例2:容器內某理想氣體的溫度T=273K,壓強P=101.3Pa, 密度=1.25g/m3,

8、 求: 1)氣體的摩爾質量,是何種氣體? 2)氣體分子運動的方均根速率? 3)氣體分子的平均平動動能和轉動動能? 4)單位體積內氣體分子的總平動動能? 5)0.3mol該氣體的內能?,解: 1)由,故該氣體是N2或CO,(12),2)由溫度公式,3)氣體分子的平均平動動能:,氣體分子的平均轉動動能:,(13),4)設Et為單位體積內氣體分子的總平動動能,5)0.3mol該氣體的內能:,(14),解:,(15),例3: 二個容器中分別貯有氦氣和氧氣,己知氦氣的壓強是氧氣的1/2,氦氣的容積是氧氣的2倍,求氦氣內能是氧氣的多少倍?,蘭媚爾實驗(裝置置于真空之中),分子源,狹縫屏,淀積屏,分子篩,2

9、.3 麥克斯韋速率分布定律 (Maxwell speed distribution law of gases),(16),目的: 平衡態(tài)下,理想氣體分子按速率是如何分布的?,一、分子按速率分布的實驗測定,即只有速率為:,的分子才能通過。,改變 或 等可讓不同速率的分子通過;,原理: 速率篩每旋轉一周,分子通過W,到達屏上,但不是所有速率的分子都能通過分子篩的, 只有滿足關系:,由于W、W總有一定的寬度, 相當于 有一定的寬度, 因此到達屏上的分子的速率也有一速率區(qū)間(vv+v), 實驗時改變分子篩的角速度 , 就可以根據(jù)淀積屏上的 分子數(shù)目, 測出不同速率間隔內(v v+v)的分子數(shù)占 分子總

10、數(shù)的百分比。,(17),某氣體分子處于0平衡態(tài)時,速率區(qū)間(m/s) 分子數(shù)占分子總數(shù)的百分比N/N,(18),小于 100 1.4 100150 2.8 150200 5.6 200250 7.2 250300 9.0 300350 10.2 350400 11.5 400450 10.8 450500 9.6 500550 8.4 550600 7.0 600650 5.9 650700 4.7 700750 3.9 750以上 2.0,實驗數(shù)據(jù)的圖示化,從圖中可以看出:,1)每個小長方形面積代表某速率區(qū)間的分子數(shù)占分子 總數(shù)的百分比N/N,2)所有小面積的和恒等于一,即N/N=1(叫歸一

11、化),3)當速率區(qū)間v0時,小矩形面積的端點連成一函數(shù) 曲線(圖中紅線) f (v), 稱f (v)為分子速率分布函數(shù)。,(19),N/N,二、速率分布定律,一定量氣體處于平衡態(tài) (總分子數(shù)N, 溫度T, 分子質量m),速率在 區(qū)間的分子數(shù),速率在 區(qū)間分子數(shù)占分子總數(shù)的百分比(又叫區(qū)間分子數(shù)的比率)。,速率分布定律,(20),1.速率分布定律,N/N,2.速率分布函數(shù): f (v),物理意義: 速率在 v 附近的單位速率區(qū)間的分子數(shù)占 分子總數(shù)的百分比。,3.速率分布函數(shù)必須滿足歸一化條件:,4.用處:,a)己知 f (v)可求任一速率區(qū)間的分子數(shù)的比率,如區(qū)間較小(300m/s305m/s

12、):,如區(qū)間較大(v1v2):,(21),b)己知f (v) 求統(tǒng)計速率,三、麥克斯韋速率分布定律(理想氣體,平衡態(tài)),氣體分子分布在區(qū)間vv+dv的 分子數(shù)的比率為:,2. Maxwell速率分布函數(shù),(22),麥克斯韋(Maxwell J.C., 1831-1879)英 國物理學家,數(shù)學家,1.Maxwell速率分布定律(參考書中P53-55),1)最可幾速率(最概然速率) vp (Most probable speed),定義: f (v)的極大值對應的速率 稱為最可幾速率,意義:分布在vp附近的分子數(shù)占分子總數(shù)的比率最大,2)任一速率區(qū)間曲線下面積,3)曲線下總面積,(23),3.速率

13、分布曲線,四、求三個統(tǒng)計速率,1.求,得:,T 相同,(24),相同,2.求平均速率:,vv+dv 區(qū)間分子數(shù)為dN個 ,因為dv很小,dN個分子速率均視為v dN個分子速率之和: vdN,所有分子速率之和:,平均速率:,dN=Nf(v)dv,(25),3.求方均根速率:,所有分子速率平方之和:,(26),五*、一定量氣體處于平衡態(tài)時分子按能量分布定律,代入上式,(27),意義:分子動能介于EkEk+dEk區(qū)間的分子數(shù)比率,例4: 試求0時氧氣 ,氫氣的方均根速率、平均速率、 最可幾速率 。,解:,(28),例5:如圖所示,兩條曲線分別為氫和氧在相同溫度下的麥氏速率分布曲線。求: 1)哪條代表

14、氫,哪條代表氧? 2)氫分子的最可幾速率, 3)氧分子的方均根速率,4)氧分子最可幾速率附近單位速率區(qū)間內的分子數(shù)占氧分子總數(shù)的百分比?,解: 1)最可幾速率,T相同時,有vp,Hvp,O,曲線1代表氫,2)由圖得 vp,O1000m/s,(29),3),4)由圖可知:氧分子最可幾速率 附近單位速率區(qū)間內的分子數(shù) 占氧分子總數(shù)的,(30),例6: 寫出v1v2速率區(qū)間分子平均速率,該區(qū)間分子速率之和:,該區(qū)間分子數(shù):,(31),解:,思考: 的物理意義?,思路:1)明確速率分布函數(shù) 的物理意義;,2)觀察被積函數(shù)的物理意義和積分區(qū)間;,3)注意這是在平衡態(tài)下對大量分子的統(tǒng)計規(guī)律。,例7: 有N

15、個粒子組成的系統(tǒng)的速率分布為 dN=Cdv (0vv0 , C為恒量) dN=0 (v0 v ) 求(1)作速率分布曲線, (2)由N 和v0定出C (3)粒子的平均速率和方均根速率。,解: (1)由題意可知速率分布函數(shù)為,(32),(2)由歸一化條件:,(3),同理可得,(33),2.4 氣體分子平均自由程(自學) (Mean free path of gas molecular),一、平均自由程,1.自由程:任意二次連續(xù)碰撞之間分子自由移動的距離。 2.平均自由程:二次連續(xù)碰撞之間分子自由運動的平均 路程,3.平均碰撞次數(shù):,每秒內分子與其它分子碰撞的平均次數(shù),二、平均碰撞次數(shù)、平均自由程

16、公式,1.平均碰撞次數(shù)公式:,分子直徑為d,平均速度,設其它分子不動, 1s內該分子與其它分子碰撞 次數(shù) =以d為半徑 為高的園柱體內分子數(shù),(34),該體積內分子數(shù):,考慮分子在熱運動加以修正:,碰撞載面:,2.分子有效直徑:,標準狀態(tài)下,空氣分子:,(35),3.分子平均自由程,討論:,低壓下:,容器線度(1m),(容器線度),(36),平均自由程取:,氣體動理論 (The Kinetic Theory of Gases),基本要求,1.了解氣體分子熱運動圖像,建立理想氣體微觀模型。 了解從提出模型, 進行統(tǒng)計平均, 建立宏觀量與微觀 量的聯(lián)系到闡明宏觀量的微觀本質的思想和方法。 2.熟練掌握理想氣體狀態(tài)方程。 3.能從宏觀和統(tǒng)計意義上理解壓強、溫度、內能等概 念。了解系統(tǒng)的宏觀性質是微觀運動的統(tǒng)計表現(xiàn)。 掌握壓強公式、溫度公式