高中數(shù)學 2.3.3平面向量的坐標運算及其共線的坐標表示教學設(shè)計 新人教A版必修

1、平面向量的坐標運算及其共線的坐標表示（第二課時） 教學設(shè)計一 教學內(nèi)容解析本節(jié)課的內(nèi)容選自人教A版必修4平面向量的坐標運算及其共線的坐標表示,在學習平面向量基本定理及其坐標表示的基礎(chǔ)上，進一步研究平面向量的坐標運算。向量是一個數(shù)學模型，又是一個數(shù)學工具。作為數(shù)學模型，它需要從不同的角度（幾何或代數(shù)）建構(gòu)或完善自己身的數(shù)學體系；作為數(shù)學工具，它是一種方法，用以解決幾何（平面幾何，立體幾何，解析幾何）、代數(shù)、三角、物理等方面的問題。向量是既有大小又有方向的量，向量是數(shù)形結(jié)合的體現(xiàn)。但是前面所研究的向量加法、減法、數(shù)乘等運算中，都是從“形”的角度展開，很多問題需要借助平面圖形的幾何性質(zhì)才能解決，這給

2、向量的深入研究帶來了很多困難，有必要從“數(shù)”的方向進行研究，而向量的坐標表示正是適逢其時，使得形與數(shù)二者相互結(jié)合、互為補充，開辟了向量運算的新天地。平面向量的坐標運算及其共線向量的坐標表示是在學生對平面向量的基本定理有了充分的認識和正確的應用后產(chǎn)生的。向量用坐標表示后，對立體幾何教材的改革也有著深遠的意義，可使空間結(jié)構(gòu)系統(tǒng)地代數(shù)化，把空間形式的研究從“定性”推到“定量”的深度。引入坐標運算之后使學生形成了完整的知識體系（向量的幾何表示和向量的坐標表示），為用“數(shù)”的運算解決“形”的問題搭起了橋梁。二 教學目標設(shè)置1.知識與技能：掌握平面向量坐標運算，包括平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算掌握平面向

3、量共線的坐標表示，會根據(jù)向量的坐標，判斷向量是否共線.2.過程與方法：大膽讓學生自己探究向量的坐標運算及共線向量的坐標表示，這是向量的代數(shù)運算，利用向量的坐標可以使向量運算完全代數(shù)化，實現(xiàn)了形向數(shù)的轉(zhuǎn)化.3.情感、態(tài)度與價值觀：了解向量是數(shù)形結(jié)合的體現(xiàn)，要從“數(shù)”的方向研究向量，這對學生來說學習并不困難，趁機培養(yǎng)學生的學習興趣及探索精神在解決問題過程中要形成見數(shù)思形、以形助數(shù)的思維習慣,以加深理解知識要點,增強應用意識.三學生的學情分析本節(jié)課是在學習了向量的概念和表示、向量的線性運算以及平面向量基本定理后，開始研究平面向量的坐標運算。向量的坐標運算及共線向量的坐標表示是向量的代數(shù)運算，這對學生

4、來說學習并不困難，可以大膽讓學生自己探究。教師在引導學生探究時始終抓住向量具有幾何與代數(shù)的雙重特征這一屬性和向量具有數(shù)與形結(jié)合的這一特點，利用已有的知識，進一步熟悉向量的坐標運算及共線向量的坐標表示，能體會向量代數(shù)化的重要作用，并加強數(shù)學應用意識，提高分析問題、解決問題的能力。四 教學策略分析教學過程是教師和學生共同參與的過程，啟發(fā)學生自主性學習,充分調(diào)動學生的積極性、主動性；有效地滲透數(shù)學思想方法，提高學生素質(zhì)。 針對本節(jié)課的教學目標和學生的實際情況，在教學中采用“問題教學法和引探式教學法”的教學方法。應用多媒體課件輔助教學。五教學過程設(shè)計（一）復習回顧1.平面向量的加、減運算及其幾何意義：

5、向量的加法：三角形法則（首尾相連）和平行四邊形法則（共起點）。 向量的減法：， 則 。（共起點，連終點，方向指向被減數(shù)）。 2.平面向量的坐標表示：在平面直角坐標系中，分別取與軸、軸方向相同的兩個單位向量,作基底，對于平面內(nèi)的任意一個向量，有且只有一對實數(shù)，使得向量，我們把有序?qū)崝?shù)對(,)叫做向量的坐標，記作： 3.向量共線定理：向量與向量為共線向量，當且僅當有唯一一個實數(shù)使得【設(shè)計意圖】以提問的方式完成對舊知識的復習鞏固，為本節(jié)課探究新知打下堅實的基礎(chǔ)。（二）情境引入（提出問題，激發(fā)學生學習興趣）以前，我們所講的向量都是用有向線段表示，即幾何的方法表示。學習了向量的坐標表示后，我們知道向量也

6、可以用代數(shù)的方法，即用坐標來表示。那么向量的運算就可以通過坐標運算來完成，問題的解決肯定要方便的多。因此，我們有必要探究一下這個問題：平面向量的坐標運算及其共線的坐標表示。（板書課題）（三）探索研究（教師當導演，學生做主演，教師積極啟發(fā)學生思考）我們研究了平面向量的坐標表示,現(xiàn)在已知,你能得出,的坐標表示嗎? 活動:學生通過向量的坐標表示來進行兩個向量的加、減運算,可得: 即同理教師和學生一起總結(jié),把上述結(jié)論用文字敘述分別為: 兩個向量和(差)的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和(差);實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應坐標.設(shè)計意圖 推導公式，明確運算法則設(shè)計的提問題是學生利

7、用向量已有的知識可以解決的，這樣激發(fā)了學生學習數(shù)學的興趣，有意識地培養(yǎng)學生分析理解問題的能力。如圖1,已知,怎樣表示的坐標？你能在圖中標出坐標為的點嗎?標出點后,你能總結(jié)出什么結(jié)論? 圖1 討論結(jié)果:=-=結(jié)論:一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去始點的坐標.【設(shè)計意圖】通過向量的減法運算說明一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點坐標減去始點的坐標教師對總結(jié)完全的同學進行表揚,并鼓勵學生,只要善于開動腦筋,勇于創(chuàng)新,展開思維的翅膀,就一定能獲得意想不到的收獲.如何用坐標表示兩個共線向量?活動:此處教師要對探究困難的學生給以必要的點撥:設(shè),其中.向量與向量共線，當且僅當有

8、唯一一個實數(shù)，使得。如果用坐標表示,可寫為即消去后得這就是說,當且僅當時向量與向量為共線向量.又我們知道與是等價的。討論結(jié)果: 時向量與向量為共線向量.教師應向?qū)W生特別提醒感悟:向量共線的兩種等價形式:向量與向量為共線向量，其中, 設(shè)計意圖總結(jié)知識點，加深理解，突破重難點。通過問題的形式調(diào)動學生積極思考、主動探索、歸納總結(jié)；從而得到向量的坐標運算與坐標表示兩個共線向量的結(jié)論；同時增加學生在學習中的獲取知識的快樂。（四）新知鞏固 （應用探究結(jié)論，解決問題，訓練思維） 例1 已知,求,的坐標.解:=(2,1)+(-3,4)=(-1,5);=(2,1)-(-3,4)=(5,-3);=3(2,1)+4

9、(-3,4)=(6,3)+(-12,16)=(-6,19).【設(shè)計意圖】本例是向量代數(shù)運算的簡單應用,讓學生根據(jù)向量和、差及數(shù)乘的坐標運算得出的結(jié)論，可由學生自己完成.變式訓練1.已知且，則的值為 【設(shè)計意圖】此題是平面向量坐標運算的常規(guī)題,目的是熟悉平面向量的坐標運算公式，教學過程中要讓學生感受到坐標運算的簡潔，體會形式化運算的有優(yōu)點.例2已知ABCD的三個頂點A、B、C的坐標分別是(-2,1)、(-1,3)、(3,4),試求頂點D的坐標.活動:本例的目的仍然是讓學生熟悉平面向量的坐標運算.這里給出了兩種解法:解法一利用“兩個向量相等,則它們的坐標相等”,解題過程中應用了方程思想;解法二利用

10、向量加法的平行四邊形法則求得向量的坐標,進而得到點D的坐標.解題過程中,關(guān)鍵是充分利用圖形中各線段的位置關(guān)系(主要是平行關(guān)系),數(shù)形結(jié)合地思考,將頂點D的坐標表示為已知點的坐標.解:方法一:設(shè)頂點D的坐標為(x,y).=(-1-(-2),3-1)=(1,2),=(3-x,4-y).由=,得(1,2)=(3-x,4-y).頂點D的坐標為(2,2).方法二:由向量加法的平行四邊形法則,可知=(-2-(-1),1-3)+(3-(-1),4-3)=(3,-1),而=+=(-1,3)+(3,-1)=(2,2),頂點D的坐標為(2,2).【設(shè)計意圖】本題目的是讓學生熟悉平面向量的坐標運算，通過數(shù)形結(jié)合解決

11、問題。變式訓練2.已知平面上三點的坐標分別為A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),求點D的坐標使這四點構(gòu)成平行四邊形四個頂點.解:當平行四邊形為ABCD時,仿例二得:D1=(2,2);當平行四邊形為ACDB時,仿例二得:D2=(4,6); 當平行四邊形為DACB時,仿上得:D3=(-6,0). 【設(shè)計意圖】本題進一步體現(xiàn)研究平面向量的核心思想-數(shù)形結(jié)合的思想，同時滲透分類討論的思想，培養(yǎng)學生分析問題，解決問題的能力。例3已知=(4,2),=(6,y),且,求y.解:,4y-26=0.y=3.變式訓練3.已知，若與平行，則的值為 設(shè)計意圖引導學生利用平面向量共線的充要條件完成了例3的解答

12、后，通過變式訓練使知識的系統(tǒng)化。完善了認知結(jié)構(gòu)；引導學生從不同的問題中領(lǐng)悟新舊知識的本質(zhì)屬性，體現(xiàn)了問題變換的思想。例4已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),試判斷A、B、C三點之間的位置關(guān)系.活動:教師引導學生利用向量的共線來判斷.首先要探究三個點組合成兩個向量,然后根據(jù)兩個向量共線的充要條件來判斷這兩個向量是否共線從而來判斷這三點是否共線.教師引導學生進一步理解并熟練地運用向量共線的坐標形式來判斷向量之間的關(guān)系.讓學生通過觀察圖象領(lǐng)悟先猜后證的思維方式.解:在平面直角坐標系中作出A、B、C三點,觀察圖形,我們猜想A、B、C三點共線.下面給出證明.=(1-(-1),3-(-1)=

13、(2,4), =(2-(-1),5-(-1)=(3,6),又26-34=0,且直線AB、直線AC有公共點A,A、B、C三點共線.點評:本例的解答給出了判斷三點共線的一種常用方法,其實質(zhì)是從同一點出發(fā)的兩個向量共線,則這兩個向量的三個頂點共線.這是從平面幾何中判斷三點共線的方法移植過來的.變式訓練：4.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三點共線，則x的值為_. 設(shè)計意圖:引導學生利用向量的共線來判斷.首先要探究三個點組合成兩個向量,然后根據(jù)兩個向量共線的充要條件來做.引導學生進一步理解并熟練地運用向量共線的坐標形式來判斷向量之間的關(guān)系.（五）課堂小結(jié)1.先由學生回顧本節(jié)都學習了哪些數(shù)學

14、知識:平面向量的和、差、數(shù)乘的坐標運算,兩個向量共線的坐標表示.向量共線的等價條件有兩種形式:向量與向量為共線向量 【設(shè)計意圖】小節(jié)是一堂課內(nèi)容的概括和總結(jié)，是必不可少的一個環(huán)節(jié)，有利于使學生把握本節(jié)所學的重要內(nèi)容，讓學生總結(jié)，是檢查學生的收獲情況，是更進一步培養(yǎng)學生的歸納總結(jié)能力。（六）課堂練習及課后作業(yè)1. 若與相等，已知則的值為 2. 已知和向量，若，求點的坐標。3. 已知向量若與平行，試求的值。4.已知平面向量 ， ，且，那么（ ）A. k=1且 與同向 B.k=1且 與反向 C.k=-1且 與同向 D.k=-1且 與反向 5.若，且A,B,C三點共線，求的值6.已知向量的坐標，求，的

15、坐標。(1) (2) 7.已知求點A的坐標。8.若向量=(-1，x)與=(-x， 2)共線且方向相同，則x為_.9.設(shè)向量，若向量與向量共線，則= 10. 設(shè)A(k,12)，B(4,5)，C(10，k)，求當k為何值時，A、B、C三點共線【設(shè)計意圖】鞏固基礎(chǔ)知識，設(shè)置分層作業(yè)，滿足每一位學生，增強學生學習數(shù)學的愿望和信心.（七）教學反思本節(jié)課的教學效果從整體上看是非常順利的，學生的自主探究和思維活動都一步步得到實施，并且真正做到了讓每一位學生都參與到課堂教學活動中，體現(xiàn)了以人為本。學生的數(shù)學學習活動不應只限于接受、記憶、模仿和練習，高中數(shù)學課程還應倡導自主探究，手動實踐，合作交流，閱讀自學等學習方式。本節(jié)課設(shè)計時較大的困難是共線向量坐標表示充要條件的教學，如果讓學生死記硬背，學生只能表面接受，但不能真正理解。處理時要讓學生自主探究，這樣體現(xiàn)了利用舊