排列組合-計數(shù)原理 2012高考一輪數(shù)學(xué)精品.ppt

1、學(xué)案2 排列與組合,按照一定的順序排成一列,全排列,所有不同排列的個數(shù),合成一組,所有不同組,合的個數(shù),返回目錄,考點(diǎn)分析,返回目錄,n(n-1)(n-2)(n-m+1),(1)解方程: (2)計算：,返回目錄,考點(diǎn)一 有關(guān)排列、組合的計算,【分析】利用排列數(shù)和組合數(shù)公式進(jìn)行解答.,題型分析,【解析】（1）由 得 3x(x-1)(x-2)=2(x+1)x+6x(x-1), 整理得3x2-17x+10=0. 解得x=5或 (舍去). 即原方程的解為x=5.,返回目錄,38-n0 3n38-n n+213n 38-n,3n,21+nN*. 解得 n 且nN*, n=10. ,返回目錄,（2）依題意

2、得,【評析】（1） 和 中，m,n須滿足nm0且m,nN*. （2）在計算組合數(shù)、排列數(shù)時多用公式的多項式或分式形式，在有關(guān)化簡或證明題中多用階乘式.,返回目錄,證明下列恒等式： （1） （2）,返回目錄,對應(yīng)演練,證明:（1）證法一：左端= 證法二： 表示從n+1個元素中取m個元素的排列個數(shù)，其中不含某元素a1的有 個，含有a1的可這樣進(jìn)行排列：先排a1,有m種排法，再從另外n個元素中取出m-1個元素排在剩下的m-1個位置上，有 種排法，故含a1的有 種排法.由加法原理知：,返回目錄,（2）由組合數(shù)性質(zhì)知： 左邊=右邊.,返回目錄,有3名男生，4名女生，按下述要求，分別求出其不同排列的種數(shù).

3、 （1）選其中5人排成一行； （2）全體排成一行，其中甲只能在中間或者兩頭的位置； （3）全體排成一行，其中甲、乙必須在兩頭； （4）全體排成一行，其中甲不在首，乙不在尾； （5）全體排成一行，其中男、女生各站在一起； （6）全體排成一行，其中男生、女生都各不相鄰； （7）全體排成一行，其中男生不能排在一起； （8）全體排成一行，其中甲、乙、丙按自左至右的順序保 持不變； （9）全體排成一行，甲、乙兩人間恰有3人； （10）全體排成前后兩排，前排3人，后排4人.,返回目錄,考點(diǎn)二 排列問題,【分析】本題包括了有限制條件的排列問題的幾種基本類型，注意在處理這類問題時一般應(yīng)遵循：“先特殊，后一般”

4、的原則，即先考慮特殊的元素或特殊的位置，再考慮一般的元素和位置，對于“必相鄰”元素，常采用“捆綁法”的技巧，對于“不相鄰”元素常采用“插空法”的技巧，此外“正難則反”是處理排列問題的一個重要策略，還是檢查結(jié)果是否正確的重要手段.,返回目錄,【解析】（1）由排列的定義可知不同排列的種數(shù)為 =2 520. （2）首先在中間或兩頭之一排甲，共有 種方法；其次在所剩的6個位置上對其余6人進(jìn)行全排列，共有 種方法，依分步乘法計數(shù)原理，所有不同的排列數(shù)為 =2 160. （3）仿（2）先排甲、乙共 種排法，其余5人尚有 種排法，故共有 =240種不同排法. （4）當(dāng)乙排在首位時，共有 種排法;當(dāng)乙不在首位

5、時，先排乙有 種方法，再排甲也有 種方法，最后其余各元素有 種方法，故共有 種不同排法. 所有不同的排列種數(shù)為 =3 720.,返回目錄,（5）將男生、女生分別各看成一個元素，其排法有 種，又男生的排列有 種，女生的排列有 種，由分步乘法計數(shù)原理，所有不同的排列數(shù)為 =288. （6）先排男生有 種排法，此三人中間及兩端恰有4空供女生排列，有 種排法，從而共有 =144不同的排列. （7）從7人的全排列中除去男生皆相鄰的情況即可，故所求不同排列數(shù)為 - =4 320. （8）只須在7個位置中選4個位置將女生進(jìn)行排列，再將3名男生按順序插入，共有 =840種不同排法.,返回目錄,（9）先選3人排

6、在甲、乙之間，有 種排法，又因甲、乙排列有 種，再將此5人看作一個元素與其余2人進(jìn)行全排列有 種，故共有 =720種不同排法. （10）前后二排形式變化，順序之實(shí)猶存，其排法仍有 種.,返回目錄,【評析】本題主要考查解排列、組合的一些基本方法.,給定數(shù)字0,1,2,3,5,9，每個數(shù)字最多用一次. （1）可以組成多少個四位數(shù)？ （2）可以組成多少個四位奇數(shù)？ （3）可以組成多少個四位偶數(shù)？,（1）解法一：從“位置”考慮，由于0不能放在首位，因此首位數(shù)字只能有 種取法，其余3個數(shù)位可以從余下的5個數(shù)字中任取3個排列，所以可以組成 =300（個）四位數(shù). 解法二：從“元素”考慮，組成的四位數(shù)可以按

7、有無數(shù)字0分成兩類，有數(shù)字0的有 個，無數(shù)字0的有 個，所以共組成 + =300（個）四位數(shù).,返回目錄,對應(yīng)演練,解法三：間接法，從6個元素中取出4個元素的所有排列中，減去0在首位上的排列數(shù)即為所求.所以共有 - =300（個）四位數(shù). （2）從“位置”考慮，個位數(shù)字必須是奇數(shù)有 種排法，首位數(shù)字不能是0，則在余下的4個非0數(shù)字中取1個有 種取法，其余兩個數(shù)位的排法是 ，所以共有 =192（個）四位奇數(shù). （3）解法一：間接法，由（1），（2）知共有300-192=108（個）四位偶數(shù). 解法二：從“位置”考慮，按個位數(shù)字是否為0分成兩種情況，0在個位時有 個四位偶數(shù)，2在個位時，有 個四位

8、偶數(shù)，共有 + =108（個）四位偶數(shù).,返回目錄,7名男生和5名女生中選取5人,分別求符合下列條件的選法總數(shù)有多少種? (1)A,B必須當(dāng)選; (2)A,B必不當(dāng)選; (3)A,B不全當(dāng)選; (4)至少有2名女生當(dāng)選; (5)選取3名男生和2名女生分別擔(dān)任班長、體育委員等5種不同的工作，但體育委員必須由男生擔(dān)任，班長必須由女生擔(dān)任.,【分析】 (1)(2)(3)屬于組合問題,可用直接法,(4)屬于組合問題,可用間接法,(5)屬于先選后排問題,應(yīng)分步完成.,返回目錄,考點(diǎn)三 組合問題,【解析】 (1)由于A,B必須當(dāng)選,那么從剩下的10人中選取3人即可, =120種. (2)從除去A,B兩人的

9、10人中選5人即可, 有 =252種. (3)全部選法有 種,A,B全當(dāng)選有 種, 故A,B不全當(dāng)選有 - =672種. (4)注意到“至少有2名女生”的反面是只有一名女生或沒有女生，故可用間接法進(jìn)行. 有 - - =596種選法.,返回目錄,(5)分三步進(jìn)行: 第一步:選1男1女分別擔(dān)任兩個職務(wù)為 ; 第二步:選2男1女補(bǔ)足5人有 種; 第三步:為這3人安排工作有 . 由分步乘法計數(shù)原理共有 =12 600種選法.,返回目錄,【評析】在解組合問題時,常遇到至多、至少問題，此時可考慮用間接法求解以減少運(yùn)算量.如果同一個問題涉及排列組合問題應(yīng)注意先選后排的原則.,返回目錄,設(shè)集合A=1,2,3,

10、10. (1)設(shè)A的3個元素的子集的個數(shù)為n,求n的值; (2)設(shè)A的3個元素的子集中,3個元素的和分別為a1,a2,an,求a1+a2+a3+an的值.,(1)A的3元素子集的個數(shù)為n= =120. (2)在A的3元素子集中,含數(shù)k(1k10)的集合個數(shù)有 個. 因此a1+a2+an= (1+2+3+10)=1 980.,返回目錄,對應(yīng)演練,從6名短跑運(yùn)動員中選出4個人參加4100m的接力賽，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，共有多少種參賽方案？,【分析】 此題是有限制條件的排列、組合問題，可從以下三點(diǎn)進(jìn)行考慮： （1）先考慮特殊元素或先考慮特殊位置； （2）直接解法和間接解法； （3

11、）注意重復(fù)與遺漏.,返回目錄,考點(diǎn)四 排列組合的綜合應(yīng)用,【解析】解法一（直接法）：把問題分為三類，甲、乙兩人均不參賽，參賽方案種數(shù)為 ；甲、乙兩人有且只有一人參賽，參賽方案種數(shù)為 （4！-3?。?；甲、乙兩人均參賽，參賽方案種數(shù)為 （4！-23!+2!）.因此，所求的參賽方案種數(shù)為 + （4！-3?。?（4！-23！+2?。?252. 解法二（間接法）：6人中取4人參賽的種數(shù)為 ；去除甲、乙兩人至少有1人排在不恰當(dāng)?shù)奈恢梅N數(shù)為 ；因為前面把甲、乙兩人都排在不恰當(dāng)?shù)奈恢梅N數(shù)減去了兩次，因此應(yīng)加上甲、乙兩人都排在不恰當(dāng)位置的種數(shù)為 .因此，所求的參賽種數(shù)為 - + = 252.,返回目錄,【評析】

12、對于較復(fù)雜的排列、組合綜合題，往往還要根據(jù)受限元素或受限位置進(jìn)行分類或分步處理，但必須層次清楚，不重不漏，也可以先不考慮受限條件，然后扣除不符合條件的種數(shù).,返回目錄,帶有編號1,2,3,4,5的五個球. （1）全部投入4個不同的盒子里； （2）放進(jìn)不同的4個盒子里，每盒一個； （3）將其中的4個球投入4個盒子里的一個； （4）全部投入4個不同的盒子里，沒有空盒. 各有多少種不同的放法？,返回目錄,對應(yīng)演練,（1）由分步乘法計數(shù)原理，五個球全部投入4個不同的盒子里共有45種放法. （2）由排列數(shù)公式，五個不同的球放進(jìn)不同的4個盒子里（每盒一個）共有 種放法. （3）將其中的4個球投入一個盒子里共有 =20種放法. （4）全部投入4個不同的盒子里（沒有空盒）共有 種不同的放法.,返回目錄,1.對有限制條件的排列問題，要掌握基本的解題思想方法： (1)有特殊元素或特殊位置的排列，通常是先排特殊元素或特殊位置. (2)元素必須相鄰的排列，可以先將相鄰的元素看作是一個整體. (3)元素不相鄰的排列，可以制造空檔插進(jìn)去. (4