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1、2.2.2直接證明與間接證明,反證法,思考?,A、B、C三個(gè)人,A說B撒謊,B說C撒謊,C說A、B都撒謊。則C必定是在撒謊,為什么?,分析:假設(shè)C沒有撒謊, 則C真. 那么A假且B假;,由A假, 知B真. 這與B假矛盾.,那么假設(shè)C沒有撒謊不成立;,則C必定是在撒謊.,反證法: 假設(shè)命題結(jié)論的反面成立,經(jīng)過正確的推理,引出矛盾,因此說明假設(shè)錯(cuò)誤,從而證明原命題成立,這樣的的證明方法叫反證法。,反證法的思維方法: 正難則反,例1用反證法證明: 如果ab0,那么,練一練: 已知a0,證明x的方程ax=b有且只有一個(gè)根。,反思1:,用反證法證題的一般步驟是什么?,(1)假設(shè)命題的結(jié)論不成立;即假設(shè)結(jié)
2、論的反面成立。,(2)從這個(gè)假設(shè)出發(fā),經(jīng)過推理論證,得出矛盾;,(3)由矛盾判定假設(shè)不正確,從而肯定命題的結(jié)論正確。,假設(shè)結(jié)論反面成立,正確推理導(dǎo)出矛盾,否定假設(shè)肯定結(jié)論,例2 求證: 是無理數(shù)。,假設(shè)不成立,故 是無理數(shù)。,練一練:,1、用反正法證明時(shí),導(dǎo)出矛盾有那幾種可能?,(1)與原命題的條件矛盾;,(3)與定義、公理、定理、性質(zhì)矛盾;,(2)與假設(shè)矛盾。,(1)難于直接使用已知條件導(dǎo)出結(jié)論的命題; (2)唯一性命題; (3)“至多”或“至少”性命題; (4)否定性或肯定性命題。,2、你認(rèn)為反證法的使用情形有那些?,反思2:,(4)與客觀事實(shí)矛盾.,說明:常用的正面敘述詞語及其否定:,不
3、等于,小于或 等于(),大于或 等于(),不是,不都是,至少有兩個(gè),一個(gè)也沒有,某個(gè),某些,至少有n1個(gè),某兩個(gè),思考:,小結(jié),1.反證法是一種間接證明的方法,是解決某些“疑難”問題的有力工具,其基本思路是: 假設(shè)結(jié)論不成立構(gòu)設(shè)矛盾否定假設(shè)肯定結(jié)論.,2.反證法主要適用于以下兩種情形: (1)所證的結(jié)論與條件之間的聯(lián)系不明顯,直接有條件推出結(jié)論線索不清晰; (2)從正面入手需要分成多種情形進(jìn)行討論,而從反面證明,只要研究一種或很少的幾種情形.,練習(xí):,1、 已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足0a,b,c1,求證: (1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不可能同時(shí)大于1/4,3、已知a+b+c0,ab+ac+bc0,abc0,求證: a0,b0,c0,作業(yè),綜合法和分析法的應(yīng)用 (習(xí)題課),知識(shí)回顧,1.綜合法的基本含義和思維流程分別是什么?,含義:利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理、性質(zhì)、法則等,經(jīng)過一系列的推理論證,最后推導(dǎo)出所證結(jié)論成立.,流程:,2.分析的基本含義和思維流程分別是什么?,含義:從所證結(jié)論出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件,直到歸結(jié)為判定一個(gè)顯然成立的條件(已知條件、定義、公理、定理、性質(zhì)、法則等)為止.,流程:,應(yīng)用舉例,例1 已知a,b,c0,求證: a3b3c33abc.,例2 已知數(shù)列an滿足 , ,求證:,例3 已知a3,求證:,例4 在ABC中,三個(gè)
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