高中數(shù)學(xué) 第三章 直線與方程章末復(fù)習(xí)課學(xué)案（含解析）新人教A版必修

1、第三章 直線與方程學(xué)習(xí)目標(biāo)1.整合知識(shí)結(jié)構(gòu)，梳理知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，進(jìn)一步鞏固、深化所學(xué)知識(shí)；2.培養(yǎng)綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力，能靈活選擇直線方程的形式并熟練運(yùn)用待定系數(shù)法求解，滲透數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想1直線的傾斜角與斜率(1)直線的傾斜角的范圍是0180.(2)k(3)斜率的求法：依據(jù)傾斜角；依據(jù)直線方程；依據(jù)兩點(diǎn)的坐標(biāo)2直線方程的幾種形式的轉(zhuǎn)化3兩條直線的位置關(guān)系設(shè)l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，則(1)平行A1B2A2B10且B1C2B2C10；(2)相交A1B2A2B10；(3)重合A1A2，B1B2，C1C2(0)或(A2B2C20)4距離公式(1)兩點(diǎn)間的距離公

2、式已知點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則|P1P2|.(2)點(diǎn)到直線的距離公式點(diǎn)P(x0，y0)到直線l：AxByC0的距離d；兩平行直線l1：AxByC10與l2：AxByC20的距離d.類(lèi)型一待定系數(shù)法的應(yīng)用例1直線l被兩條直線l1：4xy30和l2：3x5y50截得的線段的中點(diǎn)為P(1,2)，求直線l的方程解方法一設(shè)直線l與l1的交點(diǎn)為A(x0，y0)，由已知條件，得直線l與l2的交點(diǎn)為B(2x0,4y0)，并且滿(mǎn)足即解得因此直線l的方程為，即3xy10.方法二設(shè)直線l的方程為y2k(x1)，即kxyk20.由得x.由得x.則2，解得k3.因此所求直線方程為y23(x1)，即3

3、xy10.方法三兩直線l1和l2的方程為(4xy3)(3x5y5)0，將上述方程中(x，y)換成(2x,4y)，整理可得l1與l2關(guān)于(1,2)對(duì)稱(chēng)圖形的方程：(4xy1)(3x5y31)0.整理得3xy10，即為所求直線方程反思與感悟待定系數(shù)法，就是所研究的式子(方程)的結(jié)構(gòu)是確定的，但它的全部或部分系數(shù)是待定的，然后根據(jù)題中條件來(lái)確定這些系數(shù)的方法直線的方程常用待定系數(shù)法求解選擇合適的直線方程的形式是很重要的，一般情況下，與截距有關(guān)的，可設(shè)直線的斜截式方程或截距式方程；與斜率有關(guān)的，可設(shè)直線的斜截式或點(diǎn)斜式方程等跟蹤訓(xùn)練1求在兩坐標(biāo)軸上截距相等，且到點(diǎn)A(3,1)的距離為的直線的方程解當(dāng)直

4、線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為ykx，即kxy0.由題意知，解得k1或k.所以所求直線的方程為xy0或x7y0.當(dāng)直線不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)所求直線的方程為1，即xya0.由題意知，解得a2或a6.所以所求直線的方程為xy20或xy60.綜上可知，所求直線的方程為xy0或x7y0或xy20或xy60.類(lèi)型二數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用例2求函數(shù)y|的最大值與最小值，并求取最大值或最小值時(shí)x的值解將已知條件變形為y|.故設(shè)M(x,0)，A(1,2)，B(2,1)，原函數(shù)變?yōu)閥|MA|MB|.則上式的幾何意義為：x軸上的點(diǎn)M(x,0)到定點(diǎn)A(1,2)與B(2,1)的距離的差的絕對(duì)值，由圖可知，當(dāng)|AM|BM|時(shí)，y

5、取最小值0.即，解得x0，此時(shí)點(diǎn)M在坐標(biāo)原點(diǎn)， y最小0.又由三角形性質(zhì)可知|MA|MB|AB|，即當(dāng)|MA|MB|AB|，也即當(dāng)A、B、M三點(diǎn)共線時(shí)，y取最大值由已知得AB的方程為y2(x1)，即yx3，令y0得x3，當(dāng)x3時(shí)，y最大|AB|.反思與感悟數(shù)形結(jié)合是解析幾何的靈魂，兩點(diǎn)間的距離公式和點(diǎn)到直線的距離公式是數(shù)形結(jié)合常見(jiàn)的結(jié)合點(diǎn)，常用這兩個(gè)公式把抽象的代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題來(lái)解決，也能把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題來(lái)解決，這就是數(shù)形結(jié)合跟蹤訓(xùn)練2已知實(shí)數(shù)x、y滿(mǎn)足4x3y100，求x2y2的最小值解設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則點(diǎn)P在直線l：4x3y100上，x2y2()2()2|OP|2，如圖所示

6、，當(dāng)OPl時(shí)，|OP|取最小值|OM|，原點(diǎn)O到直線l的距離|OM|d2，即|OP|的最小值是2.所以x2y2的最小值是4.類(lèi)型三分類(lèi)討論思想的應(yīng)用例3過(guò)點(diǎn)P(1,0)、Q(0,2)分別作兩條互相平行的直線，使它們?cè)趚軸上截距之差的絕對(duì)值為1，求這兩條直線的方程解當(dāng)兩條直線的斜率不存在時(shí)，兩條直線的方程分別為x1，x0，它們?cè)趚軸上截距之差的絕對(duì)值為1，符合題意當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其斜率為k，則兩條直線的方程分別為yk(x1)，y2kx.令y0，得x1與x.由題意得|1|1，即k1.兩條直線的方程分別為yx1，yx2，即為xy10，xy20.綜上可知，所求的兩直線方程分別為x1，x0或xy1

7、0，xy20.反思與感悟本章涉及直線方程的形式時(shí)，常遇到斜率的存在性問(wèn)題的討論，如兩直線平行(或垂直)時(shí)，斜率是否存在；已知直線過(guò)定點(diǎn)時(shí)，選擇點(diǎn)斜式方程，要考慮斜率是否存在跟蹤訓(xùn)練3已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,0)和點(diǎn)B(1,3a)的直線l1與經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(0，1)和點(diǎn)Q(a，2a)的直線l2互相垂直，求實(shí)數(shù)a的值解l1的斜率k1a，當(dāng)a0時(shí)，l2的斜率k2.l1l2，k1k21，即a1，得a1.當(dāng)a0時(shí)，P(0，1)，Q(0,0)，這時(shí)直線l2為y軸，A(2,0)、B(1,0)，這時(shí)直線l1為x軸，顯然l1l2.綜上可知，實(shí)數(shù)a的值為1或0.類(lèi)型四對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的求法例4已知直線l：y3x3，試求：(1)點(diǎn)P(

8、4,5)關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)直線l關(guān)于點(diǎn)A(3,2)對(duì)稱(chēng)的直線方程解(1)設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P(x，y)，則PP的中點(diǎn)M在直線l上，且直線PP垂直于直線l.即解得P點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,7)(2)設(shè)直線l關(guān)于點(diǎn)A(3,2)對(duì)稱(chēng)的直線為l3，則直線l上任一點(diǎn)P(x1，y1)關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P3(x3，y3)一定在直線l3上，反之也成立解得代入l的方程后，得3x3y3170.即l3的方程為3xy170.反思與感悟(1)中心對(duì)稱(chēng)兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)：設(shè)P1(x1，y1)，P(a，b)，則P1(x1，y1)關(guān)于P(a，b)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為P2(2ax1,2by1)，即P為線段P1P2的中點(diǎn)兩直線關(guān)于

9、點(diǎn)對(duì)稱(chēng)：設(shè)直線l1，l2關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱(chēng)，這時(shí)其中一條直線上任一點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)在另外一條直線上，必有l(wèi)1l2，且P到l1、l2的距離相等(2)軸對(duì)稱(chēng)兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)：設(shè)P1，P2關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)，則直線P1P2與l垂直，且P1P2的中點(diǎn)在l上跟蹤訓(xùn)練4在直線l：3xy10上求一點(diǎn)P，使得：(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距離之差最大；(2)P到A(4,1)和C(3,4)的距離之和最小解(1)如圖，B關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B(3,3)直線AB的方程為2xy90，由解得即P(2,5)(2)如圖，C關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C(，)，由圖象可知：|PA|PC|AC|.當(dāng)P是AC與l的交點(diǎn)P(，)時(shí)“”成立，P(，)

10、.1直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，且點(diǎn)M(1，1)到直線l的距離為，則直線l的方程為_(kāi)答案xy0或xy20或xy20解析當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為ykx，由題意知.解得k1，直線方程為xy0，當(dāng)在坐標(biāo)軸上的截距不為零時(shí)，設(shè)直線方程為1，即xya0，由題意知，得a2，直線方程為xy20或xy20.綜上所述得l的方程為xy0或xy20或xy20.2已知直線l經(jīng)過(guò)2xy50與x2y0的交點(diǎn)，則點(diǎn)A(5,0)到l的距離的最大值為_(kāi)答案解析解方程組得直線l過(guò)點(diǎn)(2,1)由題意得，當(dāng)l與點(diǎn)A和交點(diǎn)連線垂直時(shí)，點(diǎn)A到l的距離為最大，最大值為.3已知A(2,4)與B(3,3)關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)，則直線l的方程為_(kāi)答案xy10解析由題意知，直線l即為AB的垂直平分線，klkAB1，得kl1，AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(，)，直線l的方程為yx，即xy10.4設(shè)直線l的方程為(a1)xy2a0 (aR)(1)若l在兩坐標(biāo)軸上截距相等，求l的方程；(2)若l不經(jīng)過(guò)第二象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，該直線在x軸和y軸上的截距為零，a2，方程即為3xy0.當(dāng)直線不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，截距存在且均不為0.a2，即a11.a0，方程即為xy20.綜上，l的方程為3xy0或xy20.(2)將l的方程化為y(a1)xa2，或a1.綜上可知a的取值范圍是a1.1一般地，與直線AxByC0平行的直線方程可設(shè)為AxB