浙江大學(xué)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課件ch2

1、1,關(guān)鍵詞： 隨機(jī)變量 概率分布函數(shù) 離散型隨機(jī)變量 連續(xù)型隨機(jī)變量 隨機(jī)變量的函數(shù),第二章 隨機(jī)變量及其分布,1 隨機(jī)變量,常見的兩類試驗(yàn)結(jié)果：,示數(shù)的降雨量； 候車人數(shù)； 發(fā)生交通事故的次數(shù),示性的明天天氣（晴，云）； 化驗(yàn)結(jié)果（陽性，陰性）,3,X=f(e)為S上的單值函數(shù)，X為實(shí)數(shù),中心問題：將試驗(yàn)結(jié)果數(shù)量化,4,6,定義：取值至多可數(shù)的隨機(jī)變量為離散型的隨機(jī)變量。概率分布(分布律)為,2 離散型隨機(jī)變量及其分布,概率分布,8,例：若隨機(jī)變量X的概率分布律為 求常數(shù)c.,解：,例：某人騎自行車從學(xué)校到火車站，一路上要經(jīng)過3個(gè)獨(dú)立的交通燈，設(shè)各燈工作獨(dú)立，且設(shè)各燈為紅燈的概率為p，0p1

2、，以X表示首次停車時(shí)所通過的交通燈數(shù)，求X的概率分布律。,11,解：設(shè)Ai=第i個(gè)燈為紅燈，則P(Ai)=p，i=1,2,3 且A1,A2,A3相互獨(dú)立。,12,幾個(gè)重要的離散型隨機(jī)變量,隨機(jī)變量只可能取0、1 兩個(gè)值,(p+q=1,p0,q0),則稱X服從參數(shù)為p的0-1分布，或兩點(diǎn)分布.,若X的分布律為：,一、01分布,14,記為,它的分布律還可以寫為,對(duì)于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，如果它的樣本空間只包含兩個(gè)元素，即 ，我們總能在S上定義一個(gè)服從（01）分布的隨機(jī)變量。,來描述這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果。,16,檢查產(chǎn)品的質(zhì)量是否合格，對(duì)新生嬰兒的性別進(jìn)行登記，檢驗(yàn)種子是否發(fā)芽以及前面多次討論過的“拋硬幣”試

3、驗(yàn)都可以用（01）分布的隨機(jī)變量來描述 。,一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn),設(shè)A是一隨機(jī)事件,且P(A)=p, (0p1).若僅考慮事件A發(fā)生與否, 定義一個(gè)服從參數(shù)為p的0-1分布的隨機(jī)變量:,來描述這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果。只有兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)，稱為Bernoulli試驗(yàn)。,18,二、二項(xiàng)分布,即每次試驗(yàn)結(jié)果 互不影響,在相同條件下 重復(fù)進(jìn)行,n重貝努利試驗(yàn)：設(shè)試驗(yàn)E只有兩個(gè)可能的結(jié)果： ,p(A)=p,0p1,將E獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次，則稱這一串重復(fù)的獨(dú)立試驗(yàn)為n重貝努利試驗(yàn)。,獨(dú)立重復(fù)地拋n次硬幣，每次只有兩個(gè)可能的結(jié)果:正面，反面，,將一顆骰子拋n次，設(shè)A=得到1點(diǎn)，則每次試驗(yàn)只有兩個(gè)結(jié)果：,20,如果是不

4、放回抽樣呢？,從52張牌中有放回地取n次，設(shè)A=取到紅牌，則每次只有兩個(gè)結(jié)果：,21,設(shè)A在n重貝努利試驗(yàn)中發(fā)生X次，則,并稱X服從參數(shù)為p的二項(xiàng)分布，記,推導(dǎo)：設(shè)Ai= 第i次A發(fā)生 ，先設(shè)n=3,例：由6位品酒師獨(dú)立投票評(píng)定某種酒是否為優(yōu)質(zhì)酒。若6位中有4位投票認(rèn)可為優(yōu)質(zhì)酒，則評(píng)定該酒為優(yōu)質(zhì)酒，設(shè)每位品酒師作出正確判斷的概率為p，0p1。求： （1）若該酒為優(yōu)質(zhì)酒時(shí)，評(píng)定正確的概率； （2）若該酒不為優(yōu)質(zhì)酒時(shí)，評(píng)定正確的概率.,24,例：有一大批產(chǎn)品，其驗(yàn)收方案如下：先作第一次檢驗(yàn),從中任取10件，經(jīng)檢驗(yàn)無次品接受這批產(chǎn)品，次品數(shù)大于2拒收；否則作第二次檢驗(yàn)，從中任取5件，僅當(dāng)5件中無次品

5、便接受這批產(chǎn)品，設(shè)產(chǎn)品的次品率為p求這批產(chǎn)品能被接受的概率.,26,解：設(shè)A=接受該批產(chǎn)品。 設(shè)X為第一次抽得的次品數(shù)，Y為第2次抽得的次品數(shù).,則XB(10,p)，YB(5,p)，且X=i與Y=j獨(dú)立。,27,例：設(shè)隨機(jī)變量,泊松分布(Poisson分布),若隨機(jī)變量X的概率分布律為,稱X服從參數(shù)為的泊松分布，記,29,求:(1)隨機(jī)觀察1個(gè)單位時(shí)間，至少有3人候車的概率； (2)隨機(jī)獨(dú)立觀察5個(gè)單位時(shí)間，恰有4個(gè)單位時(shí)間至少有3人候車的概率。,例：設(shè)某汽車停靠站單位時(shí)間內(nèi)候車人數(shù),30,32,33,例：某地區(qū)一個(gè)月內(nèi)每200個(gè)成年人中有1個(gè)會(huì)患上某種疾病，設(shè)各人是否患病相互獨(dú)立。若該地區(qū)一

6、社區(qū)有1000個(gè)成年人，求某月內(nèi)該社區(qū)至少有3人患病的概率。,稱X服從超幾何分布,超幾何分布,若隨機(jī)變量X的概率分布律為,36,例：一袋中有a個(gè)白球，b個(gè)紅球，abN,從中不放回地取n個(gè)球，設(shè)每次取到各球的概率相等，以X表示取到的白球數(shù)，則X服從超幾何分布。,稱X服從參數(shù)p的幾何分布,幾何分布,若隨機(jī)變量X的概率分布律為,38,例：從生產(chǎn)線上隨機(jī)抽產(chǎn)品進(jìn)行檢測，設(shè)產(chǎn)品的次品率為p，0p1，若查到一只次品就得停機(jī)檢修，設(shè)停機(jī)時(shí)已檢測到X只產(chǎn)品，則X服從參數(shù)p的幾何分布。,稱X服從參數(shù)為(r,p)的帕斯卡分布.,帕斯卡分布（負(fù)二項(xiàng)分布）,若隨機(jī)變量X的概率分布律為,40,例：獨(dú)立重復(fù)地進(jìn)行試驗(yàn)，每

7、次試驗(yàn)的結(jié)果為成功或失敗，每次試驗(yàn)中成功的概率均為p，0p1,試驗(yàn)進(jìn)行到出現(xiàn)r次成功為止，以X表示試驗(yàn)次數(shù)，則X服從參數(shù)為(r,p)的帕斯卡分布。,3 隨機(jī)變量的分布函數(shù),任何隨機(jī)變量都有相應(yīng)的分布函數(shù),42,例： p0,q0,q+p=1.,44,解：,46,例：設(shè)一物體在A，B兩點(diǎn)間移動(dòng)，A ， B之間距離3個(gè)單位。該物體停留在A ， B兩點(diǎn)的概率各為1/4，落在A ， B間任一子區(qū)間的概率與區(qū)間長度成正比。設(shè)它離A點(diǎn)的距離為X ，求X的分布函數(shù)。,4 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度,定義:對(duì)于隨機(jī)變量X的分布函數(shù) ，若存在非負(fù)的函數(shù) ，使對(duì)于任意實(shí)數(shù) ，有：,則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，,50,與

8、物理學(xué)中的質(zhì)量線密度的定義相類似,例：設(shè)X的概率密度為 (1)求常數(shù)c的值； (2) 寫出X的概率分布函數(shù)； (3)要使 ，求k的值。,52,解：,53,54,例：一銀行服務(wù)需要等待，設(shè)等待時(shí)間X（分鐘）的概率密度為,某人進(jìn)了銀行，且打算過會(huì)兒去辦另一件事，于是先等待，如果超過15分鐘還沒有等到服務(wù)就離開，設(shè)他實(shí)際的等待時(shí)間為Y，(1)求Y的分布函數(shù)；(2)問Y是離散型隨機(jī)變量嗎？連續(xù)型隨機(jī)變量嗎？,幾個(gè)重要的連續(xù)量,均勻分布定義：X具有概率密度,稱X在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布，記為XU(a,b),57,例：（1）在區(qū)間(-1,2)上隨機(jī)取一數(shù)X，試寫出X的概率密度。并求 的值； （2）若

9、在該區(qū)間上隨機(jī)取10個(gè)數(shù)，求10個(gè)數(shù)中恰有兩個(gè)數(shù)大于0的概率。,59,解：（1） X為在區(qū)間(-1,2)上均勻分布,（2）設(shè)10個(gè)數(shù)中有Y個(gè)數(shù)大于0，則：,例：杭州某長途汽車站每天從早上6點(diǎn)（第一班車）開始，每隔30分鐘有一班車開往上海。王先生在早上6:20過X分鐘到達(dá)車站，設(shè)X服從（0，50）上的均勻分布， （1）求王先生候車時(shí)間不超過15分鐘的概率； （2）如果王先生一月中有兩次按此方式獨(dú)立地去候車，求他一次候車不超過15分鐘，另一次候車大于10分鐘的概率。,61,解： （1）P(候車時(shí)間不超過15鐘)=25/50=0.5,(2) P(候車時(shí)間大于10分鐘)=30/50=3/5,P(一次候

10、車時(shí)間不超過15分鐘，另一次時(shí)間大于10分鐘)=21/23/5=3/5,6:20 6:30 6:45 7:00 7:10,指數(shù)分布,其中0為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為的指數(shù)分布。記為,定義：設(shè)X的概率密度為,63,X具有如下的無記憶性：,65,66,正態(tài)分布,定義：設(shè)X的概率密度為,其中 為常數(shù)，稱X服從參數(shù)為 的正態(tài)分布(Gauss分布)， 記為,可以驗(yàn)證：,68,正態(tài)概率密度函數(shù),稱為位置參數(shù)(決定對(duì)稱軸位置) 為尺度參數(shù)(決定曲線分散性),X的取值呈中間多，兩頭少，對(duì)稱的特性。 當(dāng)固定時(shí)，越大，曲線的峰越低，落在附近的概率越小，取值就越分散，即是反映X的取值分散性的一個(gè)指標(biāo)。 在自然現(xiàn)象和社

11、會(huì)現(xiàn)象中，大量隨機(jī)變量服從或近似服從正態(tài)分布。,正態(tài)分布下的概率計(jì)算,例：,例：用天平稱一實(shí)際重量為 的物體，天平的讀數(shù)為隨機(jī)變量 ，設(shè) 時(shí)， （1）求讀數(shù)與 的誤差小于0.005的概率； （2）求讀數(shù)至少比 多0.0085的概率。,80,例：一批鋼材(線材)長度 (1)若=100，=2，求這批鋼材長度小于97.8cm的概率； (2)若=100，要使這批鋼材的長度至少有90%落在區(qū)間(97,103)內(nèi)，問至多取何值？,82,例：設(shè)一天中經(jīng)過一高速公路某一入口的重型車輛數(shù)X近似服從 ，已知有25的天數(shù)超過400輛，有33的天數(shù)不到350輛，求,84,5 隨機(jī)變量的函數(shù)分布,例如，若要測量一個(gè)圓的面積Y，總是測量其半徑，半徑的測量值可看作隨機(jī)變量X，若 則Y服從什么分布？,問題：已知隨機(jī)變量X的概率分布， 且已知Y=g(X)，求Y的概率分布。,例：已知X具有概率分布 且設(shè)Y=X2，求Y的概率分布。,87,即找出(Y=0)的等價(jià)事件(X=0)； (Y=1)的等價(jià)事件(X=1)與(X=-1)的和事件,解：Y的所有可能取值為0,1,例：設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度,求 的概率密度。,89,解：分記X,Y的分布函數(shù)為,90,Y在區(qū)間(0,16)上均勻分布。,一般，若已知X的概率分布，Y=g(X)，求Y的概率分布的過程為：,關(guān)鍵是找出等價(jià)事件。,例：設(shè) Y=2