原（逆）命題、原（逆）定理.ppt

1、17.2 勾股定理的逆定理,R八年級數(shù)學下冊,狀元成才路,狀元成才路,狀元成才路,新課導入,這個命題的條件和結論分別是什么？,命題1 如果直角三角形兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2,條件：直角三角形的兩直角邊長為a，b，斜邊長為c .結論：a2+b2=c2,狀元成才路,狀元成才路,狀元成才路,如果將條件和結論反過來，這個命題還成立嗎？,答案就藏在課本中，我們一起來看一看！,狀元成才路,狀元成才路,狀元成才路,學習目標,1.了解命題、逆命題等概念，并會寫一個命題的逆命題. 2.會判斷一個命題的逆命題的真假，知道定理與逆定理的關系. 3.了解勾股定理的逆定理的條件與結論與原

2、命題的條件與結論的關系. 4.學會運用勾股定理的逆定理判別一個三角形是不是直角三角形.,狀元成才路,狀元成才路,狀元成才路,推進新課,知識點 1,互逆命題,據(jù)說，古埃及人曾用如圖所示的方法畫直角.,狀元成才路,狀元成才路,狀元成才路,三邊分別為3，4，5， 滿足關系：32+42=52， 則該三角形是直角三角形,狀元成才路,狀元成才路,狀元成才路,畫一畫：下列各組數(shù)中的兩數(shù)平方和等于第三數(shù)的平方，分別以這些數(shù)為邊長畫出三角形(單位：cm). 2.5，6，6.5； 6，8，10； 4，7.5，8.5,狀元成才路,狀元成才路,狀元成才路,用量角器量一量，它們是什么三角形？,直角三角形,由前面幾個例子

3、，我們可以作出什么猜想？,如果三角形ABC的三邊長a，b，c滿足a2+b2 =c2，那么這個三角形是直角三角形,狀元成才路,狀元成才路,狀元成才路,命題1 如果直角三角形兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2,命題2 如果三角形ABC的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形,這兩個命題有什么不同？,題設,結論,結論,題設,狀元成才路,狀元成才路,狀元成才路,我們把像這樣，題設和結論正好相反的兩個命題叫做互逆命題.如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題.,狀元成才路,狀元成才路,狀元成才路,說出下列命題的逆命題.這些逆命題成立嗎？ （1）兩

4、條直線平行，內錯角相等； （2）如果兩個實數(shù)相等，那么它們的絕對值相等；,（1）內錯角相等，兩直線平行； 成立,（2）如果兩個實數(shù)的絕對值相等，那么這兩個實數(shù)相等； 不成立,狀元成才路,狀元成才路,狀元成才路,說出下列命題的逆命題.這些逆命題成立嗎？ （3）全等三角形的對應角相等； （4）在角的內部，到角兩邊距離相等的點在角的平分線上.,（3）對應角相等的兩個三角形全等；不成立,（4）角平分線上的點到角兩邊的距離相等；成立,狀元成才路,狀元成才路,狀元成才路,知識點 2,勾股定理的逆定理,命題2正確嗎？如何證明呢？,？,三角形全等,a,狀元成才路,狀元成才路,狀元成才路,證明:畫一個ABC，使

5、 C=90，BC=a，CA=b., C=90， AB2= a2+b2=c2，, AB =c., ABC ABC（SSS）., C=C=90.,BC=a=BC，CA=b=CA，AB=c=AB.,在ABC和ABC中,狀元成才路,狀元成才路,狀元成才路,勾股定理的逆定理 如果三角形ABC的三邊長a，b，c滿足a2+b2 =c2，那么這個三角形是直角三角形,作用：判定一個三角形三邊滿足什么條件時為直角三角形,狀元成才路,狀元成才路,狀元成才路,例1判斷由線段a,b,c組成的三角形是不是直角三角形： （1）a=15，b=8，c=17； （2）a=13，b=14，c=15.,分析：只要看兩條較小邊長的平方

6、和是否等于最大邊長的平方,狀元成才路,狀元成才路,狀元成才路,解：(1),152+82 =225+64=289， 172 =289， 152+82 =172.,以15,8,17為邊長的三角形是直角三角形,像15，17，8 這樣，能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù),狀元成才路,狀元成才路,狀元成才路,解：(2),132+142 =169+196=365， 152 =225， 132+142 152.,這個三角形不是直角三角形,狀元成才路,狀元成才路,狀元成才路,如果三條線段長a,b,c滿足a2=c2-b2，這三條線段組成的三角形是不是直角三角形？為什么？,解：這三條線段組成的三角

7、形是直角三角形. 因為由 a2=c2-b2，所以有a2+b2=c2，由勾股定理的逆定理知這個三角形是直角三角形.,狀元成才路,狀元成才路,狀元成才路,知識點 3,用勾股定理的逆定理解決實際問題,例2如圖，某港口P位于東西方向的海岸線上.“遠航”號、“海天”號輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠航”號每小時航行16n mile，“海 天”號每小時航行12n mile.它們離開 港口一個半小時后分別位于點Q、R 處，且相距30n mile.如果知道“遠航” 號沿東北方向航行，能知道“海天” 號沿哪個方向航行嗎？,狀元成才路,狀元成才路,狀元成才路,分析：,1.求“海天”號的航向就是求 的角

8、度.,2,2.已知1的角度，則求出RPQ的 角度即可.,3.根據(jù)已知條件可求出三邊，利用勾股定理的逆定理判斷RPQ是否為直角.,狀元成才路,狀元成才路,狀元成才路,解：根據(jù)題意， PQ=161.5=24, PR=121.5=18,QR=30. 因為242+182=302， 即PQ2+PR2=QR2，所以QPR=90. 1=45.因此2=45，即“海天”號沿西北方向航行.,狀元成才路,狀元成才路,狀元成才路,A,B,C三地的兩兩距離如圖所示，A地在B地的正東方向，C地在B地的什么方向？,解：AB2+BC2122+52 =144+25=169， AC2=132=169，所以AB2+BC2=AC2，

9、 ABC為直角三角形，且B=90，由于A地在B地的正東方向，所以C地在B地的正北方向.,狀元成才路,狀元成才路,狀元成才路,隨堂演練,基礎鞏固,1.下列各組數(shù)能否作為一個直角三角形的三邊長?為什么？ (1) 5，12，13 (2) 6，8，10 (3) 15，20，25,狀元成才路,狀元成才路,狀元成才路,2.寫出下列命題的逆命題，并斷定其逆命題的真假性. (1)如果兩個角是直角，那么它們相等. (2)在角的內部，到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上. (3)如果 ，那么a0.,狀元成才路,狀元成才路,狀元成才路,解：(1)如果兩個角相等，那么這兩個角是直角.假 命題.,(2)在角的內部，角的

10、平分線上的點到兩邊的距離相等.真命題.,(3)如果a0，那么 .真命題.,狀元成才路,狀元成才路,狀元成才路,綜合應用,解：由題意得：(a+b)(a-b)(a2+b2-c2)=0，a-b=0或a2+b2-c2=0.,5.已知a、b、c是ABC的三邊長，且滿足 ，試判斷ABC的形狀.,當a=b時，ABC為等腰三角形; 當ab時，ABC為直角三角形.,狀元成才路,狀元成才路,狀元成才路,誤 區(qū) 診 斷,在ABC中，a:b:c=9:15:12，試判斷ABC是直角三角形.,錯解：依題意，設 a=9k,b=15k,c=12k(k0)， a2+b2=(9k)2+(15k)2=306k2,c2=(12k)2

11、=144k2, a2+b2c2，ABC不是直角三角形.,狀元成才路,狀元成才路,狀元成才路,錯因分析：錯在沒有弄清楚哪條邊是最長邊的情況下就盲目地運用勾股定理的逆定理，從而導致錯誤.,正解：依題意知b是最長邊， 設a=9k，b=15k，c=12k(k0)， a2+c2=(9k)2+(12k)2=225k2,b2=(15k)2=225k2, a2+c2 = b2，ABC是直角三角形.,狀元成才路,狀元成才路,狀元成才路,課堂小結,勾股定理的逆定理,逆命題和逆定理,勾股定理的逆定理,勾股數(shù),狀元成才路,狀元成才路,狀元成才路,一個零件的形狀如圖所示，工人師傅量得這個零件各邊尺寸如下(單位：dm)：

12、AB=3，AD=4，BC=12，CD=13.且DAB=90.你能求出這個零件的面積嗎？,狀元成才路,狀元成才路,狀元成才路,解：如圖，連接BD.在RtABD中，,在BCD中， BD2+BC2=52+122=132=CD2.,BCD為直角三角形，DBC=90.,狀元成才路,狀元成才路,狀元成才路,1.從課后習題中選??； 2.完成練習冊本課時的習題。,課后作業(yè),狀元成才路,狀元成才路,狀元成才路,習題17.2,復習鞏固,（1）（2）（3）是；（4）不是.,1.判斷由線段a,b,c組成的三角形是不是直角三角形: （1）a=7,b=24,c=25;（2）a= ,b=4,c=5; （3）a= ,b=1,

13、c= ;（4）a=40,b=50,c=60.,狀元成才路,狀元成才路,狀元成才路,2.下列各命題都成立，寫出它們的逆命題.這些逆命題成立嗎？ （1）同旁內角互補，兩直線平行； （2）如果兩個角是直角，那么它們相等； （3）全等三角形的對應邊相等； （4）如果兩個實數(shù)相等，那么它們的平方相等.,狀元成才路,狀元成才路,狀元成才路,解：（1）這個命題的逆命題是“兩直線平行，同旁內角互補”；成立.,（2）這個命題的逆命題是“如果兩個角相等，那么它們都是直角”，不成立.,（3）這個命題的逆命題是“對應邊相等的三角形全等”；成立.,（4）這個命題的逆命題是“如果兩個實數(shù)的平方相等，那么這兩個實數(shù)相等”；

14、不成立.,狀元成才路,狀元成才路,狀元成才路,3.小明向東走80 m后，沿另一方向又走了60 m，再沿第三個方向走100 m回到原地.小明向東走80m后是向哪個方向走的？,解:小明的行走路線恰好構成三角形.因為602+802= 3600+6400=10000=1002，所以這個三角形是直角三角形，,因為小明向東走80m，因此小明又向北或南走60m.,狀元成才路,狀元成才路,狀元成才路,4.在ABC中，AB=13，BC=10，BC邊上的中線AD=12.求AC.,綜合應用,因為BD2+AD2=52+122=25+144=169，AB2=132=169，,所以BD2+AD2=AB2，所以ABD是直角

15、三角形且ADB=90.因此ADC中，ADC=90，由勾股定理得：AC2=AD2+CD2=52+122=132，所以AC=13.,解：在ABD中，BD= BC=5，AD=12，AB=13，,狀元成才路,狀元成才路,狀元成才路,5.如圖，在四邊形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，B=90.求四邊形ABCD的面積.,狀元成才路,狀元成才路,狀元成才路,解：如圖，連接BD.在RtABD中，,在BCD中， BD2+BC2=52+122=132=CD2.,BCD為直角三角形，DBC=90.,狀元成才路,狀元成才路,狀元成才路,6.如圖，在正方形ABCD中，E是BC的中點，F(xiàn)是CD上一

16、點， 且CF= CD.求證AEF=90.,狀元成才路,狀元成才路,狀元成才路,證明：設CF=x，則EC=BE=2x，DF=3x，AD=AB=4x.,由勾股定理得：EF2=EC2+FC2=5x2，AE2=AB2+BE2=20 x2， AF2=AD2+DF2=25x2，,EF2+AE2=25x2=AF2.,由勾股定理的逆定理知，AEF=90.,狀元成才路,狀元成才路,狀元成才路,7.我們知道3,4,5是一組勾股數(shù)，那么3k,4k,5k（k是正 整數(shù)）也是一組勾股數(shù)嗎？一般地，如果a,b,c是一組勾股數(shù)，那么ak,bk,ck（k是正整數(shù)）也是一組勾股數(shù)嗎？,解：（1）3k,4k,5k也是一組勾股數(shù).,拓廣探索,因為（3k