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文檔簡介
1、1,關(guān)鍵詞: 隨機(jī)變量 概率分布函數(shù) 離散型隨機(jī)變量 連續(xù)型隨機(jī)變量 隨機(jī)變量的函數(shù),第二章 隨機(jī)變量及其分布,1 隨機(jī)變量,常見的兩類試驗(yàn)結(jié)果:,示數(shù)的降雨量; 候車人數(shù); 發(fā)生交通事故的次數(shù),示性的明天天氣(晴,云); 化驗(yàn)結(jié)果(陽性,陰性),3,X=f(e)為S上的單值函數(shù),X為實(shí)數(shù),中心問題:將試驗(yàn)結(jié)果數(shù)量化,4,6,定義:取值至多可數(shù)的隨機(jī)變量為離散型的隨機(jī)變量。概率分布(分布律)為,2 離散型隨機(jī)變量及其分布,概率分布,8,例:若隨機(jī)變量X的概率分布律為 求常數(shù)c.,解:,例:某人騎自行車從學(xué)校到火車站,一路上要經(jīng)過3個(gè)獨(dú)立的交通燈,設(shè)各燈工作獨(dú)立,且設(shè)各燈為紅燈的概率為p,0p1
2、,以X表示首次停車時(shí)所通過的交通燈數(shù),求X的概率分布律。,11,解:設(shè)Ai=第i個(gè)燈為紅燈,則P(Ai)=p,i=1,2,3 且A1,A2,A3相互獨(dú)立。,12,幾個(gè)重要的離散型隨機(jī)變量,隨機(jī)變量只可能取0、1 兩個(gè)值,(p+q=1,p0,q0),則稱X服從參數(shù)為p的0-1分布,或兩點(diǎn)分布.,若X的分布律為:,一、01分布,14,記為,它的分布律還可以寫為,對(duì)于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn),如果它的樣本空間只包含兩個(gè)元素,即 ,我們總能在S上定義一個(gè)服從(01)分布的隨機(jī)變量。,來描述這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果。,16,檢查產(chǎn)品的質(zhì)量是否合格,對(duì)新生嬰兒的性別進(jìn)行登記,檢驗(yàn)種子是否發(fā)芽以及前面多次討論過的“拋硬幣”試
3、驗(yàn)都可以用(01)分布的隨機(jī)變量來描述 。,一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn),設(shè)A是一隨機(jī)事件,且P(A)=p, (0p1).若僅考慮事件A發(fā)生與否, 定義一個(gè)服從參數(shù)為p的0-1分布的隨機(jī)變量:,來描述這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果。只有兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn),稱為Bernoulli試驗(yàn)。,18,二、二項(xiàng)分布,即每次試驗(yàn)結(jié)果 互不影響,在相同條件下 重復(fù)進(jìn)行,n重貝努利試驗(yàn):設(shè)試驗(yàn)E只有兩個(gè)可能的結(jié)果: ,p(A)=p,0p1,將E獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次,則稱這一串重復(fù)的獨(dú)立試驗(yàn)為n重貝努利試驗(yàn)。,獨(dú)立重復(fù)地拋n次硬幣,每次只有兩個(gè)可能的結(jié)果:正面,反面,,將一顆骰子拋n次,設(shè)A=得到1點(diǎn),則每次試驗(yàn)只有兩個(gè)結(jié)果:,20,如果是不
4、放回抽樣呢?,從52張牌中有放回地取n次,設(shè)A=取到紅牌,則每次只有兩個(gè)結(jié)果:,21,設(shè)A在n重貝努利試驗(yàn)中發(fā)生X次,則,并稱X服從參數(shù)為p的二項(xiàng)分布,記,推導(dǎo):設(shè)Ai= 第i次A發(fā)生 ,先設(shè)n=3,例:由6位品酒師獨(dú)立投票評(píng)定某種酒是否為優(yōu)質(zhì)酒。若6位中有4位投票認(rèn)可為優(yōu)質(zhì)酒,則評(píng)定該酒為優(yōu)質(zhì)酒,設(shè)每位品酒師作出正確判斷的概率為p,0p1。求: (1)若該酒為優(yōu)質(zhì)酒時(shí),評(píng)定正確的概率; (2)若該酒不為優(yōu)質(zhì)酒時(shí),評(píng)定正確的概率.,24,例:有一大批產(chǎn)品,其驗(yàn)收方案如下:先作第一次檢驗(yàn),從中任取10件,經(jīng)檢驗(yàn)無次品接受這批產(chǎn)品,次品數(shù)大于2拒收;否則作第二次檢驗(yàn),從中任取5件,僅當(dāng)5件中無次品
5、便接受這批產(chǎn)品,設(shè)產(chǎn)品的次品率為p求這批產(chǎn)品能被接受的概率.,26,解:設(shè)A=接受該批產(chǎn)品。 設(shè)X為第一次抽得的次品數(shù),Y為第2次抽得的次品數(shù).,則XB(10,p),YB(5,p),且X=i與Y=j獨(dú)立。,27,例:設(shè)隨機(jī)變量,泊松分布(Poisson分布),若隨機(jī)變量X的概率分布律為,稱X服從參數(shù)為的泊松分布,記,29,求:(1)隨機(jī)觀察1個(gè)單位時(shí)間,至少有3人候車的概率; (2)隨機(jī)獨(dú)立觀察5個(gè)單位時(shí)間,恰有4個(gè)單位時(shí)間至少有3人候車的概率。,例:設(shè)某汽車停靠站單位時(shí)間內(nèi)候車人數(shù),30,32,33,例:某地區(qū)一個(gè)月內(nèi)每200個(gè)成年人中有1個(gè)會(huì)患上某種疾病,設(shè)各人是否患病相互獨(dú)立。若該地區(qū)一
6、社區(qū)有1000個(gè)成年人,求某月內(nèi)該社區(qū)至少有3人患病的概率。,稱X服從超幾何分布,超幾何分布,若隨機(jī)變量X的概率分布律為,36,例:一袋中有a個(gè)白球,b個(gè)紅球,abN,從中不放回地取n個(gè)球,設(shè)每次取到各球的概率相等,以X表示取到的白球數(shù),則X服從超幾何分布。,稱X服從參數(shù)p的幾何分布,幾何分布,若隨機(jī)變量X的概率分布律為,38,例:從生產(chǎn)線上隨機(jī)抽產(chǎn)品進(jìn)行檢測,設(shè)產(chǎn)品的次品率為p,0p1,若查到一只次品就得停機(jī)檢修,設(shè)停機(jī)時(shí)已檢測到X只產(chǎn)品,則X服從參數(shù)p的幾何分布。,稱X服從參數(shù)為(r,p)的帕斯卡分布.,帕斯卡分布(負(fù)二項(xiàng)分布),若隨機(jī)變量X的概率分布律為,40,例:獨(dú)立重復(fù)地進(jìn)行試驗(yàn),每
7、次試驗(yàn)的結(jié)果為成功或失敗,每次試驗(yàn)中成功的概率均為p,0p1,試驗(yàn)進(jìn)行到出現(xiàn)r次成功為止,以X表示試驗(yàn)次數(shù),則X服從參數(shù)為(r,p)的帕斯卡分布。,3 隨機(jī)變量的分布函數(shù),任何隨機(jī)變量都有相應(yīng)的分布函數(shù),42,例: p0,q0,q+p=1.,44,解:,46,例:設(shè)一物體在A,B兩點(diǎn)間移動(dòng),A , B之間距離3個(gè)單位。該物體停留在A , B兩點(diǎn)的概率各為1/4,落在A , B間任一子區(qū)間的概率與區(qū)間長度成正比。設(shè)它離A點(diǎn)的距離為X ,求X的分布函數(shù)。,4 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度,定義:對(duì)于隨機(jī)變量X的分布函數(shù) ,若存在非負(fù)的函數(shù) ,使對(duì)于任意實(shí)數(shù) ,有:,則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量,,50,與
8、物理學(xué)中的質(zhì)量線密度的定義相類似,例:設(shè)X的概率密度為 (1)求常數(shù)c的值; (2) 寫出X的概率分布函數(shù); (3)要使 ,求k的值。,52,解:,53,54,例:一銀行服務(wù)需要等待,設(shè)等待時(shí)間X(分鐘)的概率密度為,某人進(jìn)了銀行,且打算過會(huì)兒去辦另一件事,于是先等待,如果超過15分鐘還沒有等到服務(wù)就離開,設(shè)他實(shí)際的等待時(shí)間為Y,(1)求Y的分布函數(shù);(2)問Y是離散型隨機(jī)變量嗎?連續(xù)型隨機(jī)變量嗎?,幾個(gè)重要的連續(xù)量,均勻分布定義:X具有概率密度,稱X在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布,記為XU(a,b),57,例:(1)在區(qū)間(-1,2)上隨機(jī)取一數(shù)X,試寫出X的概率密度。并求 的值; (2)若
9、在該區(qū)間上隨機(jī)取10個(gè)數(shù),求10個(gè)數(shù)中恰有兩個(gè)數(shù)大于0的概率。,59,解:(1) X為在區(qū)間(-1,2)上均勻分布,(2)設(shè)10個(gè)數(shù)中有Y個(gè)數(shù)大于0,則:,例:杭州某長途汽車站每天從早上6點(diǎn)(第一班車)開始,每隔30分鐘有一班車開往上海。王先生在早上6:20過X分鐘到達(dá)車站,設(shè)X服從(0,50)上的均勻分布, (1)求王先生候車時(shí)間不超過15分鐘的概率; (2)如果王先生一月中有兩次按此方式獨(dú)立地去候車,求他一次候車不超過15分鐘,另一次候車大于10分鐘的概率。,61,解: (1)P(候車時(shí)間不超過15鐘)=25/50=0.5,(2) P(候車時(shí)間大于10分鐘)=30/50=3/5,P(一次候
10、車時(shí)間不超過15分鐘,另一次時(shí)間大于10分鐘)=21/23/5=3/5,6:20 6:30 6:45 7:00 7:10,指數(shù)分布,其中0為常數(shù),則稱X服從參數(shù)為的指數(shù)分布。記為,定義:設(shè)X的概率密度為,63,X具有如下的無記憶性:,65,66,正態(tài)分布,定義:設(shè)X的概率密度為,其中 為常數(shù),稱X服從參數(shù)為 的正態(tài)分布(Gauss分布), 記為,可以驗(yàn)證:,68,正態(tài)概率密度函數(shù),稱為位置參數(shù)(決定對(duì)稱軸位置) 為尺度參數(shù)(決定曲線分散性),X的取值呈中間多,兩頭少,對(duì)稱的特性。 當(dāng)固定時(shí),越大,曲線的峰越低,落在附近的概率越小,取值就越分散,即是反映X的取值分散性的一個(gè)指標(biāo)。 在自然現(xiàn)象和社
11、會(huì)現(xiàn)象中,大量隨機(jī)變量服從或近似服從正態(tài)分布。,正態(tài)分布下的概率計(jì)算,例:,例:用天平稱一實(shí)際重量為 的物體,天平的讀數(shù)為隨機(jī)變量 ,設(shè) 時(shí), (1)求讀數(shù)與 的誤差小于0.005的概率; (2)求讀數(shù)至少比 多0.0085的概率。,80,例:一批鋼材(線材)長度 (1)若=100,=2,求這批鋼材長度小于97.8cm的概率; (2)若=100,要使這批鋼材的長度至少有90%落在區(qū)間(97,103)內(nèi),問至多取何值?,82,例:設(shè)一天中經(jīng)過一高速公路某一入口的重型車輛數(shù)X近似服從 ,已知有25的天數(shù)超過400輛,有33的天數(shù)不到350輛,求,84,5 隨機(jī)變量的函數(shù)分布,例如,若要測量一個(gè)圓的面積Y,總是測量其半徑,半徑的測量值可看作隨機(jī)變量X,若 則Y服從什么分布?,問題:已知隨機(jī)變量X的概率分布, 且已知Y=g(X),求Y的概率分布。,例:已知X具有概率分布 且設(shè)Y=X2,求Y的概率分布。,87,即找出(Y=0)的等價(jià)事件(X=0); (Y=1)的等價(jià)事件(X=1)與(X=-1)的和事件,解:Y的所有可能取值為0,1,例:設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度,求 的概率密度。,89,解:分記X,Y的分布函數(shù)為,90,Y在區(qū)間(0,16)上均勻分布。,一般,若已知X的概率分布,Y=g(X),求Y的概率分布的過程為:,關(guān)鍵是找出等價(jià)事件。,例:設(shè) Y=2
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