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1、2002考研數(shù)學(xué)三真題及答案一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分,把答案填在題中橫線上)(1) 設(shè)常數(shù),則(2) 交換積分次序:. (3) 設(shè)三階矩陣,三維列向量.已知與線性相關(guān),則.(4) 設(shè)隨機(jī)變量和的聯(lián)合概率分布為 -10100.070.180.1510.080.320.20則和的協(xié)方差.(5) 設(shè)總體的概率密度為而是來(lái)自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,則未知參數(shù)的矩估計(jì)量為 二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,共15分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).)(1) 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上有定義,在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),則 ( )(A)當(dāng)時(shí),存在,使.(
2、B)對(duì)任何,有.(C)當(dāng)時(shí),存在,使.(D)存在,使.(2) 設(shè)冪級(jí)數(shù)與的收斂半徑分別為與,則冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為 ( )(A) 5 (B) (C) (D)(3) 設(shè)是矩陣,是矩陣,則線性方程組 ( )(A)當(dāng)時(shí)僅有零解 (B)當(dāng)時(shí)必有非零解 (C)當(dāng)時(shí)僅有零解 (D)當(dāng)時(shí)必有非零解 (4) 設(shè)是階實(shí)對(duì)稱矩陣,是階可逆矩陣,已知維列向量是的屬于特征值的特征向量,則矩陣屬于特征值的特征向量是 ( ) (A) (B) (C) (D) (5) 設(shè)隨機(jī)變量和都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,則 ( )(A)服從正態(tài)分布 (B)服從分布 (C)和都服從分布 (D)服從分布三、(本題滿分5分)求極限 四、(本題滿分7分)
3、設(shè)函數(shù)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且由方程所確定,求.五、(本題滿分6分)設(shè)求.六、(本題滿分7分)設(shè)是由拋物線和直線及所圍成的平面區(qū)域;是由拋物線和直線所圍成的平面區(qū)域,其中.(1)試求繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積;繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積;(2)問(wèn)當(dāng)為何值時(shí),取得最大值?試求此最大值.七、(本題滿分7分)(1)驗(yàn)證函數(shù)滿足微分方程(2)利用(1)的結(jié)果求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù). 八、(本題滿分6分)設(shè)函數(shù)在上連續(xù),且.利用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì),證明存在一點(diǎn),使 .九、(本題滿分8分)設(shè)齊次線性方程組其中,試討論為何值時(shí),方程組僅有零解、有無(wú)窮多組解?在有無(wú)窮多組解時(shí),求出全部解,并用基礎(chǔ)解系表示全部解.十、(本題滿
4、分8分)設(shè)為三階實(shí)對(duì)稱矩陣,且滿足條件,已知的秩(1)求的全部特征值(2)當(dāng)為何值時(shí),矩陣為正定矩陣,其中為三階單位矩陣.十一、(本題滿分8分)假設(shè)隨機(jī)變量在區(qū)間上服從均勻分布,隨機(jī)變量試求:(1)和的聯(lián)合概率分布;(2).十二、(本題滿分8分)假設(shè)一設(shè)備開(kāi)機(jī)后無(wú)故障工作的時(shí)間服從指數(shù)分布,平均無(wú)故障工作的時(shí)間 為5小時(shí).設(shè)備定時(shí)開(kāi)機(jī),出現(xiàn)故障時(shí)自動(dòng)關(guān)機(jī),而在無(wú)故障的情況下工作2小時(shí)便關(guān)機(jī).試求該設(shè)備每次開(kāi)機(jī)無(wú)故障工作的時(shí)間的分布函數(shù).參考答案一、填空題(1)【答案】【詳解】里面為型,通過(guò)湊成重要極限形式來(lái)求極限,(2)【答案】【詳解】畫出與原題中二次積分的限所對(duì)應(yīng)的積分區(qū)域與,將它們的并集記
5、為于是 再將后者根據(jù)積分定義化為如下形式,即,所以(3)【答案】【詳解】由于與線性相關(guān),(兩個(gè)非零向量線性相關(guān),則對(duì)應(yīng)分量成比例),所以有,得 或(兩個(gè)非零向量線性相關(guān),則其中一個(gè)可以由另一個(gè)線性表出)即 ,得 ,得 (4)【答案】【詳解】、和都是分布,而分布的期望值恰為取時(shí)的概率由離散型隨機(jī)變量和的聯(lián)合概率分布表可得的可能取值為0和1,且的可能取值也為0和1,且和的邊緣分布為;故有 而邊緣分布律:,所以,的聯(lián)合分布及其邊緣分布為 01001802204010320280600500501由上表同理可求得的分布律為01072028所以由分布的期望值恰為取1時(shí)的概率得到:(5)【答案】【詳解】矩
6、估計(jì)的實(shí)質(zhì)在于用樣本矩來(lái)估計(jì)相應(yīng)的總體矩,此題中被估參數(shù)只有一個(gè),故只需要用樣本一階原點(diǎn)矩(樣本均值)來(lái)估計(jì)總體的一階原點(diǎn)矩(期望)期望 樣本均值 用樣本均值估計(jì)期望有 ,即 ,解得未知參數(shù)的矩估計(jì)量為 二、選擇題(1)【答案】(B)【詳解】方法1:論證法由題設(shè)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),所以在內(nèi)連續(xù),因此,對(duì)于內(nèi)的任意一點(diǎn),必有 即有故選(B)方法2:排除法(A)的反例:,有,但在內(nèi)無(wú)零點(diǎn)(C)與(D)的反例, ,但(當(dāng)),不滿足羅爾中值定理,當(dāng)然也不滿足拉格朗日中值定理的結(jié)論故選(B)(2)【答案】(D)【詳解】方法1:是矩陣,是矩陣,則是階方陣,因當(dāng)時(shí),有(系數(shù)矩陣的秩小于未知數(shù)的個(gè)數(shù))方程組必有非
7、零解,故應(yīng)選(D)方法2:是矩陣, 當(dāng)時(shí),,則,(系數(shù)矩陣的秩小于未知數(shù)的個(gè)數(shù))方程組必有非零解,即存在,使得,兩邊左乘,得,即有非零解,故選(D)(3)【答案】(B)【詳解】方法1:由題設(shè)根據(jù)特征值和特征向量的定義,是階實(shí)對(duì)稱矩陣,故設(shè),則上式左乘,右乘,得,即,所以 兩邊左乘,得 得根據(jù)特征值和特征向量的定義,知的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量為,即應(yīng)選(B)方法2:逐個(gè)驗(yàn)算(A),(B),(C),(D)中哪個(gè)選項(xiàng)滿足,由題設(shè)根據(jù)特征值和特征向量的定義,是階實(shí)對(duì)稱矩陣,故設(shè)屬于特征值的特征向量為,即,其中對(duì)(A),即令,代入對(duì)(B),成立故應(yīng)選(B)(4)【答案】C【分析】(i)變量的典型模式是:
8、,其中要求滿足:相互獨(dú)立,稱為參數(shù)為的變量(ii) 變量的典型模式是:,其中要求滿足:與相互獨(dú)立,稱為參數(shù)為的變量【詳解】方法1:根據(jù)題設(shè)條件,和均服從故和都服從分布,答案應(yīng)選(C)方法2:題設(shè)條件只有和服從,沒(méi)有與的相互獨(dú)立條件因此,與的獨(dú)立條件不存在,選(B)、(D)項(xiàng)均不正確題中條件既沒(méi)有與獨(dú)立,也沒(méi)有正態(tài),這樣就不能推出服從正態(tài)分布的選項(xiàng)(A)根據(jù)排除法,正確選項(xiàng)必為(C)三【詳解】四【詳解】方法1:用一階微分形式不變性求全微分由所確定,兩邊求全微分,有,解出 所以 方法2:(根據(jù)多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t)下面通過(guò)隱函數(shù)求導(dǎo)得到,由兩邊對(duì)求偏導(dǎo)數(shù),有得,類似可得,代入表達(dá)式,再代入 中
9、,得五【詳解】首先要從求出命,則有,于是(通過(guò)換元求出函數(shù)的表達(dá)式)(換元積分法)(分部積分法)六【分析】旋轉(zhuǎn)體的體積公式:設(shè)有連續(xù)曲線,與直線及軸圍成平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)體的體積.【詳解】(1) (2) 根據(jù)一元函數(shù)最值的求法要求駐點(diǎn),令,得. 當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),因此是的唯一極值點(diǎn)且是極大值點(diǎn),所以是的最大值點(diǎn),七【解】(1) ,由收斂半徑的求法知收斂半徑為,故由冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間上逐項(xiàng)可導(dǎo)公式得,同理得 從而 (由的麥克勞林展開(kāi)式)這說(shuō)明,是微分方程的解,并且滿足初始條件,.(2)微分方程對(duì)應(yīng)的齊次線性方程為,其特征方程為,其特征根為,所以其通解為.另外,該非齊次方程的特解形式為,代入原非
10、齊次方程得,所以.故微分方程的通解為.故 由初始條件得解得,于是得到惟一的一組解:從而得到滿足微分方程及初始條件的解,只有一個(gè),為另一方面,由(1)已知也是微分方程及初始條件的解,由微分方程解的唯一性,知 八【詳解】方法1:因?yàn)榕c在上連續(xù),所以存在使得 ,滿足又,故根據(jù)不等式的性質(zhì)根據(jù)定積分的不等式性質(zhì)有所以 由連續(xù)函數(shù)的介值定理知,存在,使即有 方法2:因?yàn)榕c在上連續(xù),且,故與都存在,且記,于是即因此必存在使不然,則在內(nèi)由連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理知要么恒為正,從而根據(jù)積分的基本性質(zhì)得;要么恒為負(fù),同理得,均與不符由此推知存在使,從而 九【詳解】方法1:對(duì)系數(shù)矩陣記為作初等行變換當(dāng)時(shí),的同解方程組為
11、,基礎(chǔ)解系中含有個(gè)(未知數(shù)的個(gè)數(shù)-系數(shù)矩陣的秩)線性無(wú)關(guān)的解向量,取為自由未知量,分別取,, 得方程組個(gè)線性無(wú)關(guān)的解,為基礎(chǔ)解系,方程組的全部解為,其中是任意常數(shù)當(dāng)時(shí),當(dāng)且時(shí),僅有零解.當(dāng)時(shí),的同解方程組是基礎(chǔ)解系中含有個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量,取為自由未知量,取,得方程組個(gè)非零解,即其基礎(chǔ)解系,故方程組的全部解為,其中是任意常數(shù)方法2:方程組的系數(shù)行列式(1)當(dāng)且時(shí),方程組只有零解(2)當(dāng)時(shí),方程組的同解方程組為基礎(chǔ)解系中含有個(gè)(未知數(shù)的個(gè)數(shù)-系數(shù)矩陣的秩)線性無(wú)關(guān)的解向量,取為自由未知量,分別取,, 得方程組個(gè)線性無(wú)關(guān)的解,為基礎(chǔ)解系,方程組的全部解為,其中是任意常數(shù)(1)當(dāng)時(shí),其同解方程組是基
12、礎(chǔ)解系中含有個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量,取為自由未知量,取,得方程組個(gè)非零解,即其基礎(chǔ)解系,故方程組的全部解為,其中是任意常數(shù)十【詳解】(1) 設(shè)是的任意特征值,是的屬于的特征向量,根據(jù)特征值、特征向量的定義,有 兩邊左乘,得 +2*得 因,從而上式,所以有,故的特征值的取值范圍為因?yàn)槭菍?shí)對(duì)稱矩陣,所以必相似于對(duì)角陣,且的主對(duì)角線上元素由的特征值組成,且,故的特征值中有且只有一個(gè)0. (若沒(méi)有0,則,故與已知矛盾;若有兩個(gè)0,則,故與已知矛盾;若三個(gè)全為0,則,故與已知矛盾). 故即有特征值(2)是實(shí)對(duì)稱矩陣,有特征值,知的特征值為因?yàn)榫仃囌ǖ某湟獥l件是它的所有的特征值均大于零,故正定故時(shí)是正定矩陣十一【分析】有四個(gè)可能值,可以逐個(gè)求出在計(jì)算過(guò)程中要注意到取值與的值有關(guān)的分布為均勻分布,計(jì)算概率不用積分都行,可以直接看所占區(qū)間的長(zhǎng)度比例即可【詳解】只有四個(gè)可能值依照題意,有于是,分布為 (2) 因?yàn)?,所以我們?yīng)該知道和的分布律對(duì)離散型隨機(jī)變量,的取值可
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