蒙特卡羅方法7.蒙特卡羅方法在積分計算中的應(yīng)用.ppt

1、2020/8/30,蒙特卡羅方法,第七章 蒙特卡羅方法在積分計算中的應(yīng)用,蒙特卡羅方法求積分 重要抽樣 俄國輪盤賭和分裂 半解析方法 系統(tǒng)抽樣 分層抽樣,2020/8/30,蒙特卡羅方法,第七章 蒙特卡羅方法在積分計算中的應(yīng)用,計算多重積分是蒙特卡羅方法的重要應(yīng)用領(lǐng)域之一。本章著重介紹計算定積分的蒙特卡羅方法的各種基本技巧，而這些技巧在粒子輸運問題中也是適用的。,2020/8/30,蒙特卡羅方法,蒙特卡羅方法求積分,蒙特卡羅方法求積分的一般規(guī)則如下：任何一個積分，都可看作某個隨機變量的期望值，因此，可以用這個隨機變量的平均值來近似它。,2020/8/30,蒙特卡羅方法,設(shè)欲求積分 其中，PP(

2、x1，x2，xs) 表示 s 維空間的點，Vs表示積分區(qū)域。取Vs上任一聯(lián)合概率密度函數(shù) f (P)，令 則 即是隨機變量 g(P) 的數(shù)學(xué)期望，P的分布密度函數(shù)為 f (P) ?，F(xiàn)從 f (P) 中抽取隨機向量 P 的 N 個樣本：Pi，i1，2，N， 則 就是的近似估計。,2020/8/30,蒙特卡羅方法,重要抽樣,偏倚抽樣和權(quán)重因子 取Vs上任一聯(lián)合概率密度函數(shù) f1(P)，令 則有 現(xiàn)從 f1(P) 中抽樣 N 個點：Pi，i1，2，N， 則 就是的又一個無偏估計。,2020/8/30,蒙特卡羅方法,重要抽樣和零方差技巧 要使 最小，就是使泛函If1 極小。 利用變分原理，可以得到最優(yōu)

3、的 f1(P) 為,2020/8/30,蒙特卡羅方法,特別地，當(dāng) g(P)0 時，有 這時 即 g1的方差為零。實際上，這時有 不管那種情況，我們稱從最優(yōu)分布 fl(P)的抽樣為重要抽樣，稱函數(shù) | g(P) | 為重要函數(shù)。,2020/8/30,蒙特卡羅方法,俄國輪盤賭和分裂,分裂 設(shè)整數(shù) n1，令 則 于是計算的問題，可化為計算 n 個i 的和來得到，而每個 gi(P) 為原來的估計 g(P) 的 1/ n ，這就是分裂技巧。,2020/8/30,蒙特卡羅方法,俄國輪盤賭 令 0 q1， 則 于是變?yōu)橐粋€兩點分布的隨機變量的期望值， 的特性為： 這樣就可以通過模擬這個概率模型來得到，這就是

4、俄國輪盤賭。,2020/8/30,蒙特卡羅方法,重要區(qū)域和不重要區(qū)域 我們往往稱對積分貢獻大的積分區(qū)域為重要區(qū)域，或感興趣的區(qū)域；稱對積分貢獻小的區(qū)域為不重要區(qū)域，或不感興趣的區(qū)域。 考慮二重積分 令R是V2上 x 的積分區(qū)域，表為 RR1+R2，其中R1是重要區(qū)域，R2是不重要區(qū)域，兩者互不相交。又命Q為V2上相應(yīng)于 y 的積分區(qū)域。則,2020/8/30,蒙特卡羅方法,通常蒙特卡羅方法，由f (x,y)抽樣 (x,y)的步驟是：從 fl(x) 中抽取 xi，再由 f2(y|xi) 中抽樣確定 yi，然后用 作為的一個無偏估計。 現(xiàn)在，改變抽樣方案如下： 當(dāng)xR1時，定義一個整數(shù)n(xi)1

5、，對一個xi，抽取 n(xi)個yij，j1，2，n(xi)。以平均值 代替上述估計式中的 g(yi, xi) 。,2020/8/30,蒙特卡羅方法,當(dāng) xR2時，定義一個函數(shù)q(xi)，0 q(xi) 1， 以抽樣值 代替上述估計式中的 g(yi, xi) 。這里是隨機數(shù)。 顯然，這種抽樣估計技巧，就是對 xR1時，利用分裂技巧，而對 xR2時，利用俄國輪盤賭，而使估計的期望值不變。由于對重要區(qū)域多抽樣，對不重要區(qū)域少觀察，因此能使估計的有效性增高。,2020/8/30,蒙特卡羅方法,半解析（數(shù)值）方法,考慮二重積分 令 則x為的無偏估計。,2020/8/30,蒙特卡羅方法,x 的方差為 而由 f (x,y)抽樣 (x,y)，用 g (x,y)作為的估計，其方差為,2020/8/30,蒙特卡羅方法,系統(tǒng)抽樣,我們知道，由f (x,y)抽樣 (x,y)的步驟是： 從 fl(x) 中抽取 xi， 再由 f2(y|xi) 中抽樣確定 yi， 現(xiàn)在改變 xi 的抽樣方法如下：,2020/8/30,蒙特卡羅方法,yi 的抽樣方法不變。 其方差為 與通常蒙特卡羅方法相比，方差減少了約,2020/8/30,蒙特卡羅方法,分層抽樣,考慮積分 在（0，1）間插入J1個點 00 1