兩個隨機(jī)變量的函數(shù)的分布ppt課件.ppt

1、5. 兩個隨機(jī)變量的函數(shù)的分布, 主要內(nèi)容,1. Z=X+Y的分布 2. Z=X/Y的分布、Z=XY的分布 3. M=max X,Y及N=min X,Y的分布,5. 兩個隨機(jī)變量的函數(shù)的分布, 主要內(nèi)容,1. Z=X+Y的分布 2. Z=X/Y的分布、Z=XY的分布 3. M=max X,Y及N=min X,Y的分布,5. 兩個隨機(jī)變量的函數(shù)的分布, 主要內(nèi)容,1,1. Z=X+Y的分布,例1 設(shè)（X、Y）是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，它具有的概率密度為 f (x, y),求Z=X+Y的密度.,解: Z=X+Y的分布函數(shù)是: FZ (z)=P (Z z)=P(X+Y z),這里積分區(qū)域D=(x, y)

2、: x+y z 是直線x+y =z 左下方的半平面.,2,化成累次積分,得,固定z和y,對方括號內(nèi)的積分作 變量代換, 令x=u-y,得,交換積分次序,3,由概率密度與分布函數(shù)的關(guān)系, 即得Z=X+Y 的概率密度為:,由X和Y的對稱性, fZ (z)又可寫成,以上兩式即是兩個隨機(jī)變量和的概率密度的一般公式.,4,特別，當(dāng)X和Y獨(dú)立，設(shè)(X,Y)關(guān)于X,Y的邊緣 密度分別為fX(x) , fY(y) , 則上述兩式化為:,5,例2 設(shè)X,Y是相互獨(dú)立的服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0, 1)的 隨機(jī)變量。求Z=X +Y的概率密度。,6,即Z服從N(0,2)分布。,可得：,7,一般來說，若 （i=1, 2,

3、 ，n）， 且他們相互獨(dú)立，則他們的和Z=X1+X2+.+Xn 仍然服從正態(tài)分布，且有,這個結(jié)論還能推廣到n個獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量之 和的情況：,8,這個事實(shí)可以證明 有限個相互獨(dú)立的正態(tài) 隨機(jī)變量的線性組合仍 然服從正態(tài)分布,9,2.,的分布、Z =的分布,10,同理可得,故有,11,由此可得分布密度為,同理可得=的分布函數(shù)：,（5.7）,（5.8）,12,特別，當(dāng)X和Y獨(dú)立，設(shè)(X,Y)關(guān)于X,Y的邊緣 密度分別為fX(x) , fY(y) , 則上述兩式分 別化為：,（5.9）,（5.10）,13,例3,14,得所求密度函數(shù),得,15,3. M=max (X，Y )及N=min (X，Y)的

4、分布,設(shè)X和Y是相獨(dú)立的隨機(jī)變量且它們的分布函數(shù)分別記為FX (x)和FY (y)。,上述結(jié)果容易推廣到n個隨機(jī)變量的情形。,16,設(shè)X1，X2，Xn是n個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量， 它們的分布函數(shù)分別為,17,特別當(dāng)X1，X2，Xn是相互獨(dú)立且具有相同 分布函數(shù)時，設(shè)它們的分布函數(shù)為F(x) ，則,18,例4 設(shè)某電路系統(tǒng)L由兩個獨(dú)立的子系統(tǒng)L1，L2組 合而成，其聯(lián)接的方式分別為(1)串聯(lián)；(2)并聯(lián)； (3)備用(當(dāng)L1損壞時, L2開始工作)。如圖,(1),(2),(3),已知L1和L2的壽命分別為X和Y ,其概率密度分別為,。,19,(1) 串聯(lián)的情況,20,于是Z=min (X，Y )的概率密度為,21,(2) 并聯(lián)的情況,由于當(dāng)且僅當(dāng)L1, L2都損壞時, 系統(tǒng)L才停止 工作,所以這時L的壽命Z為 Z=max (X，Y ),于是Z=max (X，Y )的概率密度為,22,(3) 備用情況,由于這時當(dāng)L1,