2002考研數(shù)學(xué)三真題及答案

1、2002考研數(shù)學(xué)三真題及答案一、填空題(本題共5小題，每小題3分，滿分15分，把答案填在題中橫線上)(1) 設(shè)常數(shù)，則(2) 交換積分次序：. (3) 設(shè)三階矩陣，三維列向量.已知與線性相關(guān)，則.(4) 設(shè)隨機(jī)變量和的聯(lián)合概率分布為 -10100.070.180.1510.080.320.20則和的協(xié)方差.(5) 設(shè)總體的概率密度為而是來(lái)自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則未知參數(shù)的矩估計(jì)量為 二、選擇題(本題共5小題，每小題3分，共15分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).)(1) 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上有定義，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則 ( )(A)當(dāng)時(shí)，存在，使.(

2、B)對(duì)任何，有.(C)當(dāng)時(shí)，存在，使.(D)存在，使.(2) 設(shè)冪級(jí)數(shù)與的收斂半徑分別為與，則冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為 ( )(A) 5 (B) (C) (D)(3) 設(shè)是矩陣，是矩陣，則線性方程組 ( )(A)當(dāng)時(shí)僅有零解 (B)當(dāng)時(shí)必有非零解 (C)當(dāng)時(shí)僅有零解 (D)當(dāng)時(shí)必有非零解 (4) 設(shè)是階實(shí)對(duì)稱矩陣，是階可逆矩陣，已知維列向量是的屬于特征值的特征向量，則矩陣屬于特征值的特征向量是 ( ) (A) (B) (C) (D) (5) 設(shè)隨機(jī)變量和都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則 ( )(A)服從正態(tài)分布 (B)服從分布 (C)和都服從分布 (D)服從分布三、(本題滿分5分)求極限 四、(本題滿分7分)

3、設(shè)函數(shù)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且由方程所確定，求.五、(本題滿分6分)設(shè)求.六、(本題滿分7分)設(shè)是由拋物線和直線及所圍成的平面區(qū)域；是由拋物線和直線所圍成的平面區(qū)域，其中.(1)試求繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積；繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積；(2)問(wèn)當(dāng)為何值時(shí)，取得最大值？試求此最大值.七、(本題滿分7分)(1)驗(yàn)證函數(shù)滿足微分方程(2)利用(1)的結(jié)果求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù). 八、(本題滿分6分)設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且.利用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)，證明存在一點(diǎn)，使 .九、(本題滿分8分)設(shè)齊次線性方程組其中，試討論為何值時(shí)，方程組僅有零解、有無(wú)窮多組解？在有無(wú)窮多組解時(shí)，求出全部解，并用基礎(chǔ)解系表示全部解.十、(本題滿

4、分8分)設(shè)為三階實(shí)對(duì)稱矩陣，且滿足條件，已知的秩(1)求的全部特征值(2)當(dāng)為何值時(shí)，矩陣為正定矩陣，其中為三階單位矩陣.十一、(本題滿分8分)假設(shè)隨機(jī)變量在區(qū)間上服從均勻分布，隨機(jī)變量試求：(1)和的聯(lián)合概率分布；(2).十二、(本題滿分8分)假設(shè)一設(shè)備開(kāi)機(jī)后無(wú)故障工作的時(shí)間服從指數(shù)分布，平均無(wú)故障工作的時(shí)間 為5小時(shí).設(shè)備定時(shí)開(kāi)機(jī)，出現(xiàn)故障時(shí)自動(dòng)關(guān)機(jī)，而在無(wú)故障的情況下工作2小時(shí)便關(guān)機(jī).試求該設(shè)備每次開(kāi)機(jī)無(wú)故障工作的時(shí)間的分布函數(shù).參考答案一、填空題(1)【答案】【詳解】里面為型，通過(guò)湊成重要極限形式來(lái)求極限，(2)【答案】【詳解】畫出與原題中二次積分的限所對(duì)應(yīng)的積分區(qū)域與，將它們的并集記

5、為于是 再將后者根據(jù)積分定義化為如下形式，即，所以(3)【答案】【詳解】由于與線性相關(guān)，(兩個(gè)非零向量線性相關(guān)，則對(duì)應(yīng)分量成比例)，所以有，得 或(兩個(gè)非零向量線性相關(guān)，則其中一個(gè)可以由另一個(gè)線性表出)即 ，得 ，得 (4)【答案】【詳解】、和都是分布，而分布的期望值恰為取時(shí)的概率由離散型隨機(jī)變量和的聯(lián)合概率分布表可得的可能取值為0和1，且的可能取值也為0和1，且和的邊緣分布為；故有 而邊緣分布律：，所以，的聯(lián)合分布及其邊緣分布為 01001802204010320280600500501由上表同理可求得的分布律為01072028所以由分布的期望值恰為取1時(shí)的概率得到：(5)【答案】【詳解】矩

6、估計(jì)的實(shí)質(zhì)在于用樣本矩來(lái)估計(jì)相應(yīng)的總體矩，此題中被估參數(shù)只有一個(gè)，故只需要用樣本一階原點(diǎn)矩(樣本均值)來(lái)估計(jì)總體的一階原點(diǎn)矩(期望)期望 樣本均值 用樣本均值估計(jì)期望有 ，即 ，解得未知參數(shù)的矩估計(jì)量為 二、選擇題(1)【答案】(B)【詳解】方法1：論證法由題設(shè)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，所以在內(nèi)連續(xù)，因此，對(duì)于內(nèi)的任意一點(diǎn)，必有 即有故選(B)方法2：排除法(A)的反例：，有，但在內(nèi)無(wú)零點(diǎn)(C)與(D)的反例， ，但(當(dāng))，不滿足羅爾中值定理，當(dāng)然也不滿足拉格朗日中值定理的結(jié)論故選(B)(2)【答案】(D)【詳解】方法1：是矩陣，是矩陣，則是階方陣，因當(dāng)時(shí)，有(系數(shù)矩陣的秩小于未知數(shù)的個(gè)數(shù))方程組必有非

7、零解，故應(yīng)選(D)方法2：是矩陣, 當(dāng)時(shí),，則，(系數(shù)矩陣的秩小于未知數(shù)的個(gè)數(shù))方程組必有非零解，即存在，使得，兩邊左乘，得，即有非零解，故選(D)(3)【答案】(B)【詳解】方法1：由題設(shè)根據(jù)特征值和特征向量的定義，是階實(shí)對(duì)稱矩陣，故設(shè)，則上式左乘，右乘，得，即，所以 兩邊左乘，得 得根據(jù)特征值和特征向量的定義，知的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量為，即應(yīng)選(B)方法2：逐個(gè)驗(yàn)算(A)，(B)，(C)，(D)中哪個(gè)選項(xiàng)滿足，由題設(shè)根據(jù)特征值和特征向量的定義，是階實(shí)對(duì)稱矩陣，故設(shè)屬于特征值的特征向量為，即，其中對(duì)(A)，即令，代入對(duì)(B)，成立故應(yīng)選(B)(4)【答案】C【分析】(i)變量的典型模式是：

8、，其中要求滿足：相互獨(dú)立，稱為參數(shù)為的變量(ii) 變量的典型模式是：，其中要求滿足：與相互獨(dú)立，稱為參數(shù)為的變量【詳解】方法1：根據(jù)題設(shè)條件，和均服從故和都服從分布，答案應(yīng)選(C)方法2：題設(shè)條件只有和服從，沒(méi)有與的相互獨(dú)立條件因此，與的獨(dú)立條件不存在，選(B)、(D)項(xiàng)均不正確題中條件既沒(méi)有與獨(dú)立，也沒(méi)有正態(tài)，這樣就不能推出服從正態(tài)分布的選項(xiàng)(A)根據(jù)排除法，正確選項(xiàng)必為(C)三【詳解】四【詳解】方法1：用一階微分形式不變性求全微分由所確定，兩邊求全微分，有，解出 所以 方法2：(根據(jù)多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t)下面通過(guò)隱函數(shù)求導(dǎo)得到，由兩邊對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)，有得，類似可得，代入表達(dá)式，再代入 中

9、，得五【詳解】首先要從求出命，則有，于是(通過(guò)換元求出函數(shù)的表達(dá)式)(換元積分法)(分部積分法)六【分析】旋轉(zhuǎn)體的體積公式：設(shè)有連續(xù)曲線，與直線及軸圍成平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)體的體積.【詳解】(1) (2) 根據(jù)一元函數(shù)最值的求法要求駐點(diǎn)，令,得. 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，因此是的唯一極值點(diǎn)且是極大值點(diǎn)，所以是的最大值點(diǎn)，七【解】(1) ，由收斂半徑的求法知收斂半徑為，故由冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間上逐項(xiàng)可導(dǎo)公式得，同理得 從而 (由的麥克勞林展開(kāi)式)這說(shuō)明，是微分方程的解，并且滿足初始條件，.(2)微分方程對(duì)應(yīng)的齊次線性方程為，其特征方程為，其特征根為，所以其通解為.另外，該非齊次方程的特解形式為，代入原非

10、齊次方程得，所以.故微分方程的通解為.故 由初始條件得解得，于是得到惟一的一組解：從而得到滿足微分方程及初始條件的解，只有一個(gè)，為另一方面，由(1)已知也是微分方程及初始條件的解，由微分方程解的唯一性，知 八【詳解】方法1：因?yàn)榕c在上連續(xù)，所以存在使得 ，滿足又，故根據(jù)不等式的性質(zhì)根據(jù)定積分的不等式性質(zhì)有所以 由連續(xù)函數(shù)的介值定理知，存在，使即有 方法2：因?yàn)榕c在上連續(xù)，且，故與都存在，且記，于是即因此必存在使不然，則在內(nèi)由連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理知要么恒為正，從而根據(jù)積分的基本性質(zhì)得；要么恒為負(fù)，同理得，均與不符由此推知存在使，從而 九【詳解】方法1：對(duì)系數(shù)矩陣記為作初等行變換當(dāng)時(shí)，的同解方程組為

11、，基礎(chǔ)解系中含有個(gè)(未知數(shù)的個(gè)數(shù)-系數(shù)矩陣的秩)線性無(wú)關(guān)的解向量，取為自由未知量，分別取，, 得方程組個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，為基礎(chǔ)解系，方程組的全部解為，其中是任意常數(shù)當(dāng)時(shí)，當(dāng)且時(shí)，僅有零解.當(dāng)時(shí)，的同解方程組是基礎(chǔ)解系中含有個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量，取為自由未知量，取，得方程組個(gè)非零解，即其基礎(chǔ)解系，故方程組的全部解為，其中是任意常數(shù)方法2：方程組的系數(shù)行列式(1)當(dāng)且時(shí)，方程組只有零解(2)當(dāng)時(shí)，方程組的同解方程組為基礎(chǔ)解系中含有個(gè)(未知數(shù)的個(gè)數(shù)-系數(shù)矩陣的秩)線性無(wú)關(guān)的解向量，取為自由未知量，分別取，, 得方程組個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，為基礎(chǔ)解系，方程組的全部解為，其中是任意常數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，其同解方程組是基

12、礎(chǔ)解系中含有個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量，取為自由未知量，取，得方程組個(gè)非零解，即其基礎(chǔ)解系，故方程組的全部解為，其中是任意常數(shù)十【詳解】(1) 設(shè)是的任意特征值，是的屬于的特征向量，根據(jù)特征值、特征向量的定義，有 兩邊左乘，得 +2*得 因，從而上式，所以有，故的特征值的取值范圍為因?yàn)槭菍?shí)對(duì)稱矩陣，所以必相似于對(duì)角陣，且的主對(duì)角線上元素由的特征值組成，且，故的特征值中有且只有一個(gè)0. (若沒(méi)有0，則，故與已知矛盾；若有兩個(gè)0，則，故與已知矛盾；若三個(gè)全為0，則，故與已知矛盾). 故即有特征值(2)是實(shí)對(duì)稱矩陣，有特征值，知的特征值為因?yàn)榫仃囌ǖ某湟獥l件是它的所有的特征值均大于零，故正定故時(shí)是正定矩陣十一【分析】有四個(gè)可能值，可以逐個(gè)求出在計(jì)算過(guò)程中要注意到取值與的值有關(guān)的分布為均勻分布，計(jì)算概率不用積分都行，可以直接看所占區(qū)間的長(zhǎng)度比例即可【詳解】只有四個(gè)可能值依照題意，有于是，分布為 (2) 因?yàn)?，所以我們?yīng)該知道和的分布律對(duì)離散型隨機(jī)變量，的取值可