第九章簡諧振動(dòng)PPT

1、第九章 振 動(dòng) 和 波,第九章 振動(dòng)和波,廣義的振動(dòng)物理量隨時(shí)間作周期性變化稱為振動(dòng)。,（2）周期性在 T時(shí)間內(nèi)狀態(tài)能完全重復(fù)。,振動(dòng)是自然界中最普遍的運(yùn)動(dòng)形式之一。振動(dòng)和波在力學(xué)、聲學(xué)、電學(xué)、生物工程、自控等各領(lǐng)域都占有重要的地位。,特點(diǎn)：（1）有平衡點(diǎn)，且具有重復(fù)性。,Vibration and wave,機(jī)械振動(dòng)物體在某一位置附近作往復(fù)運(yùn)動(dòng)。, 機(jī)械振動(dòng)分類,按振動(dòng)規(guī)律分：簡諧、非簡諧、隨機(jī)振動(dòng)。,其中簡諧振動(dòng)是最基本最簡單的振動(dòng)，復(fù)雜的振動(dòng)都可以分解為一些簡諧振動(dòng)的疊加。,稱作諧振動(dòng)的微分方程。,彈簧振子是理想模型 Spring/harmonic Oscillator,在水平方向上：,

2、由牛頓第二定律，有：,令：,則有：,9-1 簡諧振動(dòng),一、簡諧振動(dòng)的微分方程和運(yùn)動(dòng)方程,（負(fù)號(hào)表示力與位移方向相反）,幻燈片 5,1、簡諧振動(dòng)的微分方程,2、運(yùn)動(dòng)學(xué)方程：,由：,可解得：,或：,一般寫成：,本課程采用余弦形式,因而簡諧振動(dòng)是圍繞平衡位置的周期運(yùn)動(dòng),振動(dòng)曲線,3、簡諧振動(dòng)的加速度與速度,由,質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的速度,質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的加速度,質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的速度和加速度也是諧振動(dòng),若位移x，滿足,簡諧振動(dòng)的判椐：,或,或,則稱x作簡諧振動(dòng)（較為廣泛，不僅適用于機(jī)械振動(dòng)）,(2)角頻率：angular frequency 振動(dòng)的快慢,周期T: Period,頻率：,(3)初相位：,Phase 描述運(yùn)動(dòng)狀態(tài)

3、的量,為初相位，Initial Phase,(1)振幅A: amplitude 離開平衡位置的最大距離（幅度、范圍）,4、諧振動(dòng)的三個(gè)特征量,5、位移、速度和加速度的相位關(guān)系,以上結(jié)果表明：,(1)v,a與x的相同,(2),(3)a與x方向相反，且成正比,振幅,x、v、a相位依次差/2。,寫成,二、初始條件確定振幅和初相位,初始條件：,寫為：,得：,即：,有兩個(gè)值，需（1） 或（2）進(jìn)行篩選。,也可直接由（1）或由（2）求出。,三、坐標(biāo)原點(diǎn)的選取對于振動(dòng)方程的影響,(以豎直彈簧振子為例),在建立諧振子的振動(dòng)方程時(shí),選平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)最合適。,例題1 單擺 Simple Pendulum,解：

4、單擺受力如圖所示,對懸掛點(diǎn)的力矩：,由：,若很小，則有：,即：,其中：,動(dòng)畫,證明:設(shè)圓環(huán)偏離角度為,因此所作振動(dòng)為諧振,四 、諧振動(dòng)的其它表示法,1、振動(dòng)曲線法,（1）振動(dòng)曲線的峰（或谷）對應(yīng)的位移的大小即是振幅 .,（2）振動(dòng)曲線上表示振動(dòng)狀態(tài)相同的相鄰兩點(diǎn)對應(yīng)的時(shí)間間隔就是周期T 。,（3）由初狀態(tài)v0、x0可得出初相位。,（4）尤其判斷振動(dòng)的超前與落后非常直觀。,Rotating vector method,1.參考圓法,沿逆時(shí)針方向作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)在某一直徑上（取在x軸）的投影的運(yùn)動(dòng)為簡諧振動(dòng)。,半徑R振幅A 角速度角頻率,t時(shí)刻A矢量在x軸上的投影,初始矢徑與x軸的交角初相位,

5、動(dòng)畫,2.旋轉(zhuǎn)矢量,用旋轉(zhuǎn)矢量法處理問題更直觀、 更方便，必須掌握。,表示出三個(gè)特征量,2、旋轉(zhuǎn)矢量表示法,例題3一質(zhì)點(diǎn)沿x軸作簡諧振動(dòng)，振幅 A=0.12m，周期T=2s，當(dāng) t=0 時(shí)，質(zhì)點(diǎn)對平衡位置的位移 x0=0.06m，此時(shí)向x軸正向運(yùn)動(dòng)。,求：(1)此振動(dòng)的表達(dá)式 (2)t=T/4時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的位置、速度、加速度 (3)從初始時(shí)刻開始第一次通過平衡位置的時(shí)間,解:(1)取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè),其中,A亦為已知，只需求,由t=0s時(shí)，x0=0.06m，可得：,在-到之間取值：,取哪一個(gè)值要看初始條件，由于：,所以：,由于t=0時(shí)，質(zhì)點(diǎn)向正 x 方向運(yùn)動(dòng)，所以 v00,因此，應(yīng)?。?于是

6、，此簡諧振動(dòng)的表達(dá)式：,利用旋轉(zhuǎn)矢量法求解很直觀，根據(jù)初始條件就可畫出如圖所示的振幅矢量的初始位置，從而得到：,(2),將 t=T/4=0.5s 代入上兩式，以及位移表達(dá)式，可求得：,此時(shí)旋轉(zhuǎn)矢量位置如圖：,(3)通過平衡位置時(shí)，x=0，由位置表達(dá)式，可得：,由此可得：,第一次通過，取k=1，又由于=/s，所以：,從起始時(shí)刻到第一次質(zhì)點(diǎn)通過原點(diǎn)，振幅矢量轉(zhuǎn)過的角度為：,故：,有旋轉(zhuǎn)矢量圖可知：,例題4 以余弦函數(shù)表示的簡諧振動(dòng)的位移時(shí)間曲線如圖所示，試寫出其運(yùn)動(dòng)方程。,解：設(shè)該簡諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為,根據(jù)已知條件求出各量代入上式即可,由圖可知，A=2cm，當(dāng)t=0時(shí),因?yàn)椋簐00,畫出矢量圖：,

7、又知 t=1s 時(shí)，位移達(dá)到正的最大值， 即：,故：,因而有：, 簡諧振動(dòng)的勢能：,五 、簡諧振動(dòng)的能量,以水平的彈簧振子為例, 簡諧振動(dòng)的動(dòng)能：,簡諧振動(dòng)的總能量：,彈性力是保守力，總機(jī)械能守恒，即總能量不隨時(shí)間變化。,勢能的時(shí)間平均值:,動(dòng)能的時(shí)間平均值:,這些結(jié)論同樣適用于任何簡諧振動(dòng)。,總能的時(shí)間平均值:,* 振幅不僅給出簡諧振動(dòng)運(yùn)動(dòng)的范圍，而且還 反映了振動(dòng)系統(tǒng)總能量的大小及振動(dòng)的強(qiáng)度。,* 任一簡諧振動(dòng)總能量與振幅的平方成正比,* 彈簧振子的動(dòng)能和勢能的平均值相等，且 等于總機(jī)械能的一半。,結(jié)論：,3.用余弦函數(shù)描述一些振子的振動(dòng)，若速度-時(shí)間函數(shù)關(guān)系如圖，則振動(dòng)的初相位為/6；/

8、3；/2；5/6,4.無阻尼自由簡諧振動(dòng)的周期和頻率由 所決定。對于給定的簡諧振動(dòng)系統(tǒng)其振幅、初相位由 決定。,振動(dòng)系統(tǒng)本身的性質(zhì),初始條件,1.一彈簧振子作諧振動(dòng)，總能量為E，如果諧振動(dòng)振幅增加為原來的兩倍，重物的質(zhì)量增為原來的4倍，則它的總能量E變?yōu)?A: E/4; B: E/2; C: 2E; D: 4E,本章作業(yè)：9-3， 9-5， 9-10， 9-11,代數(shù)方法：設(shè)兩個(gè)振動(dòng)具有相同頻率， 同一直線上運(yùn)動(dòng)，有不同的振幅和初相位,9-2 簡諧振動(dòng)的合成,一、 同方向、同頻率的簡諧振動(dòng)的合成,合振幅,Composition of two SHM,仍然是同頻率 的簡諧振動(dòng),由,分別兩邊平方求

9、和后整理得：,幾何方法：,上面得到：,討論一：,合振幅最大。,當(dāng),兩分振動(dòng)同步時(shí) 合振動(dòng)的振幅等于兩分振動(dòng)振幅之和,討論二：,當(dāng) 時(shí)，,討論三：,一般情況：,兩分振動(dòng)反相位時(shí) 合振動(dòng)的振幅等于兩分振動(dòng)振幅之差,例1。兩個(gè)同方向同頻率的簡諧振動(dòng)，其合振動(dòng)的振幅為20cm,與第一簡諧振動(dòng)的相位差為-1=/6,若第一個(gè)簡諧振動(dòng)的振幅為,則第二個(gè)諧振動(dòng)的振幅為 cm,第一、二兩個(gè)諧振動(dòng)的相位差2-1= 。,解：由矢量合成法則：,二、同方向、不同頻率的簡諧振動(dòng)的合成,為了簡單起見，先討論兩個(gè)振幅相同， 初相位也相同，在同方向上以不同頻率振動(dòng)的合成。其振動(dòng)表達(dá)式分別為：,Same direction Di

10、fferent Frequency,合成振動(dòng) 表達(dá)式：,利用三角函數(shù)關(guān)系式：,當(dāng) 都很大，且相差甚微時(shí)，可將 視為振幅變化部分， 合成振動(dòng)是以 為角頻率的諧振動(dòng)。,其振幅變化的周期是由振幅絕對值變化來決定，即振動(dòng)忽強(qiáng)忽弱，所以它是近似的諧振動(dòng)，這種合振動(dòng)忽強(qiáng)忽弱的現(xiàn)象稱為拍。,一般情況下，合振動(dòng)無明顯的周期性,單位時(shí)間內(nèi)振動(dòng)加強(qiáng)或減弱的次數(shù)叫拍頻,顯然，拍頻是振動(dòng) 的頻率的兩倍。 即拍頻為：,應(yīng)用：可用于校準(zhǔn)鋼琴,用旋轉(zhuǎn)矢量說明拍頻,每追趕一次重合一次，振幅達(dá)到最大一次。拍頻為：,音叉演示,三、方向垂直、同頻率簡諧振動(dòng)的合成,設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與了兩個(gè)振動(dòng)方向相互垂直的同頻率簡諧振動(dòng)，即,上式是

11、個(gè)橢圓方程，說明質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是橢圓，具體形狀由相位差 決定。,討論1,所以是在 直線上的運(yùn)動(dòng)。,討論2,所以是在 直線上的振動(dòng)。,討論3,所以是在X軸半軸長為 ， Y軸半軸長為 的橢圓方程，且順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。,質(zhì)點(diǎn)的軌道是圓。 X和Y方向的相位差決定旋轉(zhuǎn)方向。,討論5,討論4,所以是在X軸半軸長為 ， Y軸半軸長為 的橢圓方程，且逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。,討論6,則為任一橢圓方程。,綜上所述：兩個(gè)頻率相同的互相垂直的簡諧振動(dòng)合成后，合振動(dòng)在橢圓上進(jìn)行（圓和直線是退化了的橢圓）。,四、垂直方向、不同頻率簡諧振動(dòng)的合成,一般是復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)軌道不是封閉曲線，即合成運(yùn)動(dòng)不是周期性的運(yùn)動(dòng)。下面就兩種情況討論,1。 視為

12、同頻率的合成，不過兩個(gè)振動(dòng)的相位差在緩慢地變化，所以質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌道將不斷地從下圖所示圖形依次的循環(huán)變化。,當(dāng) 時(shí)是順時(shí)針轉(zhuǎn)； 時(shí)是逆時(shí)針轉(zhuǎn)。,2、如果兩個(gè)互相垂直的振動(dòng)頻率成整數(shù)比，合成運(yùn)動(dòng)的軌道是封閉曲線，運(yùn)動(dòng)也具有周期。這種運(yùn)動(dòng)軌跡的圖形,稱為李薩如圖形。,在示波器上，垂直方向與水平方向同時(shí)輸入兩個(gè)振動(dòng)，已知其中一個(gè)頻率，則可根據(jù)所成圖形與已知標(biāo)準(zhǔn)的李薩如圖形去比較，就可得知另一個(gè)未知的頻率。,9-3 阻尼振動(dòng)和受迫振動(dòng) 共振,一、阻尼振動(dòng) 振幅隨時(shí)間減少的振動(dòng)。,1。阻尼的分類,a.摩擦阻尼：機(jī)械能轉(zhuǎn)化為熱能,b.輻射阻尼：能量輻射出去，形成波（音叉、樂器等）,2。阻尼振動(dòng)的方程,振動(dòng)系

13、統(tǒng)受介質(zhì)的粘滯阻力：,Damped oscillations Forced oscillations Resonance,阻尼振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程：,令：,稱 為振動(dòng)系統(tǒng)的固有角頻率， 稱 為阻尼系數(shù)。,（1）阻尼較小時(shí):,此方程的解：,這種情況稱為欠阻尼，,阻力使周期增大。,由初始條件決定A和初相位 ,設(shè),即有：,a.周期T：一個(gè)位移極大到另一個(gè)極大出現(xiàn)的時(shí)間間隔。稱準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)。,b.T比無阻尼時(shí)稍長。,（2）阻尼較大時(shí)， 方程的解：,其中 是積分常數(shù)，由初始條件來決定，這種情況稱為過阻尼。,無振動(dòng)發(fā)生。,稱之為臨界阻尼情況。它是振動(dòng)系統(tǒng) 剛剛不能作準(zhǔn)周期振動(dòng)，而很快回到 平衡位置的情況，應(yīng)用在

14、天平調(diào)衡中。,是由初始條件 決定的積分常數(shù)。,（3）如果 方程的解：,是從有周期性因子 到無周期性的臨界點(diǎn)。,1。諧振子的受迫振動(dòng)：用周期性力驅(qū)動(dòng)的振動(dòng)。,二、 諧振子的受迫振動(dòng),設(shè)強(qiáng)迫力,阻尼力：,是典型的常系數(shù)、二階、線性、非齊次微分方程。 由微分方程理論：,非齊次微分方程的通解= 齊次微分方程的解+非齊次的一個(gè)特解。,2。振動(dòng)的特點(diǎn)： 減幅振動(dòng)和簡諧振動(dòng)的疊加，t 很大時(shí)，作=策的簡諧振動(dòng)。,其解為：,經(jīng)過足夠長的時(shí)間，稱為定態(tài)解：,該等幅振動(dòng)的角頻率就是強(qiáng)迫力的頻率；,穩(wěn)定態(tài)時(shí)的振幅,受迫振動(dòng)的初相位：,討論：,較小,若 很小， 很大。,求振幅 對頻率的極值，得出,共振的角頻率。,共振

15、的振幅。,振幅有極大值,三、 共振,1。位移共振：A達(dá)到最大值的振動(dòng)狀態(tài)（受迫振動(dòng)）,當(dāng)強(qiáng)迫力的頻率為某一值時(shí)，穩(wěn)定受迫振動(dòng)的位移振幅出現(xiàn)最大值的現(xiàn)象，叫做位移共振，簡稱共振（resonance)。,發(fā)生位移共振時(shí),因振幅最大, 所以振動(dòng)系統(tǒng)能量最大,系統(tǒng) 形變最厲害.,2。速度共振,達(dá)到極大值,叫做速度共振.,此時(shí)系統(tǒng)動(dòng)能也達(dá)到最大值, 也叫能量共振.,(2)速度振幅隨阻尼的減小而增大,但共振頻率皆為,3.共振的危害及應(yīng)用.,利：樂器利用之可提高音效、 選擇節(jié)目、器官成像（核磁共振）,害：橋梁、建筑物等易受破壞。,作業(yè)：9-6 9-8 9-12 9-13,彈 性 波,聲波、水波、電磁波都是物

16、理學(xué)中常見的波。,各種類型的波有其特殊性，但也有普遍的共性。例如，聲波需要介質(zhì)才能傳播，電磁波卻可在真空中傳播，光波是一種電磁波。,機(jī)械振動(dòng)在彈性介質(zhì)中的傳播稱為機(jī)械波。下面以機(jī)械波為 例介紹波的一些物理概念。,但它們都有類似的波動(dòng)方程。,Elastic Wave,2.彈性波產(chǎn)生的條件:(1)要有振源(波源) (2)要有傳播振動(dòng)的彈性媒質(zhì),3.橫波和縱波 (Transversal Wave and Longitudinal Wave),(1)橫波:傳播方向與振動(dòng)方向垂直(繩上波) (2)縱波:傳播方向與振動(dòng)方向平行(空氣中聲波),任一波例如，水面波、地表波，都能分解為橫波與縱波來進(jìn)行研究。,由

17、彈性力組合 的連續(xù)介質(zhì),一.基本概念 1.彈性波:機(jī)械振動(dòng)在彈性媒質(zhì)中的傳播,Elastic Wave Generation and Propagation,9-4 彈性波的產(chǎn)生與傳播,(1)波面:t時(shí)刻相位相同的點(diǎn)組成的面(波陣面),(2)波前:某時(shí)刻在最前面的波面,(3)波射線:沿波的傳播方向作的射線（也稱波線）,在各向同性均勻介質(zhì)中，波線與波陣面垂直.,4.波的幾何描述波面、波線、波前 Wave Surface， Line（normal），F(xiàn)ront,二.平面簡諧波 Plane Harmonic Wave,1.簡諧波:(簡諧振動(dòng)在空間的傳播) 特點(diǎn): (1)波傳到的區(qū)域中，每個(gè)質(zhì)元在平衡

18、位置附近作簡諧振動(dòng),而振動(dòng)以一定的速度由近及遠(yuǎn)傳播. (2)后振動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)比先振動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的狀態(tài)落后一段時(shí)間.,2.描述簡諧波的物理量,(1)波速u:,單位時(shí)間內(nèi)某一振動(dòng)狀態(tài)(或振動(dòng)相位)所傳播 的距離稱為波速 ，也稱之相速 。 取決于媒質(zhì)(與頻率無關(guān)),B.固體中,橫波:,縱波:,其中:,G切變彈性模量 Y楊氏彈性模量,A.液體、氣體中(僅有縱波),B液體或氣體的容變彈性模量 媒質(zhì)的密度,在同一種固體媒質(zhì)中，橫波波速比縱波波速小些。,(2)波長（Wave Length):波傳播過程中,同一波線上兩個(gè)相鄰的、相位差為2的兩質(zhì)元間的距離。,反映了波的空間周期性。,(4)頻率單位時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的次數(shù),

19、或單位時(shí)間內(nèi)波動(dòng)前進(jìn) 的距離中所包含的完整波長的數(shù)目。,(5)關(guān)系式,(3)波的周期T：波傳過一個(gè)波長的時(shí)間，或一個(gè)完整的波通過 波線上某一點(diǎn)所需要的時(shí)間叫做波的周期T。 與振源的振動(dòng)周期相同.反映了波的時(shí)間周期性.,2.若媒質(zhì)無吸收，各點(diǎn)的振幅相同，設(shè)為A。,波線上各點(diǎn)的振動(dòng)可以代表媒質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)。,結(jié)論：波線上各點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式即為平面簡諧波的波函數(shù)。,平面簡諧波的特點(diǎn)：,1、波線上一點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)與過該點(diǎn)的波面上各點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)相同。,已知：1、原點(diǎn)o的振動(dòng)表達(dá)式,求任意點(diǎn)p在t的振動(dòng)表達(dá)式。,任意點(diǎn)p的振動(dòng)表達(dá)式為：,任意點(diǎn)p振動(dòng)的狀態(tài)是原點(diǎn)o在 時(shí)間前振動(dòng)過的狀態(tài)。,9-5 平面簡諧波

20、的波函數(shù),一、波函數(shù)：能夠定量表達(dá)空間中任意點(diǎn)振動(dòng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為波函數(shù),二、平面簡諧波的波函數(shù),(3)波函數(shù)的幾種不同的形式：,三、波函數(shù)的物理意義:,(1)當(dāng)x給定時(shí),設(shè)x=x0,則有:,其中:,表示x0處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)情況(振動(dòng)方程),(2)當(dāng)t給定,設(shè)t=t0,則有:,即y=y(x),表示t=t0時(shí)刻的波形圖,注意:波動(dòng)曲線與振動(dòng)曲線的區(qū)別,表示波線上各點(diǎn)的位移分布。,(3).當(dāng)x,t均變化,y=y(x,t)表示不同時(shí)刻,不同平衡位置處各質(zhì)元的位移。,波函數(shù)描述了波形(相位)的傳播,速度為u. 在t時(shí)間內(nèi),整個(gè)波形以速度u向前推進(jìn)了x=ut，u也稱為相速度。,(4).由波函數(shù)可求得各質(zhì)元的

21、振動(dòng)速度、位移、加速度,由此可知，波函數(shù)描述波動(dòng)狀態(tài),注意：v 和 u 的不同,左行波的波函數(shù)：,所以 p點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程，也就是左行波的波動(dòng)方程：,p點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)傳到 O 點(diǎn)需用時(shí)間：,（5）沿x軸負(fù)向傳播的情況:,已知:,p點(diǎn)的相位超前于O點(diǎn)相位：,例題13082,如圖,一平面波在介質(zhì)中以速度u=20m/s沿x軸負(fù)方向傳播,已知A點(diǎn)振動(dòng)方程為:y=3cos4t (SI) 求： (1)以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)寫出波動(dòng)方程(波函數(shù)) (2)以距A點(diǎn)5m處的B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),寫出波動(dòng)方程.,解:(1)若以A為原點(diǎn),則有:,x處t時(shí)刻的振動(dòng),與A處t+x/u時(shí)刻的振動(dòng)相同,因而x處的振動(dòng)為:,X處質(zhì)元的振動(dòng)為：

22、,要點(diǎn):抓住沿波的傳播方向上各點(diǎn)相位依次落后的特點(diǎn)。,(2)以距A點(diǎn)5m處的B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),寫出波動(dòng)方程.,B點(diǎn)的振動(dòng)方程為：,例題2一平面余弦波,波線上各質(zhì)元的振幅和角頻率分別為A和,波沿x軸正向傳播,波速為u,設(shè)某一瞬時(shí)的波形如圖所示,并取圖示瞬時(shí)為計(jì)時(shí)起點(diǎn),(1)分別以O(shè)和P為坐標(biāo)原點(diǎn),寫出該波的波函數(shù). (2)確定在t=0時(shí)刻,距點(diǎn)O分別為x=/8和x=3/8兩處質(zhì)元振動(dòng)速度的大小和方向.,其中:,為已知,現(xiàn)求,由圖知,t=0時(shí),故:,于是可得:,波函數(shù)為:,若取P點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)P作簡諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為:,由波形圖可知,t=0時(shí)刻:,因此,則有:,（后來的位移向負(fù)方向增大）,因而有:

23、,(2)求質(zhì)元的振動(dòng)速度:,X處:,沿y軸負(fù)向,沿y軸正向,步驟:,1.建立坐標(biāo)系,選取計(jì)時(shí)起點(diǎn) 2.求原點(diǎn)的振動(dòng)方程 3.由右行波或左行的規(guī)律,求x點(diǎn)的振動(dòng)方程.,例題3 已知A點(diǎn)振動(dòng)方程為:,求下列情況下的波函數(shù).,作業(yè)：9-14 9-15 9-17 9-19,一、波函數(shù)的幾種不同的形式（右行波）：,復(fù) 習(xí),左行波在 x 出現(xiàn)的地方加一負(fù)號(hào),步驟:,1.建立坐標(biāo)系, 選取計(jì)時(shí)起點(diǎn) 2.根據(jù)傳播方向以及波的傳播規(guī)律,求p點(diǎn)的振動(dòng)方程（p點(diǎn)在x處）。,建立波函數(shù)的條件： 1、某點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式 2、波速（大小和方向u）,補(bǔ)充內(nèi)容： 惠更斯原理,一、 惠更斯原理,表述：媒質(zhì)中任一波陣面上的各點(diǎn)，都

24、是發(fā)射子波的新波源 ，其后 任意時(shí)刻，這些子波的包絡(luò)面就是新的波陣面。,Huygens principle,波傳播時(shí)遇到障礙物或進(jìn)入另一種媒質(zhì)時(shí)，如何傳播？,可用于解釋波的傳播、反射、折射、衍射等現(xiàn)象。,荷蘭物理學(xué)家，1678年提出惠更斯原理,一.波的疊加原理（獨(dú)立性原理）, 9-6 波的疊加原理 波的干涉,若有幾列波同時(shí)在介質(zhì)中傳播，則: 1.它們各自將以原有的振幅、頻率和波長獨(dú)立傳播； 2.在幾列波相遇處，質(zhì)元的位移等于各列波單獨(dú)傳播時(shí)在該處引起的位移的矢量和。稱波的疊加原理。,能分辨不同的聲音正是這個(gè)原因；疊加原理的重要性在于可以將任一復(fù)雜的波分解為簡諧波的組合。,爆炸產(chǎn)生的沖擊波就不滿

25、足線性方程，所以疊加原理不適用。,波疊加,二.波的干涉(波相遇時(shí)的一種特殊現(xiàn)象),1.干涉現(xiàn)象: 兩波相遇,在媒質(zhì)中某些位置的點(diǎn)振幅始終最大，某些位置振幅始終最小，而其它位置，振動(dòng)的強(qiáng) 弱介乎二者之間,保持不變。稱這種振動(dòng)的穩(wěn)定分布為干涉現(xiàn)象。,2.相干條件：,滿足相干條件的波源 稱為相干波源。,（3）具有恒定的相位差,（2）振動(dòng)方向相同,兩相干波的振幅相近或相等時(shí)干涉現(xiàn)象明顯。,（1）兩波源具有相同的頻率,波的干涉之 模擬演示圖,3.定量公式: 設(shè)有兩個(gè)頻率相同的波源 和,其振動(dòng)表達(dá)式為：,傳播到 P 點(diǎn)引起的振動(dòng)為：,在 P 點(diǎn)的振動(dòng)為同方向同頻率振動(dòng)的合成。,下面討論干涉現(xiàn)象中的強(qiáng)度分布

26、,在 P 點(diǎn)的合成振動(dòng)為：,其中：,由于波的強(qiáng)度正比于振幅的平方，所以合振動(dòng)的強(qiáng)度為：,對空間不同的位置，都有恒定的 ，因而合強(qiáng)度 在空間形成穩(wěn)定的分布，即有干涉現(xiàn)象。,干涉相長的條件：,干涉相消的條件：,當(dāng)兩相干波源為同相波源時(shí)，相干條件寫為：,稱 為波程差,相長干涉,相消干涉,例題一( 例1)如圖所示,在同一媒質(zhì)中相距為20m的兩平面簡諧波源S1和S2作同方向,同頻率(=100Hz)的諧振動(dòng),振幅均為A,且A=0.05m,點(diǎn)S1為波峰時(shí),點(diǎn)S2恰為波谷,波速u=200m/s,求兩波源連線上因干涉而靜止的各點(diǎn)位置.,解:選S1處為坐標(biāo)原點(diǎn)O,向右為x軸正方向,設(shè)點(diǎn)S1的振動(dòng)初相位為零,由已知

27、條件可得波源S1和S2作簡諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程分別為:,S1發(fā)出的向右傳播的波的波函數(shù)為:,S2發(fā)出的向左傳播的波的波函數(shù)為:,因干涉而靜止的點(diǎn)的條件為:,化簡上式,得:,將=u/=2m代入,可得:,所以在兩波源的連線上因干涉而靜止的點(diǎn)的位置分別為:,駐波是干涉的特例。當(dāng)頻率與繩長調(diào)整適當(dāng)，繩上分段振 動(dòng)，某些點(diǎn)振幅特大，某些點(diǎn)不動(dòng)，稱為駐波。駐波的特 點(diǎn)不是振動(dòng)的傳播，而是媒質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)都作穩(wěn)定的振動(dòng)。,1.駐波:分別沿X軸正、負(fù)方向傳播的同振幅、同頻率的兩列相干波，其合成波就是典型的駐波。,三.駐波,2.特征: (1)無波形的跑動(dòng)(與行波不同) (2)振幅 A=A(x) (3)有些點(diǎn)不動(dòng)(波節(jié))

28、,有些點(diǎn)振動(dòng)最強(qiáng)(波腹) (4)兩相鄰的分段相位相反,同一分段相位相同,動(dòng)畫,設(shè)有兩列相干波，分別沿X軸正、負(fù)方向傳播，選初相位均為零的表達(dá)式為：,3.駐波的形成:,其合成波稱為駐波表達(dá)式：,實(shí)物演示,利用三角函數(shù)關(guān)系求出駐波的表達(dá)式：,振動(dòng)因子,它表示各點(diǎn)都在作簡諧振動(dòng)，各點(diǎn)振動(dòng)的頻率相同，是原來波的頻率。但各點(diǎn)振幅隨位置的不同而不同。,振幅因子,此式為振動(dòng)表達(dá)式。無波形的跑動(dòng)現(xiàn)象（即非行波）,振幅最大的點(diǎn)稱為波腹，對應(yīng)于,的各點(diǎn)；,因此：,波腹的位置為：,波節(jié)的位置為：,討論: (1)駐波的振幅,駐波的特點(diǎn)不是振動(dòng)的傳播，而 是媒質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)都作穩(wěn)定的振動(dòng),振幅為零的點(diǎn)稱為波節(jié)，對應(yīng)于,的各

29、點(diǎn)。,即:,即:,從上式得相鄰波腹間的距離為：,可得相鄰波節(jié)間的距離也為,相鄰波腹與波節(jié)間的距離為,因此可用測量波腹間的距離，來確定波長。,應(yīng)用,(2)駐波的相位,時(shí)間部分提供的相位對于所有的 x是相同的，而空間變化帶來的相位是不同的。,內(nèi)，,在波節(jié)兩側(cè)點(diǎn)的振動(dòng)相位相反。同時(shí)達(dá)到反向 最大或同時(shí)達(dá)到反向最小。速度方向相反。,結(jié)論：,* 兩個(gè)相鄰波節(jié)之間的點(diǎn)其振動(dòng)相位相同。 同時(shí)達(dá)到 最大或同時(shí)達(dá)到最小。速度方向相同。,例題2一列沿x軸方向傳播的入射波的波函數(shù)為,在x=0處反射,反射點(diǎn)為一節(jié)點(diǎn) 求:(1)反射波的波函數(shù). (2)合成波的波函數(shù) (3)波腹,波節(jié)的位置坐標(biāo).,解:(1)由于有相位突

30、變,故反射波的波函數(shù)為:,(2)根據(jù)波的疊加原理,合成波的波函數(shù)為:,(3)形成波腹的各點(diǎn),振幅最大,即:,亦即:,故波腹坐標(biāo)為:,形成波節(jié)各點(diǎn),振幅最小,即:,(x, x 只取負(fù)值及零),當(dāng)波從波疏媒質(zhì)垂直入射到 波密媒質(zhì)界面上反射時(shí)，有 半波損失，形成的駐波在界 面處是波節(jié)。反之，當(dāng)波從 波密媒質(zhì)垂直入射到波疏媒 質(zhì)界面上反射時(shí)，無半波損 失，界面處出現(xiàn)波腹。,四.半波損失：,入射波在反射時(shí)發(fā)生反相的現(xiàn)象稱為半波損失。,折射率較大的媒質(zhì)稱為波密媒質(zhì)； 折射率較小的媒質(zhì)稱為波疏媒質(zhì).,有半波損失,某一時(shí)刻,無半波損失,3.一彈簧振子作諧振動(dòng)，總能量為E，如果諧振動(dòng)振幅增加為原來的兩倍，重物的

31、質(zhì)量增為原來的4倍，則它的總能量E變?yōu)?A: E/4; B: E/2; C: 2E; D: 4E,2。已知：A,T,求：從B到C所需的最短時(shí)間,6. A、B兩彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)分別為kA, kB,其質(zhì)量均可忽略不計(jì)，今將二彈簧連接起來并豎直懸掛，當(dāng)系統(tǒng)靜止時(shí)，彈簧的彈性勢能EpA與EpB之比,7. 在t=0時(shí)，周期為T振幅為A的單擺分別處于圖a、b、c三種狀態(tài)，若選單擺的平衡位置為x軸的原點(diǎn)，x軸指向右方，則單擺作小角度擺動(dòng)的振動(dòng)表達(dá)式（用余弦表示）分別為,8. 一簡諧波沿x軸正向傳播，=4m,T=4s,x=0處振動(dòng)曲線如圖：,（1）寫出x=0處質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方程； （2）寫出波的表達(dá)式； （3）畫出t

32、=1s時(shí)的波形。,解：,（1）t=0時(shí)：,（2）,9. 兩余弦波沿OX軸傳播，波動(dòng)方程為：,試確定OX軸上的合振幅為0.06m的那些點(diǎn)的位置。,解：,作業(yè)：9-20 9-21 9-22,一、波函數(shù)的幾種不同的形式（右行波）：,復(fù) 習(xí),左行波在 x 出現(xiàn)的地方加一負(fù)號(hào),步驟:,1.建立坐標(biāo)系, 選取計(jì)時(shí)起點(diǎn) 2.根據(jù)傳播方向以及波的傳播規(guī)律,求p點(diǎn)的振動(dòng)方程（p點(diǎn)在x處）。,建立波函數(shù)的條件： 1、某點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式 2、波速（大小和方向u）,9-7 波的能量 聲波,波的傳播過程:,（1）振動(dòng)狀態(tài)的傳播(相位) （2）能量的傳播,1.行波的能量,以弦上橫波為例,其波函數(shù)為:,取AB段為研究對象為弦

33、的質(zhì)量線密度,(1)AB段的動(dòng)能:,一、波的能量,(2)AB段的勢能:,彈性勢能應(yīng)為張力T在線元伸長的過程中所作的功,即:,代入上式,得:,x很小,利用了,(3)總機(jī)械能:,(4)能量密度: 單位體積中的能量。,(5)平均能量密度(對t求平均),為質(zhì)量密度,(6)特點(diǎn):,A.,相位、大小均相同(注意與振動(dòng)能量相區(qū)別),極大,能量極小,能量極小,波形,D.能量以速度 u 傳播(由 w 的公式可看出),2.波的能流密度與波的強(qiáng)度,(1)能流（Energy Flow） 單位時(shí)間內(nèi)垂直通過某一截面的能量稱為波通過該截面的能流，或叫能通量。,為截面所在位置的能量密度 所以，能流為：,顯然能流是隨時(shí)間周期

34、性變化的。但它總為正值,設(shè)波速為 u，在 時(shí)間內(nèi)通過垂直于波速截面 的能量:,(2)平均能流:在一個(gè)周期內(nèi)能流的平均值稱為平均能流,(3)能流密度:通過垂直于波動(dòng)傳播方向的單位面積的平均能流 稱為平均能流密度，通常稱為能流密度或波的強(qiáng)度。,換句話說，能流密度是 單位時(shí)間內(nèi)通過垂直于 波速方向的單位截面的 平均能量。,平均能流,借助于上式和能量守恒可討論波傳播時(shí)振幅的變化：,在均勻不吸收能量的媒質(zhì)中傳播的平面波，在行進(jìn)方向上振幅不變。,討論: 平面波和球面波的振幅,證明：因?yàn)?所以,平面波振幅相等：,球面波,由于振動(dòng)的相位隨距離 的增加而落后的關(guān)系， 與平面波類似，球面簡 諧波的波函數(shù)：,(4)

35、 波的吸收,實(shí)際上，波在媒質(zhì)中傳播時(shí)，媒質(zhì)總要吸收一部分能量。吸收的能量轉(zhuǎn)換為媒質(zhì)的內(nèi)能和熱。因此，波的振幅要減小、波的強(qiáng)度將減弱，這種現(xiàn)象稱之為吸收。,為吸收系數(shù),取決于媒質(zhì)和波的頻率。,二、 聲波, 聲波是機(jī)械縱波,頻率高于20000赫茲的叫做超聲波。,* 聲的產(chǎn)生、傳播和接收。為聽覺服務(wù)，如 聲音的音質(zhì)、音響效果；聲學(xué)在建筑學(xué)方面 的應(yīng)用，噪聲的避免等。聲波測井。,20到20000赫茲之間能引起聽 覺的稱為可聞聲波，簡稱聲波。,頻率低于20赫茲的叫做次聲波；,* 利用聲的傳播特性研究媒質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu)； 利用聲波的作用來促進(jìn)化學(xué)反應(yīng)，為科技服務(wù)。,研究的分類：,聲的概念不再局限于聽覺范圍，

36、幾乎是振動(dòng)和機(jī)械波的同義詞。,設(shè)在彈性媒質(zhì)中有一平面余弦縱波， 為密度, 為聲速,媒質(zhì)中有聲波傳播時(shí)的壓力(壓強(qiáng))與 無聲波傳播時(shí)的靜壓力之差稱為聲壓。, 聲壓,由體彈性模量的定義：,應(yīng)變?yōu)椋?稀疏區(qū)聲壓為負(fù)，稠密區(qū)聲壓為正值。 由于疏密的周期性，聲壓也是周期變化。,所以聲壓 為：, 聲強(qiáng)、聲強(qiáng)級(jí),* 聲強(qiáng)就是聲波的平均能流密度。,即單位時(shí)間內(nèi)通過垂直于傳播方向單位面積的聲波能量。,式中加速度的振幅：,由此可知，聲強(qiáng)與頻率的平方，振幅的平方成正比。,這樣的超聲波在幾個(gè)毫米范圍內(nèi)有比重力加速度 g大十多萬倍的正負(fù)加速度和幾百個(gè)大氣壓，可見它的威力。因此，有重要的應(yīng)用。,聲強(qiáng),超聲波的頻率高 ，而

37、波長在毫米數(shù)量級(jí)。 壓強(qiáng)振幅約 大氣壓。,加速度 已達(dá)重力加速度的上百萬倍；,引起人的聽覺的聲波，還有一定的聲強(qiáng) 范圍。大約為1012瓦/米2 1瓦/米2。 聲強(qiáng)太小聽不見，太大會(huì)引起痛覺。,定義聲強(qiáng)級(jí)L為：,單位為貝耳(Bel),1Bel=10dB,單位為分貝(dB),* 聲強(qiáng)級(jí),由于可聞聲強(qiáng)的數(shù)量級(jí)相差懸殊， 通常用聲強(qiáng)級(jí)來描述聲強(qiáng)的強(qiáng)弱。,聲音的響度是人對聲音的主觀感覺。,規(guī)定聲強(qiáng) I0=10-12瓦/米2作為測定聲強(qiáng)的標(biāo)準(zhǔn),有的地方規(guī)定戶外聲音 不得大于100分貝。,如炮聲聲強(qiáng) 1瓦/米2 ，聲強(qiáng)級(jí)120分貝。, 超聲波、次聲波,* 超聲波：頻率高，波長短，定向傳播性好； 穿透性好，在

38、液體、固體中傳播時(shí)，衰 減很小，能量高等。,定位、測距、探傷、顯象，隨著激光全息的發(fā)展聲全息也日益發(fā)展，它在地質(zhì)、醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域有重要的意義；,近來在超聲延時(shí)方面有新的發(fā)展，因?yàn)樗牟ㄋ俦入姶挪ㄋ俚汀?由于能量大而集中可用來切削、焊接，鉆孔，清洗機(jī)件還可用來處理種子和催化。,特點(diǎn),用途,超聲波的傳播速度對于介質(zhì)的密度、濃度、成分、溫度、壓力的變化很敏感。利用這些可間接測量其他有關(guān)物理量。這種非聲量的聲測法具有測量精密度高、速度快的優(yōu)點(diǎn)；,頻率在10420赫芝之間 的機(jī)械波，人耳聽不到。,* 次聲波,因?yàn)榇髿馔牧?、火山爆發(fā)、地震、隕石落地、雷暴、磁暴等大規(guī)模自然活動(dòng)中，都有次聲波產(chǎn)生，因此，它是研究地球、海洋、大氣等大規(guī)模運(yùn)動(dòng)的有力的工具。,特點(diǎn)一,用途,由于它具有衰減極小的特點(diǎn)， 具有遠(yuǎn)距離傳播的突出特點(diǎn)。 已形成現(xiàn)代聲學(xué)的一個(gè)新的 分支次聲學(xué)。,特點(diǎn)二,表示波源相對于媒質(zhì)的運(yùn)動(dòng)速度。,表示觀察者相對于媒質(zhì)的運(yùn)動(dòng)速度。,波源的頻率 是單位時(shí)間內(nèi)波源振動(dòng)的次數(shù)或 發(fā)出的完整波的個(gè)數(shù)；,一.