概率論與數(shù)理統(tǒng)計必考點 1

1、在第三章, 我們提到在自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象中, 大量的隨機變量都是服從或近似服從正態(tài)分布的.中心極限定理就是以此為背景的關(guān)于“在一定的 條件下大量的相互獨立的隨機變量和的極限分布 是正態(tài)分布”的一系列定理.,第三節(jié) 中心極限定理,擲一顆骰子，出現(xiàn)點數(shù)X的分布律為：,中心極限定理的客觀背景,擲兩顆骰子，出現(xiàn)點數(shù)和X=X1+X2的分布律為：,擲三顆骰子，出現(xiàn)點數(shù)和X=X1+X2+X3的分布律為：,x,擲三顆骰子，出現(xiàn)點數(shù)和X=X1+X2+X3的分布律為：,X近似服從正態(tài)分布,什么是中心極限定理？,闡述大量的相互獨立的隨機變量的線性組合在一定條件下近似服從正態(tài)分布的一系列定理稱為中心極限定理,定義:設(shè)

2、 為獨立隨機變量序列, 若 即對 有 稱 服從中心極限定理。,幾個著名的中心極限定理,設(shè)隨機變量 Xk，k = 1,2,相互獨立，且同分布，有有限數(shù)學(xué)期望E(Xk)=和方差D(Xk)=. 若隨機變量序列,定理4.10（獨立同分布中心極限定理或勒維定理）,定理4.9（棣莫佛-拉普拉斯中心極限定理）,則對于任意的實數(shù) x ，有,在n重伯努利試驗中，事件A每次出現(xiàn)的概率為p，Sn是n次試驗A出現(xiàn)的次數(shù),（即 Sn B( n, p ),顯然拉普拉斯中心極限定理是勒維定理的特列,定理的應(yīng)用,對于獨立的隨機變量序列 ，不管 服從什么分布，只要它們 是同分布，且有有限的數(shù)學(xué)期望E(Xi)= 和方差D(Xi)

3、=， 那么，當(dāng)n充分大時，,近似計算公式,若X B( n, p )，對于足夠大的n，有,特別地：,解,由定理, 隨機變量 Z 近似服從正態(tài)分布 N (0,1) ,例1,其中,某保險公司的老年人壽保險有1萬人參加,每人每年交200元. 若老人在該年內(nèi)死亡,公司付給家屬1萬元. 設(shè)老年人死亡率為0.017,試求保險公司在一年內(nèi)的這項保險中虧本的概率.,解,設(shè) X 為一年中投保老人的死亡數(shù),由德莫佛拉普拉斯定理知,例2,保險公司虧本的概率,例3.一食品廠有三種蛋糕出售，由于售出哪一種蛋糕是隨機的，因而售出一只蛋糕的價格是一個隨機變量，它取1,1.2,1.5（元）各個值的概率分布是0.3,0.2,0.

4、5.每天售出300只蛋糕，求這天的收入至少400元的概率。,解：用Y表示這天的收入，,Xi為售出第i只蛋糕的價格，則,由獨立同分布中心極限定理， 這天的收入至少400元的概率為：,例4.設(shè)某學(xué)校有1000名住校生，每人每天都以80%的概率去圖書館上自習(xí)，問圖書館至少設(shè)多少個座位，才能以99%的概率保證去上自習(xí)的同學(xué)都有座位？,解：設(shè)每天去圖書館上自習(xí)的同學(xué)有X,又設(shè)圖書館至少設(shè)n個座位才能以99%的概率保證去上自習(xí)的同學(xué)都有座位。,由棣莫夫 拉普拉斯中心極限定理，有,小結(jié),中心極限定理,獨立同分布的中心極限定理,德莫佛拉普拉斯定理,中心極限定理表明, 在相當(dāng)一般的條件下, 當(dāng)獨立隨機變量的個數(shù)增加時, 其和的分布趨于正態(tài)分布.,練一練,1.設(shè)射擊命中率為0.1，連續(xù)獨立射擊100次，,X表示命中的次數(shù)，則用中心極限定理估算,解：設(shè)Xk表示第k次命中的次數(shù)，則,則由中心極限定理：,練一練,2.在次品率