有限長單位脈沖響應(yīng)FIR濾波器的設(shè)計方法第4節(jié).ppt

1、4.4 FIR數(shù)字濾波器的最優(yōu)化設(shè)計,前面介紹了FIR數(shù)字濾波器的兩種逼近設(shè)計方法，即窗口法（時域逼近法）和頻率采樣法（頻域逼近法），用這兩種方法設(shè)計出的濾波器的頻率特性都是在不同意義上對給定理想頻率特性Hd(ej)的逼近。 說到逼近，就有一個逼近得好壞的問題，對“好”“壞”的衡量標準不同，也會得出不同的結(jié)論，我們前面講過的窗口法和頻率采樣法都是先給出逼近方法、所需變量，然后再討論其逼近特性，如果反過來要求在某種準則下設(shè)計濾波器各參數(shù)，以獲取最優(yōu)的結(jié)果，這就引出了最優(yōu)化設(shè)計的概念，最優(yōu)化設(shè)計一般需要大量的計算，所以一般需要依靠計算機進行輔助設(shè)計。,最優(yōu)化設(shè)計的前提是最優(yōu)準則的確定，在FIR濾波

2、器最優(yōu)化設(shè)計中，常用的準則有 最小均方誤差準則 最大誤差最小化準則。 1)均方誤差最小化準則， 若以E(ej)表示逼近誤差，則 那么均方誤差為,均方誤差最小準則就是選擇一組時域采樣值，以使均方誤差 ，這一方法注重的是在整個-頻率區(qū)間內(nèi)總誤差的全局最小，但不能保證局部頻率點的性能，有些頻率點可能會有較大的誤差，對于窗口法FIR濾波器設(shè)計，因采用有限項的h(n)逼近理想的hd(n)，所以其逼近誤差為： 如果采用矩形窗 則有,在矩形窗內(nèi)與理想 的完全相同，窗外 是不可控制的，此 時誤差最小，與其 它窗函數(shù)相比,矩形窗窗口設(shè)計法是一個最小均方誤差FIR設(shè)計，根據(jù)前面的討論，我們知道其優(yōu)點是過渡帶較窄，

3、缺點是局部點誤差大,或者說誤差分布不均勻。 2)最大誤差最小化準則（也叫最佳一致逼近準則）,表示為 其中F是根據(jù)要求預(yù)先給定的一個頻率取值范圍，可以是通帶，也可以是阻帶。最佳一致逼近即選擇N個頻率采樣值 （ 或時域 h(n) 值 ），在給定頻帶范圍內(nèi)使頻響的最大逼近誤差達到最小。也叫等波紋逼近。 優(yōu)點：可保證局部頻率點的性能也是最優(yōu)的，誤差分布均勻， 相同指標下，可用最少的階數(shù)達到最佳化。,例如，我們提到的頻率采樣最優(yōu)化設(shè)計，它是從已知的采樣點數(shù)N、預(yù)定的一組頻率取樣和已知的一組可變的頻率取樣（即過渡帶取樣）出發(fā)，利用迭代法（或解析法）得到具有最小的阻帶最大逼近誤差（即最大的阻帶最小衰減）的F

4、IR濾波器。但它只是通過改變過渡帶的一個或幾個采樣值來調(diào)整濾波器特性。如果所有頻率采樣值（或FIR時域序列h(m)）都可調(diào)整，顯然，濾波器的性能可得到進一步提高。,零相位濾波器作為研究對象（4.75） 對于M階濾波器，其極值點個數(shù)（4.76） 問題生成（4.81） 算法（4.82） 估算公式（4.84）,討論對象：零相位濾波器,假定濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)為對稱于n=0的單位脈沖響應(yīng)， 且N為奇數(shù)，此時，線性相位因子a=0.令N=2M+1,M為任意正 整數(shù)，則濾波器頻率響應(yīng)可寫為,對于零相位，要求h(n)=h(-n)，由于h(n)的對稱特性，則,式中，a(0)=h(0);a(n)=2h(n

5、),n0。由上式可見，零相位濾波器 的頻率響應(yīng)應(yīng)是一純實數(shù)。 本節(jié)以此濾波器為例來講解。,低通濾波器的誤差分配,設(shè)計目標：假定希望設(shè)計一個如圖所示的濾波器， 各個參數(shù)的含義,切比雪夫最佳一致逼近 如圖，用等波紋逼近法設(shè)計濾波器需要確定五個參數(shù)： M、c、r、1、2 按上圖所示的誤差容限設(shè)計低通濾波器，就是說要在通帶 0 p 內(nèi)以最大誤差 1 逼近1，在阻帶r 內(nèi) 以最大誤差2逼近零。 要同時確定上述五個參數(shù)較困難。常用的兩種逼近方法： 1）給定M、1、2，以c和r為變量。 缺點：邊界頻率不能精確確定。 2）給定M、c和r，以1和2為變量，通過迭代運算 ，使逼近誤差1和2 最小，并確定h(n)切

6、比雪 夫最佳一致逼近。 特點：能準確地指定通帶和阻帶邊界頻率。,一.誤差函數(shù) 定義逼近誤差函數(shù)：,為所設(shè)計的濾波器與理想濾波器的幅頻特性在通帶和阻帶內(nèi)的誤差值， 是已知的權(quán)函數(shù)，在不同頻帶可取不同的值，將通阻帶波動統(tǒng)一起來 所要設(shè)計的濾波器的幅頻特性 理想濾波器的幅頻特性,(4.79),希望在固定 M, c, r 的情況下逼近一個低通濾波器，這時有,對于表4.1中的第一種濾波器，,使得在各頻帶上的加權(quán) 誤差最大值一樣,（P137:4.15）,給定后等效于求 (阻帶衰減)最小。,于是,切比雪夫逼近問題變?yōu)?，尋求一組系數(shù) 使逼近誤差的最大值達到最小，即,二.交替定理（最佳逼近定理） 令F表示閉區(qū)間

7、 的任意閉子集，為了使 在 F 上唯一最佳地逼近于 ,其充分必要條件是誤差函數(shù) 在 F 上至少應(yīng)有（M+2）次“交替”， 即 其中 ，且 屬于F。 1） 至少有 M+2 個極值，且極值相互“交替”，具有等 波紋的性質(zhì) ， 2）由于 是常數(shù)，所以 的極值也就是 的極值。,要有M+2個極值頻率點近似系統(tǒng)響應(yīng),借助于低通濾波器的設(shè)計，可以直觀地解釋這個定理。這時，閉子集F包括區(qū)間 和 。因為濾波器頻響 是逐段恒定的，所以對應(yīng)于誤差函數(shù) 各峰值點的頻率 同樣也對應(yīng)于 恰好滿足誤差容限時的頻率。 根據(jù)前面的討論， 在開區(qū)間 內(nèi)至多有M-1個極值，此外，根據(jù)通帶和阻帶的定義，令 的約束條件為 ，,，再加上

8、 和處的極值，誤差曲線極值頻率（交替）滿足定理。,逼近方法：固定 k、M、 和 ，以 作為參變量。按照交替定理，如果 F 上的M+2個極值點頻率 已知，則由（1）式可得到 M+2 個方程：,為極值點頻率對應(yīng)的誤差函數(shù)值。,M+2個極值頻率點給出M+2個方程 未知系數(shù)M+1個a(n)和,注意：極值點頻率必須位于 和 區(qū)間內(nèi)。由于 和 固定，因而 和 必為這些極值頻率中的一個，設(shè) ，則應(yīng)有 求解上述方程組可得到全部系數(shù) 問題：1）實際情況下，M+2 個極值點頻率未知； 2）直接求解上述非線性方程組比較困難。,雷米茲（Remez）算法給出了求解切比雪夫最佳一致逼近問題的方法。,雷米茲交替算法,圓點-

9、第一次迭代的極值頻率點 叉內(nèi)插多項式的極值點，新的極值頻率點,三.雷米茲（Remez）算法,1）在頻率子集 F 上均勻等間隔地選取 M+2 個極值點頻率,2）由 求 和 利用重心形式的拉格朗日插值公式，,其中,如在頻帶 F 上，對所有頻率都有 ，則 為第一次獲取的最大誤差， 即為極值點頻率。,3）對上次確定的極值點頻率 中的每一點，在其附近檢查是否在某一頻率處有 ， 如有，則以該頻率點作為新的局部極值點。對 M+2 個極值點頻率依次進行檢查，得到一組新的極值點頻率。重復(fù)步驟1）、2），求出 ，完成一次迭代。 重復(fù)上述步驟，直到 的值改變很小，迭代結(jié)束，這個 即為所求的 最小值。由最后一組極值點頻率求出 ，反變換得到 , 完成設(shè)計。 優(yōu)點： 可準確確定； 逼近誤差均勻分布，相同指標下，濾波器所需階數(shù)低。,有一些估算公式可用于決定最佳濾波器長度N：,對于窄帶低通