高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.3.1 三角函數(shù)的周期性學(xué)案 蘇教版必修

1、13三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)13.1三角函數(shù)的周期性學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解周期函數(shù)、周期、最小正周期的定義.2.理解函數(shù)ysin x，ycos x，ytan x都是周期函數(shù)，都存在最小正周期.3.會(huì)求函數(shù)yAsin(x)及yAcos(x)的周期知識(shí)鏈接1觀察單位圓中的三角函數(shù)線知正弦值每相隔2個(gè)單位重復(fù)出現(xiàn)其理論依據(jù)是什么？答誘導(dǎo)公式sin(x2k)sin x(kZ)當(dāng)自變量x的值增加2的整數(shù)倍時(shí)，函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)2設(shè)f(x)sin x，則sin(x2k)sin x可以怎樣表示？答f(x2k)f(x)，這就是說(shuō)：當(dāng)自變量x的值增加到x2k時(shí)，函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)預(yù)習(xí)導(dǎo)引1函數(shù)的周期性(1)一般地，對(duì)于函數(shù)f(x

2、)，如果存在一個(gè)非零的常數(shù)T，使得定義域內(nèi)的每一個(gè)x值，都滿足f(xT)f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期(2)如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小的正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性由sin(x2k)sin_x，cos(x2k)cos_x知ysin x與ycos x都是周期函數(shù)，2k(kZ且k0)都是它們的周期，且它們的最小正周期都是2.3yAsin(x)，yAcos(x)的周期一般地，函數(shù)yAsin(x)及yAcos(x)(其中A，為常數(shù)，且A0，0)的周期T.要點(diǎn)一求三角函數(shù)的周期例1求下列函數(shù)的周

3、期：(1)ysin(xR)；(2)y|sin 2x|(xR)解(1)方法一令z2x，xR，zR.函數(shù)f(x)sin z的最小正周期是2，就是說(shuō)變量z只要且至少要增加到z2，函數(shù)f(x)sin z(zR)的值才能重復(fù)取得，而z22x22(x)，所以自變量x只要且至少要增加到x，函數(shù)值才能重復(fù)取得，從而函數(shù)f(x)sin(xR)的周期是.方法二f(x)sin的周期為.(2)作出y|sin 2x|的圖象由圖象可知，y|sin 2x|的周期為.規(guī)律方法(1)利用周期函數(shù)的定義求三角函數(shù)的周期，關(guān)鍵是抓住變量“x”增加到“xT”時(shí)函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)，則可得T是函數(shù)的一個(gè)周期(2)常見(jiàn)三角函數(shù)周期的求法：對(duì)于

4、形如函數(shù)yAsin(x)，0(或yAcos(x)，0)的周期求法通常用公式T來(lái)求解對(duì)于形如y|Asin x|(或y|Acos x|)的周期情況常結(jié)合圖象法來(lái)解決跟蹤演練1求下列函數(shù)的最小正周期(1)ycos 2x；(2)ysin x；(3)y2sin.解(1)定義法：令u2x，則cos 2xcos u是周期函數(shù)，且最小正周期為2.cos(u2)cos u，則cos(2x2)cos 2x，即cos2(x)cos 2x.cos 2x的最小正周期為.公式法：2，T，故ycos 2x的最小正周期為.(2)如果令ux，則sin xsin u是周期函數(shù)，且最小正周期為2.sinsin，即sinsin x.

5、ysin x的最小正周期是4.(3)2sin2sin，即2sin2sin.y2sin的最小正周期是6.要點(diǎn)二三角函數(shù)周期性的應(yīng)用例2定義在R上的函數(shù)f(x)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若f(x)的最小正周期是，且當(dāng)x時(shí)，f(x)sin x，求f的值解f(x)的最小正周期是，ffff(x)是R上的偶函數(shù)，ffsin .f.規(guī)律方法解決此類(lèi)問(wèn)題關(guān)鍵是運(yùn)用函數(shù)的周期性和奇偶性，把自變量x的值轉(zhuǎn)化到可求值區(qū)間內(nèi)跟蹤演練2若f(x)是以為周期的奇函數(shù)，且f1，求f的值解因f(x)是以為周期的奇函數(shù)，所以ffff1.1函數(shù)y3sin1的最小正周期是_答案2已知f(x)cos的最小正周期為，其中0，則_.答案1

6、0解析T10.3已知f(x)是R上的奇函數(shù)，且f(1)2，f(x3)f(x)，則f(8)_.答案2解析f(x3)f(x)，f(x)是周期函數(shù)，3就是它的一個(gè)周期，且f(x)f(x)f(8)f(223)f(2)f(13)f(1)f(1)2.4已知函數(shù)f(x)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x滿足條件f(x2)，若f(1)5，則f(f(5)_.答案解析由已知f(x4)f(x)，f(x)是周期為4的函數(shù)f(5)f(1)5，于是f(f(5)f(5)f(1).求函數(shù)的最小正周期的常用方法：(1)定義法，即觀察出周期，再用定義來(lái)驗(yàn)證；也可由函數(shù)所具有的某些性質(zhì)推出使f(xT)f(x)成立的T.(2)圖象法，即作出yf(x)的

7、圖象，觀察圖象可求出T.如y|sin x|.(3)結(jié)論法，一般地，函數(shù)yAsin(x)或yAcos(x)(其中A、為常數(shù)，A0，0，xR)的周期T.一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1函數(shù)f(x)cos(2x)的最小正周期是_答案解析最小正周期為T(mén).2函數(shù)ysin的最小正周期是，則_.答案3解析，|3，3.3函數(shù)f(x)cos x，則f(2 016)_.答案1解析f(x)cos x的周期T12.f(2 016)f(1671212)f(12)cos cos 21.4函數(shù)y3sin的最小正周期為_(kāi)答案解析T.5已知函數(shù)f(x)8sin2的最小正周期不大于3，則正整數(shù)k的最小值是_答案7解析由已知3，|k|2，而k0，k

8、2，正整數(shù)k的最小值是7.6若函數(shù)f(x)2cos的最小正周期為T(mén)，且T(1,3)，則正整數(shù)的最大值是_答案6解析由已知T，10，2.又N*，3,4,5,6，的最大值為6.7若函數(shù)f(x)sin (nZ)，求f(97)f(98)f(99)f(102)的值解sin sinsin(nZ)，f(n)f(n12)，即函數(shù)f(x)的周期T12.971281,1021286，f(97)f(98)f(99)f(102)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)sin sin sin sin sin sin 102.二、能力提升8已知奇函數(shù)yf(x)(xR)，且f(x)f(x4)，f(1)2，則f(2)

9、f(3)f(4)_.答案2解析yf(x)為奇函數(shù)，且在x0有定義，f(0)0，f(4)f(0)0，f(3)f(1)f(1)2.f(2)f(2)f(2)，f(2)0.f(2)f(3)f(4)0(2)02.9已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x1)，且當(dāng)x0,1時(shí)，f(x)2x，則f(7.5)_.答案解析f(x1)，f(x2)f(x)，f(7.5)f(80.5)f(0.5)，又x0,1時(shí)，f(x)2x，則f(0.5)20.5.10已知函數(shù)f(x)對(duì)于任意xR滿足條件f(x3)，且f(1)，則f(2 014)_.答案2解析因?yàn)閒(x6)f(x)，所以函數(shù)f(x)的周期為6，故f(2 014)f(4)2.11設(shè)f(x)是定義在R上且最小正周期為的函數(shù)，在某一周期上f(x)求f的值解f(x)的周期為，fff.00，sin x0，xk，kZ.函數(shù)的定義域?yàn)閤|xk，kZ0|sin x|1，log|sin x|0，函數(shù)的值域?yàn)閥|y0(2)f(x)log|sin(x)|log|sin x|f(x)，函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，且最小正周期是.三、探究與