(結構動力學2)運動方程的建立35.ppt

1、結構動力學（2010）,結構動力學 第二章 運動方程的建立,運動方程：描述結構中力與位移關系的數(shù)學表達式 （有時稱動力方程） 運動方程是進行結構動力分析的基礎 運動方程的建立是結構動力學的重點，也是難點,2.1 基本動力體系 單自由度體系：SDOF（SingleDegreeofFreedomSystem） 結構的運動狀態(tài)僅需要一個幾何參數(shù)即可以確定 分析單自由度體系的意義： 第一，單自由度系統(tǒng)包括了結構動力分析中涉及的所有物理量及基本概念。 第二，很多實際的動力問題可以直接按單自由度體系進行分析計算。 圖2.1 結構動力分析中常用的單自由度體系力學模型,2.1 基本動力體系 （a）單層框架結構

2、 （b）彈簧質點體系 圖2.1結構動力分析中常用的單自由度體系力學模型,兩個典型的單自由度體系 物理元件： 集中質量 m 阻尼系數(shù) c 彈簧剛度 k 兩個力學模型完全等效 兩個體系的運動方程相同,2.1 基本動力體系 1. 慣性力（Inertial Force） 慣性：保持物體運動狀態(tài)的能力 慣性力： 大小等于物體的質量與加速度的乘積， 方向與加速度的方向相反。 I 慣性（Inertial）； m 質量（mass） ； 質點的加速度。,2.1 基本動力體系 2. 彈簧的恢復力（Resisting Force of Spring） 對彈性體系，彈簧的恢復力也被稱為彈性恢復力 彈性恢復力：大小等于

3、彈簧剛度與位移（彈簧變形）的乘積， 方向指向體系的平衡位置。 s 表示彈簧（Spring） k 彈簧的剛度（Spring Stiffness） u 質點位移,2.1 基本動力體系 單層框架結構的水平剛度 h框架結構的高度 E彈性模量 Ib和Ic梁和柱的截面慣性矩,：,0 ：,2.1 基本動力體系 3. 阻尼力（Damping Force） 阻尼：引起結構能量的耗散，使結構振幅驟漸變小的一種作用 阻尼來源（物理機制）： (1)固體材料變形時的內摩擦，或材料快速應變引起的熱耗散； (2)結構連接部位的摩擦，結構構件與非結構構件之間的摩擦； (3)結構周圍外部介質引起的阻尼。例如，空氣、流體等。 粘

4、滯(性)阻尼力可表示為： D 阻尼（damping） c 阻尼系數(shù)（Damping coefficient） 質點的運動速度,2.1 基本動力體系 阻尼系數(shù)c 的確定： 不能像結構剛度k那樣可通過結構幾何尺寸、構件尺寸等來獲得， 因為c是反映了多種耗能因素綜合影響的系數(shù)，阻尼系數(shù)一般是 通過結構原型振動試驗的方法得到。 粘滯(性)阻尼理論僅是多種阻尼中最為簡單的一種。 其它常用的阻尼： 摩擦阻尼：阻尼力大小與速度大小無關，一般為常數(shù) ； 滯變阻尼：阻尼力大小與位移成正比（相位與速度相同）； 流體阻尼：阻尼力與質點速度的平方成正比 。 滯變阻尼時滯阻尼復阻尼,2.1 基本動力體系 4. 線彈性體

5、系和粘彈性體系 (Linearly Elastic System and Viscous Elastic System) 線彈性體系：由線性彈簧（或線性構件）組成的體系。 最簡單的理想化力學模型。 粘彈性體系：當線彈性系統(tǒng)中進一步考慮阻尼的影響時的體系。 結構動力分析中的最基本力學模型。,2.1 基本動力體系 5. 非彈性體系 (Inelastic System) 結構構件的力變形關系為非線性關系，結構剛度不再為常數(shù) 構件（或彈簧）的恢復力可表示為 fs是位移和速度的非線性函數(shù)。 圖2.6 非彈性體系中結構構件的力與位移關系,2.2 運動方程的建立 1. 利用牛頓（Newton）第二定律 圖2

6、.7單質點體系的受力分析,單質點體系運動時要滿足的控制方程運動方程,2.2 運動方程的建立 利用牛頓第二定律的優(yōu)點： 牛頓第二定律是基于物理學中已有知識的直接應用 以人們最容易接受的知識建立體系的運動方程,2.2 運動方程的建立 2. DAlembert原理（直接動力平衡法） DAlembert原理：在體系運動的任一瞬時，如果除了實際作用結構的主動力 （包括阻尼力）和約束反力外，再加上（假想的）慣性力， 則在該時刻體系將處于假想的平衡狀態(tài)（動力平衡）。 圖2.8 單質點體系的受力分析,2.2 運動方程的建立 2. DAlembert原理（直接動力平衡法） DAlembert原理的優(yōu)點：靜力問題

7、是人們所熟悉的，有了DAlembert 原理之后，形式上動力問題就變成了靜力問題，靜力問題中用來建立控 制方程的方法，都可以用于建立動力問題的平衡方程，使對動力問題的 思考有一定的簡化。對很多問題，DAlembert原理是用于建立運動方程 的最直接、最簡便的方法。 DAlembert原理的貢獻：建立了動力平衡概念,2.2 運動方程的建立 3. 虛位移原理 虛位移原理：在一組外力作用下的平衡系統(tǒng)發(fā)生一個虛位移時，外力在 虛位移上所做的虛功總和恒等于零。 虛位移是指滿足體系約束條件的無限小位移。 設體系發(fā)生一個虛位移u 平衡力系在u 上做的總虛功為: 圖2.8 單質點體系的受力分析,2.2 運動方

8、程的建立 3. 虛位移原理 虛位移原理的優(yōu)點：虛位移原理是建立在對虛功分析的基礎之上，而虛功是 一個標量，可以按代數(shù)方式運算，因而比Newton第二定 律，或DAlembert原理中需要采用的矢量運算更簡便。 對如下圖所示結構體系，用虛位移原理建立方程更簡便一些,2.2 運動方程的建立 4. Hamilton原理 應用變分法來建立結構體系的運動方程。 動力學中廣泛應用的變分法是Hamilton原理 體系的平衡位置是體系的穩(wěn)定位置，在穩(wěn)定位置，體系的能量取得極值, 一般是極小值。 Hamilton原理：在任意時間區(qū)段t1, t2內，體系的動能和位能的變分加上 非保守力做功的變分等于0。 其中：

9、T 體系的總動能； V 體系的位能，包括應變能及任何保守力的勢能； Wnc 作用于體系上非保守力（包括阻尼力及任意外荷載）所做的功； 指（在指定時間段內）所取的變分。 圖2.8 單質點體系的受力分析,2.2 運動方程的建立 4. Hamilton原理(積分形式的動力問題的變分方法) Hamilton原理的優(yōu)點：不明顯使用慣性力和彈性力，而分別用對動能和位能的變分代替。因而對這兩項來講，僅涉及處理純的標量，即能量。 而在虛位移中，盡管虛功本身是標量，但用來計算虛功的力和虛位移則都是矢量。 動能：集中質量 轉動質量 位能：拉伸彈簧 轉動彈簧 多自由度體系： 動能 位能,2.2 運動方程的建立 4.

10、 Hamilton原理(用Hamilton原理建立單自由度彈簧質量體系的運動方程) 體系的動能： 位能(彈簧應變能)： 因此能量的變分 非保守所做的功的變分(等于非保守力在位移變分上作的功) 將以上兩式代入Hamilton原理的變分公式，得： 對上式中的第一項進行分部積分,2.2 運動方程的建立 5.運動的Lagrange方程(微分形式的動力問題的變分原理 ) 其中： T 體系的動能； V 體系的位能，包括應變能及任何保守力的勢能； Pncj與uj相應的非保守力（包括阻尼力及任意外荷載）。,2.2 運動方程的建立 5.運動的Lagrange方程 用： Hamilton原理 推導： Lagran

11、ge方程,2.2 運動方程的建立 5.運動的Lagrange方程 用Lagrange方程方程建立體系的運動方程 體系的動能： 體系的位能： 非保守力： 因此， 代入Lagrange方程： 再一次得到體系的運動方程：,2.2 運動方程的建立 五種建立運動方程的方法的特點 牛頓第二定律是基于物理學中已有知識的直接應用，有助于理解和接受DAlembert原理。 DAlembert原理是一種簡單、直觀的建立運動方程的方法，得到廣泛的應用。更重要的是DAlembert原理建立了動平衡的概念，使得在結構靜力分析中的一些方法可以直接推廣到動力問題。當結構具有分布質量和彈性時，直接應用DAlembert原理，

12、用動力平衡的方法來建立體系的運動方程可能是困難的。 虛位移原理部分避免了矢量運算，在獲得體系虛功后，可以采用標量運算建立體系的運動方程，簡化了運算。 Hamilton原理是一種建立運動方程的能量方法（積分形式的變分原理） ，如果不考慮非保守力作的功（主要是阻尼力），它是完全的標量運算，但實際上直接采用Hamilton原理建立運動方程并不多。Hamilton原理的美妙在于它以一個極為簡潔的表達式概括了復雜的力學問題。 Lagrange方程得到更多的應用，它和Hamilton原理一樣，除非保守力（阻尼力）外，是一個完全的標量分析方法，不必直接分析慣性力和保守力（主要是彈性恢復力），而慣性力和彈性恢

13、復力是建立運動方程時最為困難的處理對象，關于阻尼力實際上它一般不是通過數(shù)學推理分析，從材料、結構構件的幾何尺寸等推演得到的，而往往是通過實驗、測試的方法得到（至少對結構動力學是如此），因此，由阻尼產(chǎn)生的非保守力引起的困難并不大。這可能與純粹的連續(xù)介質力學很不同，連續(xù)介質力學阻尼主要由介質本身引起，而結構動力學阻尼來源更廣、更復雜，無法簡單推出，而采用試驗加假設方法。阻尼系數(shù)由實測或經(jīng)驗給出。,2.2 運動方程的建立 表2.1給出了以上介紹的五種建立運動方程的方法的特點,2.2 運動方程的建立 單自由度體系的運動方程 單自由度系統(tǒng)運動方程反映了結構動力學中將遇到的幾乎所有的物理量 (1) 質量m

14、,和慣性力： (2) 阻尼c,和阻尼力： (3) 剛度k,和彈性恢復力： 對于多自由度體系：,2.3 重力的影響 靜平衡位置：受動力作用以前結構所處的實際位置 st重力W=mg作用下體系的靜位移 記：動位移為u 慣性力、阻尼力和 彈性恢復力分別為： 外荷載為： 應用DAlembert原理：,2.3 重力的影響 1、考慮重力影響時，結構體系的運動方程與無重力影響時的運動方程完全一樣，此時u是由動荷載引起的動力反應。可見在研究結構的動力反應時，可以完全不考慮重力的影響，建立體系的運動方程，直接求解動力荷載作用下的運動方程，即得到結構體系的動力解。 2、當需要考慮重力影響時，結構的總位移=靜力解+動

15、力解，即應用疊加原理。在結構反應問題中，應用疊加原理可將靜力問題（一般是重力問題）和動力問題分開計算，將其結果相加即得到結構的總體反應。 3、同時也要注意到，并不是對任何結構動、靜力反應問題都可以這樣處理，因為在以上推導中，假設彈簧的剛度k為常數(shù)，即結構是線彈性的，因此只有對線彈性結構（如果是二維或三維問題，還要加上小變形（位移）的限制）才可以使用疊加原理，將靜力、動力問題分開考慮。 4、應當注意的是，在以上推導過程中，假設懸掛的彈簧質點體系只發(fā)生豎向振動，在動荷載作用之前，重力被彈簧的彈性變形所平衡，而施加荷載后，重力始終被彈性變形所平衡。如果重力的影響沒有預先被平衡，則在施加動力荷載產(chǎn)生進

16、一步變形后，可以產(chǎn)生二階影響問題，例如P效應。最簡單的例子是倒立擺，當?shù)沽[產(chǎn)生水平振動后，擺的重力引起的附加彎矩是一個新的量，它并沒有預先被平衡，將對體系的動力反應產(chǎn)生影響，這種影響必然反映到結構的運動方程中。,2.4 地基運動的影響 地基運動問題：結構的動力反應不是由直接作用到結構上的動力引起的， 而是由于結構基礎的運動引起的。 ug地基位移，是已知的 u 相對位移，反映結構形變 ut = u+ ug絕對位移。 慣性力： 阻尼力： 彈性恢復力： 外荷載為0 應用DAlembert原理 相對運動方程： 其中：,重力和地基運動的影響 以上結合單自由度結構體系給出了不同影響因素下結構運動方程的建

17、立方法，雖然例題極為簡單，但包含了最基本的概念和原理。以后會涉及到更復雜的結構體系，例如結構構造復雜、自由度多，包含連續(xù)分布的質量，地震多方向（多維）和多點（在結構不同的支承處的地面運動不一致）輸入等等，但靈活應用本章介紹的方法都可以得到解決。,例題 例2-1 分析右圖所示體系的 靜力自由度和動力自由度， 并利用DAlembert原理建立 體系的運動方程。 解：1、體系的自由度 靜力自由度：體系運動時可以獨立改變的（廣義）坐標的數(shù)目。 動力自由度：動力分析中為確定體系任一時刻全部質量的幾何位置所需要的 獨立參數(shù)（廣義坐標）的數(shù)目。 根據(jù)結構靜力自由度的定義，圖中所示體系的靜力自由度有2個，可選兩剛桿的桿端位移u和u1為廣義坐標。 根據(jù)結構動力自由度的定義，體系的動力自由度僅有1個，因為當廣義坐標u(t)確定后，體系質量的幾何位置就完全確定。 可見，結構體系的動力自由度和靜力自由的數(shù)目有時是不同的。,例題 解：2、建立體系的運動方程 首先對體系取隔離體進行分析,例題 解：2、建立運動方程 根據(jù)DAlembert原理，施加慣性力后，體系處于