第三節(jié) 導數(shù)的基本公式與運算法則.ppt

1、9/3/2020 2:57 PM,微積分講義,設(shè)計制作,王新心,9/3/2020 2:57 PM,3.3 導數(shù)的基本公式和運算法則,（七）導數(shù)公式,（一）函數(shù)的和、差、積、商的求導法則,（二）復合函數(shù)的求導法則,（三）反函數(shù)的求導法則,（四）隱函數(shù)的求導法則,（五）對數(shù)求導法則,（六）由參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導法則,（八）綜合雜例,9/3/2020 2:57 PM,第三章 導數(shù)與微分,（一）函數(shù)的和、差、積、商的求導法則,1、常數(shù)的導數(shù),9/3/2020 2:57 PM,第三章 導數(shù)與微分,2、冪函數(shù)的導數(shù),由二項式定理知,以后可以證明，,為任何實數(shù)公式也成立。,9/3/2020 2:57 P

2、M,3、代數(shù)和的導數(shù),第三章 導數(shù)與微分,設(shè)可導，,則,也可導，,且,證明,證畢.,9/3/2020 2:57 PM,此公式可以推廣到有限個函數(shù)的情形,第三章 導數(shù)與微分,例1求函數(shù)的導數(shù),解,9/3/2020 2:57 PM,4、乘積的導數(shù),第三章 導數(shù)與微分,設(shè)可導，,則,也可導，,且,證明,9/3/2020 2:57 PM,第三章 導數(shù)與微分,證畢.,可導一定連續(xù),9/3/2020 2:57 PM,第三章 導數(shù)與微分,乘積公式可以推廣到有限個函數(shù)的情形,特別地,（為常數(shù)）,例2求的導數(shù),解,9/3/2020 2:57 PM,5、商的導數(shù),第三章 導數(shù)與微分,設(shè)可導，,且,證明,且,9/3

3、/2020 2:57 PM,第三章 導數(shù)與微分,證畢.,9/3/2020 2:57 PM,第三章 導數(shù)與微分,特別地,（為常數(shù)）,例3求的導數(shù),解,9/3/2020 2:57 PM,第三章 導數(shù)與微分,例4求的導數(shù),解,9/3/2020 2:57 PM,6、對數(shù)函數(shù)的導數(shù),第三章 導數(shù)與微分,設(shè),9/3/2020 2:57 PM,7、三角函數(shù)的導數(shù),第三章 導數(shù)與微分,（1）設(shè),連續(xù),同理可得,（2）設(shè),9/3/2020 2:57 PM,第三章 導數(shù)與微分,（3）設(shè),同理可得,（4）設(shè),9/3/2020 2:57 PM,第三章 導數(shù)與微分,（5）設(shè),（6）設(shè),9/3/2020 2:57 PM,

4、第三章 導數(shù)與微分,例5求的導數(shù),解,9/3/2020 2:57 PM,第三章 導數(shù)與微分,設(shè),是的一個復合函數(shù),若在處有導數(shù),則,在對應(yīng)點處有導數(shù),復合函數(shù)在點處的導數(shù)也存在，,且,或?qū)懗?（二）復合函數(shù)的求導法則,9/3/2020 2:57 PM,第三章 導數(shù)與微分,則,所以,故,證明因為在點處可導，,（當時，）,所以,證畢.,可導一定連續(xù),9/3/2020 2:57 PM,第三章 導數(shù)與微分,此法則可推廣到多個中間變量的情形,若,鏈式法則,關(guān)鍵弄清復合函數(shù)結(jié)構(gòu)，,由外向內(nèi)逐層求導,9/3/2020 2:57 PM,第三章 導數(shù)與微分,例6求的導數(shù),解設(shè),例7求的導數(shù),解,9/3/2020

5、 2:57 PM,第三章 導數(shù)與微分,例8求的導數(shù),解,例9求的導數(shù),解,9/3/2020 2:57 PM,第三章 導數(shù)與微分,例10求的導數(shù),解,9/3/2020 2:57 PM,第三章 導數(shù)與微分,例11求的導數(shù),解,9/3/2020 2:57 PM,第三章 導數(shù)與微分,解,例12設(shè)存在，,導數(shù),求的,9/3/2020 2:57 PM,第三章 導數(shù)與微分,證,證畢.,9/3/2020 2:57 PM,第三章 導數(shù)與微分,設(shè)在點處可導，,且,則,又設(shè)反函數(shù)在相應(yīng)點處連續(xù)，,存在，,且,或,（三）反函數(shù)的求導法則,9/3/2020 2:57 PM,第三章 導數(shù)與微分,證設(shè)反函數(shù)的自變量取得改,

6、變量時，,因變量取得相應(yīng)的改變量，,當,時，,必有，,否則由,得,因為函數(shù)的變量,是一一對應(yīng)的，,所以,這與,的假設(shè)相矛盾。,9/3/2020 2:57 PM,第三章 導數(shù)與微分,因此，,有,當時，,再由假設(shè)得,當時，,又由的連續(xù)性知，,證畢.,9/3/2020 2:57 PM,第三章 導數(shù)與微分,反三角函數(shù)的導數(shù),（1）,由于的反函數(shù)是,9/3/2020 2:57 PM,第三章 導數(shù)與微分,（2）,同理可得,（3）,（4）,9/3/2020 2:57 PM,第三章 導數(shù)與微分,解,例14求的導數(shù),例15求的導數(shù),解,9/3/2020 2:57 PM,第三章 導數(shù)與微分,（四）隱函數(shù)的求導法則

7、,且可導，,設(shè)方程 確定了是的函數(shù)，,并,再利用復合函數(shù)的,兩邊同時對求導，,求導公式可求隱函數(shù)對的導數(shù)。,9/3/2020 2:57 PM,第三章 導數(shù)與微分,例16方程確定是的函數(shù)，,求,解方程兩邊同時對求導,解得,是的函數(shù),9/3/2020 2:57 PM,第三章 導數(shù)與微分,例17方程確定是的函數(shù)，,求,解方程兩邊同時對求導,解得,9/3/2020 2:57 PM,第三章 導數(shù)與微分,求其曲線上點處的切線和法線方程,例18方程確定是的函,數(shù)，,解方程兩邊對求導,得,切線方程,法線方程,9/3/2020 2:57 PM,第三章 導數(shù)與微分,指數(shù)函數(shù)的導數(shù),設(shè),兩邊取對數(shù)，,寫成隱函數(shù)的形

8、式,兩邊對求導,解得,9/3/2020 2:57 PM,第三章 導數(shù)與微分,例19求函數(shù)的導數(shù),解,例20求函數(shù)的導數(shù),解,例21方程確定是的函數(shù)，,求,解方程兩邊對求導,解得,9/3/2020 2:57 PM,第三章 導數(shù)與微分,（五）對數(shù)求導法則,例22求函數(shù)的導數(shù),兩邊取對數(shù)，,寫成隱函數(shù)的形式,兩邊對求導,解得,解此函數(shù)既不是冪函數(shù)也不是指數(shù)函數(shù),稱其為冪指函數(shù)。,不能用冪函數(shù)或指數(shù)函數(shù)的,求導公式，,9/3/2020 2:57 PM,第三章 導數(shù)與微分,例23求函數(shù)的導數(shù),兩邊對求導,解此函數(shù)若直接求導會很復雜。,兩邊取對數(shù)（設(shè)）,9/3/2020 2:57 PM,第三章 導數(shù)與微分

9、,解得,當時，,當時，,用同樣的方法求導可得與上面相同的結(jié)果。,9/3/2020 2:57 PM,第三章 導數(shù)與微分,（六）由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導法則,若參數(shù)方程確定是的函數(shù)，,則稱此函數(shù)關(guān)系為由參數(shù)方程所確定的函數(shù)。,設(shè)有連續(xù)反函數(shù),又,存在，,且,則有,9/3/2020 2:57 PM,第三章 導數(shù)與微分,例24已知,求,解,例25已知,求,解,9/3/2020 2:57 PM,第三章 導數(shù)與微分,（七）導數(shù)公式,基本初等函數(shù)的導數(shù)公式,9/3/2020 2:57 PM,第三章 導數(shù)與微分,說明在公式中,均為常實數(shù)。,9/3/2020 2:57 PM,第三章 導數(shù)與微分,說明在公式中

10、,為常實數(shù)，,運算法則,均為函數(shù)。,9/3/2020 2:57 PM,第三章 導數(shù)與微分,（八）綜合雜例,例26設(shè),求,解,9/3/2020 2:57 PM,第三章 導數(shù)與微分,例27設(shè),求,解,函數(shù)，,求,解,整理得,9/3/2020 2:57 PM,第三章 導數(shù)與微分,例29設(shè),求,解,當時，,當時，,當時，,當時，,9/3/2020 2:57 PM,第三章 導數(shù)與微分,由上節(jié)例10知,不存在，,不存在，,故有,9/3/2020 2:57 PM,第三章 導數(shù)與微分,例30已知可導，,求,解,其中為常數(shù),9/3/2020 2:57 PM,第三章 導數(shù)與微分,例31已知,若,求證,證,證畢.,9/3/2020 2:57 PM,第三章 導數(shù)與微分,求當球半徑時，,例32設(shè)球半徑以的速度等速,增加，,其體積增加,的速度。,解,兩邊對時間求導,當時,（此題為相關(guān)變化率問題）,9/3/2020 2:57 PM,內(nèi)容小結(jié),1.導數(shù)公式,2.函數(shù)的求導法則,3.隱函數(shù)求導法則,4.對數(shù)求導法則,作業(yè)P138 15-45,第三章 導數(shù)與微分,和、差、積、商,反函數(shù)、復合函數(shù),由參數(shù)方程確定的函數(shù),9/3/2020 2:57 PM,備用題,第三章 導數(shù)與微分,1.已知,則,（2004）,解,9/3/2020 2:57 PM,第三章 導數(shù)與微分,2.已