平行四邊形輔助線解析

1、例1.如圖1，E是平行四邊形ABCD中AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，ED交BC于F，求證：SABF=SCEF.證明：【ABF與CEF僅有一個(gè)相同字母F，所以ABF與CEF不同底；E點(diǎn)可為AB延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)，F(xiàn)由E確定，故F點(diǎn)位置不定，從而BF=CF不一定成立，即ABF與CEF不等底；既不同底也不等底，故不能由公式法直接證兩三角形面積相等】 【考慮到ABF與CEF有公共頂點(diǎn)F，故可考慮用大的規(guī)則圖形面積減去它們所夾圖形面積表示這兩個(gè)三角形的面積】【按順序考慮，由于BEF相對(duì)于梯形AFCD更簡(jiǎn)單，先從ABF的逆時(shí)針?lè)较蚩紤]證SABF+SBEF=SCEF+SBEF,即SAEF=SBCE，AEF與BCE依然既不

2、同底也不等底，與證SABF=SCEF相比，計(jì)算量是一樣的，這個(gè)方向可以先暫停了】 【從ABF的順時(shí)針?lè)较蛘谊P(guān)系，SABF=SABCD-SADF-SCDF或SABF=S梯形ABFD-SADF，ABCD與梯形ABFD相比更規(guī)則，這里選擇ABCD；SCEF=SCDE-SCDF】 【SABCD-SADF-SCDF與SCDE-SCDF對(duì)比，SABCD與SCDE都可以以CD為底邊計(jì)算，且高相等；SCDF兩個(gè)式子都包含；故這個(gè)方向大概率可行】 【要證SABCD-SADF-SCDF=SCDE-SCDF，左邊兩個(gè)運(yùn)算，右邊一個(gè)運(yùn)算，從右往左變形好下手】 連接BD，過(guò)點(diǎn)B作BM垂直CD于M，過(guò)點(diǎn)E作ENCD于N四

3、邊形ABCD為平行四邊形BM=EN【這里BM是ABCD的CD邊上的高，也是BCD的CD邊上的高；EN是CDE的CD邊上的高】SCDB=12CDBM，SCDE=12CDENSCDB=SCDE【證面積相等，底和高表示出來(lái)就好，沒(méi)那么難開(kāi)口】SCEF=SCDE-SCDF= SCDB-SCDF=SDBF 【這個(gè)等量代換后，問(wèn)題轉(zhuǎn)化成證SABF=SDBF】 過(guò)點(diǎn)A作AGBC于G，過(guò)點(diǎn)D作DHBC于H四邊形ABCD為平行四邊形AG=DH SABF=12BFAG，SDBF=12BFDHSABF=SDBF SABF=SCEF 例2.如圖，平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于O，AC=a+b，BD=a+c

4、（bc），AB=m，求m的取值范圍.解:平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于O AO=12AC=a+b2，BO=12BD=a+C2 bcAO-BO=b-C20【AO與BO都是代數(shù)式，作差比較大小】 在ABO中AO-BOABAO+BOb-C2m2a+b+C2 例3.如圖，平行四邊形ABCD中，DBC=30，DEDB交BC的延長(zhǎng)線于E，AD=a，DE=b，求SDCE.解：在BDE中，DBC=30，DEBDBE=2DE=2b，BD=BE2-DE2=3b【BDE的形狀是固定的，BC與AD的位置是固定的，C在BE上位置不定，即AD=BC可為任意值，故a=b肯定推不出來(lái)】 四邊形ABCD為平行四邊形

5、BC=AD=aCE=BE-BC=2b-a 作DHBE于H DBC=30DH=12BD=32b SDCE=12CEDH=12（2b-a）32b=32b2-34ab 例4如圖，平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為40，ABC=60，E、F是BD上的三等分點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線交BC于M，MF的延長(zhǎng)線交AD于N，設(shè)BC=x，SAMN=y，試求y與x的函數(shù)關(guān)系. 解：【看起來(lái)無(wú)從下手，可以在草稿上把條件列一遍：2（AB+BC）=40ABC=60BE=EF=FDBC=xSAMN=y；用x表示y】【結(jié)合用x表示y=SAMN】 【觀察可知，可代入】 平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為40 2（AB+BC）=40BC=xAB=20-

6、x，AD=BC=x【條件剩下: ABC=60BE=EF=FD用x表示y=SAMN】 【從需求出發(fā)，要求y=SAMN，則要求一邊長(zhǎng)及高，顯然選AN為底，可先求AN的高】 【高必有90，與ABC=60結(jié)合為特殊三角形】過(guò)點(diǎn)A作AGBC于點(diǎn)G，ABC=60BAG=30BG=12AB=10-x2，AG=AB2-BG2=103-32x過(guò)點(diǎn)M作MHAD于H四邊形ABCD為平行四邊形AD/BCHM=AG=103-32x【條件剩下: BE=EF=FD用x表示y=SAMN】【三等分點(diǎn)就是三段線段相等，可以把三等分點(diǎn)轉(zhuǎn)化成兩個(gè)中點(diǎn)來(lái)處理】E、F是BD上的三等分點(diǎn)BE=EF=FDE是BF中點(diǎn)，F(xiàn)是DE中點(diǎn)作AE中點(diǎn)

7、I，連接IF，則IF/AD，IF=12AD又AD/BCIF/BG1=2IEFMEB（AAS） BM=IF=12AD=x2同理可得ND=12BM=x4 AN=AD-ND=3x4SAMN=12ANHM=123x4（103-32）=1534x-3316x2，即y=1534x-3316x2例5如圖，平行四邊形ABCD中，N是AB中點(diǎn)，BE=14BC，NE與BD交于F，求BFBD的值. 解：連接NO四邊形ABCD是平行四邊形，O是對(duì)角線交點(diǎn)O是AC中點(diǎn)又N是AB中點(diǎn)NO/BC，NO=12BCBE=14BCBE=12NO【右圖紅線部分即例4紅線部分】作NF中點(diǎn)P，OF中點(diǎn)Q連接PQ則PQ/NO,PQ=12

8、NO，F(xiàn)Q=QOPQ/BE，PQ=BEPQF=EBF，QPF=BEFPQFEBF（ASA）BF=FQ=QO=13BO四邊形ABCD是平行四邊形BO=12BDBF=13BO=16BOBFBD=16 例7如圖，正方形ABCD中，E、F分別為CD、DA的中點(diǎn)，BE、CF交于P，求證AP=AB.解：【比較明顯可以看出BPF=90，也比較好證】四邊形ABCD是正方形BCD=D=90，BC=CD=DAE、F分別為CD、DA的中點(diǎn)CE=DF在BCE與CDF中BC=CD，BCD=D，CE=DFBCECDF1=22+3=901+3=90BPF=CPE=90【求證AP=AB，不管怎么樣，先連接AP】連接AP 【求

9、證AP=AB，則AP=AB必然成立，倒推，考慮三線合一】【很明顯，AP是中垂線，這里輔助線AP的描述可以是：作BP的中垂線PH，證點(diǎn)A在PH上，證不出來(lái)；作BP的中點(diǎn)P，連接AP，證APBP,證不出來(lái)；作APBP于P，證P是BP的中點(diǎn)，證不出來(lái)；】【以上提供三種錯(cuò)誤思路，很多人堅(jiān)韌不拔，證不出來(lái)還死磕，還有的投機(jī)取巧，寫易證，很明顯都不易證】【重新倒推：要證AB=AP，只需證4=5；要證4=5，只通過(guò)ABP證不出來(lái)，故必然要對(duì)4與5進(jìn)行等量代換；4+2=ABC=90，5+6=BPF=90，故要證4=5，只需證2=6；要證2=6，只需證4=5，死循環(huán)，卒】【又一種錯(cuò)誤思路】【接重新倒推：4+2=

10、ABC=90，5+6=BPF=90；BPF是前面好不容易證出來(lái)的90，所以2不要了，想辦法讓4與BPF有關(guān)聯(lián)；4與BPF有共同邊BP，延長(zhǎng)PF，BA交于點(diǎn)Q，則4+Q=90；要證4=5，只需證6=Q，只需證AP=AQ，只需證點(diǎn)AB=AQ】【試圖利用三線合一解題的時(shí)候，就可以發(fā)現(xiàn)AP必然是中位線，進(jìn)而補(bǔ)全BPQ】【以下提供Q點(diǎn)三種描述方法】證法一：延長(zhǎng)CF、BA，交于點(diǎn)Q四邊形ABCD是正方形CD=AB，CD/ABD=DAQF是AD中點(diǎn)DF=FA在CDF與QAF中D=DAQ，DF=FA，CFD=AFQCDFQAF（ASA）AQ=CD=ABAP=12BQ=AB證法二：延長(zhǎng)BA到點(diǎn)Q，使AQ=BA，

11、連接FQ證CDFQAF（SAS），CFD=AFQ，AQ=CD=ABCFD+CFA=180AFQ+CFA=180P、F、Q三點(diǎn)共線AP=12BQ=AB【不證P、F、Q三點(diǎn)共線，可能是四邊形PBQF】證法三：延長(zhǎng)CF到點(diǎn)Q，使FQ=CF，連接AQ證CDFQAF（SAS），D=DAQ=90，AQ=CD=ABBAD=90BAD +DAQ =180B、A、Q三點(diǎn)共線AP=12BQ=AB【不證P、F、Q三點(diǎn)共線，可能是四邊形PBAQ】 例8如圖，平行四邊形ABCD中，E、F分別是DC、DA上一點(diǎn)，AE=CF，AE與CF交于P，求證PB平分APC.證明：【證明PB平分APC有兩種方法，證APB=CPB；證點(diǎn)

12、B到AP、PC距離相等】【比較明顯APB與CPB不全等；若在AP上截取PG=PC構(gòu)造PGBPCB；由于 PG=PC，PB=PB，若通過(guò)SAS證明，則需證APB=CPB，結(jié)論證結(jié)論，必然不可行；若通過(guò)SSS證明，則需證BG=BC，很明顯證不出來(lái).】過(guò)點(diǎn)B作BMAE于點(diǎn)M過(guò)點(diǎn)B作BNCF于點(diǎn)N【問(wèn)題轉(zhuǎn)化成證BM=BN；BM，BN的作用有二：全等高】【若證BPMBPN，已知BP=BP，PMB=PNB，需證第三個(gè)條件：不是MPB=NPB，結(jié)論證結(jié)論；不是BM=BN，結(jié)論證結(jié)論；PM=PN或MBP=NBP，條件不足，無(wú)法證明；全等方向排除】【BM，BM作為高考慮：條件平行四邊形ABCDAE=CF求證BM

13、=BN】【BMAE，BNCF，等底等高，故問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求證SBCF=SABE】 連接BF，BE，作FHBC于H四邊形ABCD是平行四邊形SABCD= BCFHSBCF=12BCFH=12 SABCD同理可證SABE=12 SABCDSBCF=SABE12CFBN=12AEBMAE=CFBN=BM點(diǎn)B在AMC的平分線上BP平分AMC 例9如圖，E是平行四邊形ABCD對(duì)角線BD上一點(diǎn)，EFBC，EGBA，垂足分別為F、G，求證： EFAB=EGBC.解：【很明顯BEGBFE不成立，故考慮EF，EG作為高，則EG對(duì)應(yīng)的底邊是AB，EF對(duì)應(yīng)BC，觀察發(fā)現(xiàn)這四個(gè)量都在EFAB=EGBC中，EFAB=EGB

14、C可變形為EFBC=ABEG，問(wèn)題轉(zhuǎn)化成證SABE=SCBE，同底，只需證等高】 連接AE，CE，作AMBD于點(diǎn)M，CNBD于點(diǎn)N四邊形ABCD為平行四邊形ABDCDBSABD=SCDB12BDAM=12BDCNAM=CN【證ABMCDN或ADMCBN也可】SABE=12BEAM，SBCE=12BECNSABE= SBCE12ABEG= 12BCEFEFAB=EGBC例10如圖10，ABCD是正方形，BEAC，AE=AC，CFAE，求證：AEB=2BCF.解：【很明顯，四邊形AEFC是菱形】BE/AC，CF/AE四邊形AEFC為平行四邊形又AE=AC四邊形AEFC為菱形 【要證AEB=2BCF，AEB是菱形內(nèi)角】AEB=ACF【問(wèn)題轉(zhuǎn)化成證ACF=