[經(jīng)濟(jì)學(xué)]28-函數(shù)的連續(xù)性.ppt

1、課堂文明的基本要求,1. 文明著裝, 不穿拖鞋; 2. 不遲到(至少提前 5 分鐘到教室), 不曠課, 不早退, 不帶食品到教室; 3. 上課前關(guān)閉手機(jī), 取下耳機(jī); 4. 遵守課堂紀(jì)律, 上課時(shí)不睡覺(jué), 不做小動(dòng)作 ( 不吃東西、玩游戲、 隨意走動(dòng)、接電話、玩手機(jī)等 ). 你的文明舉止為課堂增彩，謝謝你！,暨南大學(xué)電氣信息學(xué)院蘇保河主講,建 議,(1) 高數(shù)難,須下功夫1 : 3;,(4) 及時(shí)做作業(yè),盡量獨(dú)立完成;,(2) 感覺(jué)講課快者請(qǐng)課前預(yù)習(xí);,(3) 記憶應(yīng)該記憶的內(nèi)容；,(5) 不懂的理論和習(xí)題,要及時(shí)問(wèn)同學(xué)或老師。,暨南大學(xué)電氣信息學(xué)院蘇保河主講,復(fù)習(xí),1. 極限存在的 2 個(gè)準(zhǔn)

2、則,如果 (1),(2),則,定理 1 (數(shù)列極限存在的夾逼準(zhǔn)則),定理 2 (函數(shù)極限存在的夾逼準(zhǔn)則),暨南大學(xué)電氣信息學(xué)院蘇保河主講,復(fù)習(xí),定理 3 單調(diào)有界數(shù)列必有極限.,單調(diào)增有上界的數(shù)列必有極限.,單調(diào)減有下界的數(shù)列必有極限.,暨南大學(xué)電氣信息學(xué)院蘇保河主講,2. 兩個(gè)重要極限,復(fù)習(xí),暨南大學(xué)電氣信息學(xué)院蘇保河主講,3. 無(wú)窮小的比較,設(shè) , 為同一變化過(guò)程的無(wú)窮小, 且, 是 的低階無(wú)窮小, 是 的同階無(wú)窮小, 是 的等價(jià)無(wú)窮小,復(fù)習(xí), 是 的高階無(wú)窮小,暨南大學(xué)電氣信息學(xué)院蘇保河主講,4. 等價(jià)無(wú)窮小替換定理,定理. 設(shè),且,存在 ,注:,x 可理解為“口”.,則,常用等價(jià)無(wú)窮小

3、 :,復(fù)習(xí),暨南大學(xué)電氣信息學(xué)院蘇保河主講,二、函數(shù)的間斷點(diǎn),一、函數(shù)連續(xù)性的定義,2.8 函數(shù)的連續(xù)性,第二章 極限與連續(xù),暨南大學(xué)電氣信息學(xué)院蘇保河主講,三、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則,四、初等函數(shù)的連續(xù)性,主要內(nèi)容,五、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),0、增量(改變量),定義 0,設(shè)有函數(shù),差 u2 - u1 稱(chēng)為 u 的增量,設(shè)變量 u 由初值 u1 變到終值 u2,例 0,終值,函數(shù) y 的增量為,記為,終值與初值之,如果自變量 x 由初值 x0 變到,暨南大學(xué)電氣信息學(xué)院蘇保河主講,一、函數(shù)連續(xù)性的定義,定義 1,在,的某鄰域內(nèi)有定義,則稱(chēng)函數(shù),(1),(2) 極限,(3),設(shè)函數(shù),存在 ;,且,

4、暨南大學(xué)電氣信息學(xué)院蘇保河主講,例1.,證.,暨南大學(xué)電氣信息學(xué)院蘇保河主講,在點(diǎn),對(duì)自變量的增量,有函數(shù)的增量,左連續(xù),右連續(xù),由此可知函數(shù),連續(xù)有下列等價(jià)命題:,暨南大學(xué)電氣信息學(xué)院蘇保河主講,例 2. 研究下列函數(shù)在 x = 1 的連續(xù)性:,解.,因?yàn)?所以該函數(shù)在 x = 1 連續(xù).,暨南大學(xué)電氣信息學(xué)院蘇保河主講,定義 2,則稱(chēng)它在該區(qū)間上連續(xù) ,或稱(chēng)它為該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù) .,例 3.,證.,暨南大學(xué)電氣信息學(xué)院蘇保河主講,例 4. 證明,在,內(nèi)連續(xù).,( 有理整函數(shù) ),證 : (自證),暨南大學(xué)電氣信息學(xué)院蘇保河主講,例 5. 證明有理分式函數(shù),在其定義區(qū)間 I 內(nèi)連續(xù).,證

5、: (自證),所以 R ( x ) 在其定義區(qū)間 I 內(nèi)連續(xù).,暨南大學(xué)電氣信息學(xué)院蘇保河主講,左連續(xù),右連續(xù),注,f (x) 在左端點(diǎn) a 連續(xù)是指在 a 右連續(xù);,f (x) 在右端點(diǎn) b 連續(xù)是指在 b 左連續(xù).,如果區(qū)間包括端點(diǎn),例如 a, b,定義 2,則稱(chēng)它在該區(qū)間上連續(xù) ,或稱(chēng)它為該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù) .,暨南大學(xué)電氣信息學(xué)院蘇保河主講,二、函數(shù)的間斷點(diǎn),不存在,存在,則在下列情,形下,暨南大學(xué)電氣信息學(xué)院蘇保河主講,間斷點(diǎn)分類(lèi),第一類(lèi)間斷點(diǎn):,若,若,第二類(lèi)間斷點(diǎn):,若其中有一個(gè)為振蕩 ,若其中有一個(gè)為,暨南大學(xué)電氣信息學(xué)院蘇保河主講,為其第二類(lèi)間斷點(diǎn) ,x = 0 為其第二類(lèi)間

6、斷點(diǎn) ,為其第一類(lèi)間斷點(diǎn) ,例如:,也是可去間斷點(diǎn).,也是振蕩間斷點(diǎn).,也是無(wú)窮間斷點(diǎn).,暨南大學(xué)電氣信息學(xué)院蘇保河主講,為其第一類(lèi)間斷點(diǎn),(4),(5),為其第一類(lèi)間斷點(diǎn),也是可去間斷點(diǎn).,也是跳躍間斷點(diǎn).,暨南大學(xué)電氣信息學(xué)院蘇保河主講,例6. 討論函數(shù),所以 x = 2 是 f (x) 第二類(lèi)間斷點(diǎn), 也是無(wú)窮間斷點(diǎn) .,間斷點(diǎn)的類(lèi)型.,解:,(2) 當(dāng) x = 2 時(shí). (自算),所以 x = 1 是 f (x) 的第一類(lèi)間斷點(diǎn),也是可去間斷點(diǎn).,(1) 當(dāng) x = 1 時(shí).,得間斷點(diǎn),暨南大學(xué)電氣信息學(xué)院蘇保河主講,時(shí),提示:,為,連續(xù)函數(shù).,例7. 填空:,暨南大學(xué)電氣信息學(xué)院蘇保

7、河主講,在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù),三、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則,定理 1,( 利用極限的四則運(yùn)算法則和連續(xù)的定義可以證明),商(分母不為 0) 運(yùn)算,結(jié)果仍是一個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù).,例如,在某點(diǎn)連續(xù)的有限個(gè)函數(shù)經(jīng)有限次和, 差, 積,暨南大學(xué)電氣信息學(xué)院蘇保河主講,注: 可以證明:,例如,在,上連續(xù)單調(diào)遞增，,其反函數(shù),定理 2,(遞減).,(證明不要求),遞增,(遞減),也連續(xù)單調(diào),連續(xù)單調(diào)遞增 函數(shù)的反函數(shù),基本初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù).,定理 3,注:,條件：,連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是連續(xù)的.,(證明不要求),暨南大學(xué)電氣信息學(xué)院蘇保河主講,上也連續(xù)單調(diào)遞增.,例如,是由連續(xù)函數(shù),因此,分別在,內(nèi)連續(xù)

8、 .,復(fù)合而成 ,暨南大學(xué)電氣信息學(xué)院蘇保河主講,四、初等函數(shù)的連續(xù)性,基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù),連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算仍連續(xù),連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù),一切初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù),由常數(shù)和基本初等函數(shù),定義區(qū)間:,包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.,例如, 對(duì)于函數(shù),是定義區(qū)間;,是定義區(qū)間;,不是定義區(qū)間;,不是定義區(qū)間.,初等函數(shù):,經(jīng)過(guò)有限次四則,運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成,并可用一個(gè)式子表示的函數(shù).,暨南大學(xué)電氣信息學(xué)院蘇保河主講,例 8. 填空.,的連續(xù)區(qū)間為,的連續(xù)區(qū)間為,一切初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù).,(1),(2),暨南大學(xué)電氣信息學(xué)院蘇保河主講,例 9.,一切初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù).,解,

9、注 連續(xù)函數(shù)求極限用代入法.,暨南大學(xué)電氣信息學(xué)院蘇保河主講,例10. 求,解:,原式,例11. 求,解:,則,原式,條件：,注:,暨南大學(xué)電氣信息學(xué)院蘇保河主講,例 12. 討論函數(shù),的連續(xù)性.,解: 間斷點(diǎn),為函數(shù) f (x) 的,故,為 f (x) 的第一類(lèi)間斷點(diǎn),(2) 當(dāng) x = 0 時(shí).,(3) 當(dāng) x = 1 時(shí).,第二類(lèi)間斷點(diǎn),也是跳躍間斷點(diǎn).,連續(xù).,(1) 由初等函數(shù)的連續(xù)性可知,分別在區(qū)間,也是無(wú)窮間斷點(diǎn);,暨南大學(xué)電氣信息學(xué)院蘇保河主講,五、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),定理 4,即: 設(shè),則,使,最大值和最小值.,在該區(qū)間上一定有,(證明略),在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù),推論:

10、在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界.,暨南大學(xué)電氣信息學(xué)院蘇保河主講,定理 5 ( 零點(diǎn)定理 ),則至少存在一點(diǎn),且,使,( 證明略 ),暨南大學(xué)電氣信息學(xué)院蘇保河主講,定理 6 ( 介值定理 ),證:,則,且,由零點(diǎn)定理知, 至少有一點(diǎn),作輔助函數(shù),則,不妨設(shè),暨南大學(xué)電氣信息學(xué)院蘇保河主講,例13. 證明方程,至少有一個(gè)根 .,證:,由零點(diǎn)定理, 至少存在一點(diǎn),在區(qū)間,故原方程在 (0, 1) 內(nèi)至少有一個(gè)根.,暨南大學(xué)電氣信息學(xué)院蘇保河主講,作 業(yè),P90 習(xí)題二 (A) 29(1); 30(2,4,6); 33; 34(1); 35; 37(1,2,3); 38; 39; 41. (B

11、) 25; 27; 29.,下次課內(nèi)容,2.9 第二章小結(jié)與習(xí)題課,自看: P89 例9,暨南大學(xué)電氣信息學(xué)院蘇保河主講,左右極限至少 有一個(gè)不存在,內(nèi)容小結(jié),左連續(xù),右連續(xù),第一類(lèi)間斷點(diǎn):,可去間斷點(diǎn),跳躍間斷點(diǎn),左右極限都存在,第二類(lèi)間斷點(diǎn):,無(wú)窮間斷點(diǎn),振蕩間斷點(diǎn),在點(diǎn),間斷的類(lèi)型,暨南大學(xué)電氣信息學(xué)院蘇保河主講,若函數(shù),3.,在某區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù),則稱(chēng)它在該區(qū)間上連續(xù),或稱(chēng)它為該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù) .,注. 如果區(qū)間包括端點(diǎn), 例如 a, b,f (x) 在右端點(diǎn) b 連續(xù)是指在 b 左連續(xù).,f (x) 在左端點(diǎn) a 連續(xù)是指在 a 右連續(xù);,內(nèi)容小結(jié),暨南大學(xué)電氣信息學(xué)院蘇保河主講,4. 初等函數(shù)的連續(xù)性,初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù).,注:,條件：,內(nèi)容小結(jié),暨南大學(xué)電氣信息學(xué)院蘇保河主講,5. 閉區(qū)間 a, b 上連續(xù)函數(shù) f