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1、2020/8/30,蒙特卡羅方法,第七章 蒙特卡羅方法在積分計算中的應(yīng)用,蒙特卡羅方法求積分 重要抽樣 俄國輪盤賭和分裂 半解析方法 系統(tǒng)抽樣 分層抽樣,2020/8/30,蒙特卡羅方法,第七章 蒙特卡羅方法在積分計算中的應(yīng)用,計算多重積分是蒙特卡羅方法的重要應(yīng)用領(lǐng)域之一。本章著重介紹計算定積分的蒙特卡羅方法的各種基本技巧,而這些技巧在粒子輸運(yùn)問題中也是適用的。,2020/8/30,蒙特卡羅方法,蒙特卡羅方法求積分,蒙特卡羅方法求積分的一般規(guī)則如下:任何一個積分,都可看作某個隨機(jī)變量的期望值,因此,可以用這個隨機(jī)變量的平均值來近似它。,2020/8/30,蒙特卡羅方法,設(shè)欲求積分 其中,PP(
2、x1,x2,xs) 表示 s 維空間的點,Vs表示積分區(qū)域。取Vs上任一聯(lián)合概率密度函數(shù) f (P),令 則 即是隨機(jī)變量 g(P) 的數(shù)學(xué)期望,P的分布密度函數(shù)為 f (P) ?,F(xiàn)從 f (P) 中抽取隨機(jī)向量 P 的 N 個樣本:Pi,i1,2,N, 則 就是的近似估計。,2020/8/30,蒙特卡羅方法,重要抽樣,偏倚抽樣和權(quán)重因子 取Vs上任一聯(lián)合概率密度函數(shù) f1(P),令 則有 現(xiàn)從 f1(P) 中抽樣 N 個點:Pi,i1,2,N, 則 就是的又一個無偏估計。,2020/8/30,蒙特卡羅方法,重要抽樣和零方差技巧 要使 最小,就是使泛函If1 極小。 利用變分原理,可以得到最優(yōu)
3、的 f1(P) 為,2020/8/30,蒙特卡羅方法,特別地,當(dāng) g(P)0 時,有 這時 即 g1的方差為零。實際上,這時有 不管那種情況,我們稱從最優(yōu)分布 fl(P)的抽樣為重要抽樣,稱函數(shù) | g(P) | 為重要函數(shù)。,2020/8/30,蒙特卡羅方法,俄國輪盤賭和分裂,分裂 設(shè)整數(shù) n1,令 則 于是計算的問題,可化為計算 n 個i 的和來得到,而每個 gi(P) 為原來的估計 g(P) 的 1/ n ,這就是分裂技巧。,2020/8/30,蒙特卡羅方法,俄國輪盤賭 令 0 q1, 則 于是變?yōu)橐粋€兩點分布的隨機(jī)變量的期望值, 的特性為: 這樣就可以通過模擬這個概率模型來得到,這就是
4、俄國輪盤賭。,2020/8/30,蒙特卡羅方法,重要區(qū)域和不重要區(qū)域 我們往往稱對積分貢獻(xiàn)大的積分區(qū)域為重要區(qū)域,或感興趣的區(qū)域;稱對積分貢獻(xiàn)小的區(qū)域為不重要區(qū)域,或不感興趣的區(qū)域。 考慮二重積分 令R是V2上 x 的積分區(qū)域,表為 RR1+R2,其中R1是重要區(qū)域,R2是不重要區(qū)域,兩者互不相交。又命Q為V2上相應(yīng)于 y 的積分區(qū)域。則,2020/8/30,蒙特卡羅方法,通常蒙特卡羅方法,由f (x,y)抽樣 (x,y)的步驟是:從 fl(x) 中抽取 xi,再由 f2(y|xi) 中抽樣確定 yi,然后用 作為的一個無偏估計。 現(xiàn)在,改變抽樣方案如下: 當(dāng)xR1時,定義一個整數(shù)n(xi)1
5、,對一個xi,抽取 n(xi)個yij,j1,2,n(xi)。以平均值 代替上述估計式中的 g(yi, xi) 。,2020/8/30,蒙特卡羅方法,當(dāng) xR2時,定義一個函數(shù)q(xi),0 q(xi) 1, 以抽樣值 代替上述估計式中的 g(yi, xi) 。這里是隨機(jī)數(shù)。 顯然,這種抽樣估計技巧,就是對 xR1時,利用分裂技巧,而對 xR2時,利用俄國輪盤賭,而使估計的期望值不變。由于對重要區(qū)域多抽樣,對不重要區(qū)域少觀察,因此能使估計的有效性增高。,2020/8/30,蒙特卡羅方法,半解析(數(shù)值)方法,考慮二重積分 令 則x為的無偏估計。,2020/8/30,蒙特卡羅方法,x 的方差為 而由 f (x,y)抽樣 (x,y),用 g (x,y)作為的估計,其方差為,2020/8/30,蒙特卡羅方法,系統(tǒng)抽樣,我們知道,由f (x,y)抽樣 (x,y)的步驟是: 從 fl(x) 中抽取 xi, 再由 f2(y|xi) 中抽樣確定 yi, 現(xiàn)在改變 xi 的抽樣方法如下:,2020/8/30,蒙特卡羅方法,yi 的抽樣方法不變。 其方差為 與通常蒙特卡羅方法相比,方差減少了約,2020/8/30,蒙特卡羅方法,分層抽樣,考慮積分 在(0,1)間插入J1個點 00 1
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