微分中值定理經(jīng)典題型

1、.,第2章 微分學(xué)中值定理及其應(yīng)用-習(xí)題課(1),課堂練習(xí),舉例,主要內(nèi)容,.,Rolle 定理,Lagrange 中值定理,常用的 泰勒公式,Cauchy 中值定理,Taylor 中值定理,Fermat定理,主要內(nèi)容,.,分析:,設(shè),欲證:,使,只要證,亦即,證明 作輔助函數(shù),驗(yàn)證,在,上,滿(mǎn)足羅爾定理?xiàng)l件.,課堂練習(xí),.,證明 反證法,由第1題!,若將第1題改為:,提示：,.,證明：,因此至少存在,顯然,在 上滿(mǎn)足羅爾定理?xiàng)l件,即,設(shè)輔助函數(shù),使得,.,證明 第2題的特殊情況:n = 2!,.,證明,不妨設(shè),.,分析: 所給條件可寫(xiě)為,想到找一點(diǎn) c , 使,證明: 因 f (x) 在0,

2、 3上連續(xù),所以在0, 2上連續(xù), 且在,0, 2上有最大值 M 與最小值 m,故,由介值定理, 至少存在一點(diǎn),由羅爾定理知, 必存在,.,證明:,.,.,6. 試證至少存在一點(diǎn),使,法1 令,則 f (x) 在 1 , e 上滿(mǎn)足羅爾中值定理?xiàng)l件,使,因此存在,.,7 試證至少存在一點(diǎn),使,證:,法2 用柯西中值定理 .,則 f (x) , F(x) 在 1 , e 上滿(mǎn)足柯西中值定理?xiàng)l件,令,因此,即,分析:,.,證明: 欲證,因 f ( x ) 在 a , b 上滿(mǎn)足L-中值定理?xiàng)l件,故有,將代入 , 化簡(jiǎn)得,故有,即要證,.,證,例1,舉例,.,兩式相減,則有,.,.,例2,證明:,兩

3、式相減,得,令h0,兩邊取極限,利用f ( a) 的連續(xù)性得,.,有關(guān)中值問(wèn)題的解題方法小結(jié),利用逆向思維 , 設(shè)輔助函數(shù) .,一般解題方法:,證明含一個(gè)中值的等式或根的存在 ,(2) 若結(jié)論中涉及到含中值的兩個(gè)不同函數(shù) ,(3) 若結(jié)論中含兩個(gè)或兩個(gè)以上的中值 ,可用原函數(shù)法找輔助函數(shù) .,多用羅爾定理,可考慮用,柯西中值定理 .,必須多次應(yīng)用,中值定理 .,(4) 若已知條件中含高階導(dǎo)數(shù) , 多考慮用泰勒公式 ,(5) 若結(jié)論為不等式 , 多半用Taylor和lagrange公式,要 注意適當(dāng)放大或縮小的技巧.,有時(shí)也可考慮對(duì)導(dǎo)數(shù)用中值定理 .,.,第2章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用-習(xí)題課(2),課堂練習(xí)

4、,舉例,主要內(nèi)容,.,主要內(nèi)容,1. 研究函數(shù)的性態(tài):,增減 ,極值 ,凹凸 ,拐點(diǎn) ,漸近線 .,2. 解決最值問(wèn)題,目標(biāo)函數(shù)的建立與簡(jiǎn)化,最值的判別問(wèn)題,3. 其他應(yīng)用 :,證明不等式 ;,研究方程實(shí)根等.,.,1. 可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別,在 I 上嚴(yán)格單調(diào)遞增,在 I 上嚴(yán)格單調(diào)遞減,在 I 上單調(diào)遞增,在 I 上單調(diào)遞減,.,2. 連續(xù)函數(shù)的極值,(1) 極值可疑點(diǎn) :,使導(dǎo)數(shù)為0 或不存在的點(diǎn),(2) 第一充分條件,過(guò),由正變負(fù),為極大值,過(guò),由負(fù)變正,為極小值,(3) 第二充分條件,為極大值,為極小值,.,3. 在a, b上連續(xù)的函數(shù)f(x)的最大（?。┲登蠓?求函數(shù)最值的方法:,(1) 求 在 內(nèi)的極值可疑點(diǎn),(2) 最大值,最小值,注意:如果區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值,則這個(gè)極值就是最值.(最大值或最小值),.,4.連續(xù)曲線凹凸與拐點(diǎn),（1）凸（凹）函數(shù)的定義,.,（2）凸函數(shù)的判定,判定法則1,判定法則2,判定法則3,.,(3) 拐點(diǎn)的定義及判定法,拐點(diǎn), 連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點(diǎn),過(guò),由正變負(fù)或,過(guò),由負(fù)變正,判定法