高中數(shù)學(xué) 2.3.4 平面與平面垂直的性質(zhì)教案 新人教A版必修

1、2.3.4 平面與平面垂直的性質(zhì)一、教材分析 空間中平面與平面之間的位置關(guān)系中，垂直是一種非常重要的位置關(guān)系，它不僅應(yīng)用較多，而且是空間問(wèn)題平面化的典范.空間中平面與平面垂直的性質(zhì)定理具備以下兩個(gè)特點(diǎn)：（1）它是立體幾何中最難、最“高級(jí)”的定理.(2)它往往又是一個(gè)復(fù)雜問(wèn)題的開(kāi)端，即先由面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，否則無(wú)法解決問(wèn)題.因此，面面垂直的性質(zhì)定理是立體幾何中最重要的定理.二、教學(xué)目標(biāo)1知識(shí)與技能（1）使學(xué)生掌握平面與平面垂直的性質(zhì)定理；（2）能運(yùn)用性質(zhì)定理解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題；（3）了解平面與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理間的相互關(guān)系.2過(guò)程與方法（1）讓學(xué)生在觀察物體模型的基礎(chǔ)上，進(jìn)行操作確

2、認(rèn)，獲得對(duì)性質(zhì)定理正確性的認(rèn)識(shí)；3情感、態(tài)度與價(jià)值觀通過(guò)“直觀感知、操作確認(rèn)、推理證明”，培養(yǎng)學(xué)生空間概念、空間想象能力以及邏輯推理能力.三、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn):平面與平面垂直的性質(zhì)定理.教學(xué)難點(diǎn):平面與平面性質(zhì)定理的應(yīng)用.四、課時(shí)安排1課時(shí)五、教學(xué)設(shè)計(jì)（一）復(fù)習(xí)（1）面面垂直的定義.如果兩個(gè)相交平面所成的二面角為直二面角，那么這兩個(gè)平面互相垂直.（2）面面垂直的判定定理.兩個(gè)平面垂直的判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直.兩個(gè)平面垂直的判定定理符號(hào)表述為：.兩個(gè)平面垂直的判定定理圖形表述為：圖1（二）導(dǎo)入新課思路1.(情境導(dǎo)入)黑板所在平面與地面所在平面

3、垂直，你能否在黑板上畫一條直線與地面垂直？思路2.(事例導(dǎo)入)如圖2，長(zhǎng)方體ABCDABCD中，平面AADD與平面ABCD垂直,直線AA垂直于其交線AD.平面AADD內(nèi)的直線AA與平面ABCD垂直嗎？圖2（二）推進(jìn)新課、新知探究、提出問(wèn)題如圖3,若,=CD,AB,ABCD,ABCD=B.請(qǐng)同學(xué)們討論直線AB與平面的位置關(guān)系.圖3用三種語(yǔ)言描述平面與平面垂直的性質(zhì)定理，并給出證明.設(shè)平面平面,點(diǎn)P,Pa,a,請(qǐng)同學(xué)們討論直線a與平面的關(guān)系.分析平面與平面垂直的性質(zhì)定理的特點(diǎn)，討論應(yīng)用定理的難點(diǎn).總結(jié)應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理的口訣.活動(dòng):問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生作圖或借助模型探究得出直線AB與平面的關(guān)系.問(wèn)題引

4、導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行語(yǔ)言轉(zhuǎn)換.問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生作圖或借助模型探究得出直線a與平面的關(guān)系.問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生回憶立體幾何的核心，以及平面與平面垂直的性質(zhì)定理的特點(diǎn).問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生找出應(yīng)用平面與平面垂直的性質(zhì)定理的口訣.討論結(jié)果：通過(guò)學(xué)生作圖或借助模型探究得出直線AB與平面垂直,如圖3.兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理用文字語(yǔ)言描述為：如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一平面.兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理用圖形語(yǔ)言描述為：如圖4.圖4兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理用符號(hào)語(yǔ)言描述為：AB.兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理證明過(guò)程如下：圖5如圖5，已知,=a,AB，ABa于B.求證：AB.證明：在平面內(nèi)作BECD垂足為B,則AB

5、E就是二面角CD的平面角.由,可知ABBE.又ABCD，BE與CD是內(nèi)兩條相交直線,AB.問(wèn)題也是闡述面面垂直的性質(zhì)，變?yōu)槲淖謹(jǐn)⑹鰹椋呵笞C：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么經(jīng)過(guò)第一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)垂直于第二個(gè)平面的直線，在第一個(gè)平面內(nèi).下面給出證明.如圖6,已知，P，Pa，a.求證：a.圖6證明：設(shè)=c，過(guò)點(diǎn)P在平面內(nèi)作直線bc，,b.而a，Pa,經(jīng)過(guò)一點(diǎn)只能有一條直線與平面垂直,直線a應(yīng)與直線b重合.那么a. 利用“同一法”證明問(wèn)題，主要是在按一般途徑不易完成問(wèn)題的情形下所采用的一種數(shù)學(xué)方法，這里要求做到兩點(diǎn).一是作出符合題意的直線b，不易想到，二是證明直線b和直線a重合，相對(duì)容易些.點(diǎn)P的位置由投

6、影所給的圖及證明過(guò)程可知，可以在交線上，也可以不在交線上. 我認(rèn)為立體幾何的核心是：直線與平面垂直，因?yàn)榱Ⅲw幾何的幾乎所有問(wèn)題都是圍繞它展開(kāi)的，例如它不僅是線線垂直與面面垂直相互轉(zhuǎn)化的橋梁，而且由它還可以轉(zhuǎn)化為線線平行，即使作線面角和二面角的平面角也離不開(kāi)它.兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理的特點(diǎn)就是幫我們找平面的垂線，因此它是立體幾何中最重要的定理. 應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理口訣是：“見(jiàn)到面面垂直，立即在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線”.（四）應(yīng)用示例思路1例1 如圖7，已知，a,a,試判斷直線a與平面的位置關(guān)系.圖7解:在內(nèi)作垂直于與交線的垂線b,b.a,ab.a,a.變式訓(xùn)練 如圖8,已知平面交平面于直線a

7、.、同垂直于平面，又同平行于直線b.求證：(1)a；(2)b. 圖8 圖9證明：如圖9,(1)設(shè)=AB，=AC.在內(nèi)任取一點(diǎn)P并在內(nèi)作直線PMAB，PNAC.，PM.而a，PMa.同理,PNa.又PM，PN，a.(2)在a上任取點(diǎn)Q，過(guò)b與Q作一平面交于直線a1，交于直線a2.b，ba1.同理,ba2.a1、a2同過(guò)Q且平行于b，a1、a2重合.又a1，a2，a1、a2都是、的交線，即都重合于a.ba1，ba.而a，b.點(diǎn)評(píng)：面面垂直的性質(zhì)定理作用是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，見(jiàn)到面面垂直首先考慮利用性質(zhì)定理，其口訣是：“見(jiàn)到面面垂直，立即在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線”.例2 如圖10，四棱錐PAB

8、CD的底面是AB=2，BC=的矩形，側(cè)面PAB是等邊三角形，且側(cè)面PAB底面ABCD. 圖10 圖11（1）證明側(cè)面PAB側(cè)面PBC；（2）求側(cè)棱PC與底面ABCD所成的角；（3）求直線AB與平面PCD的距離.（1）證明：在矩形ABCD中，BCAB,又面PAB底面ABCD,側(cè)面PAB底面ABCD=AB,BC側(cè)面PAB.又BC側(cè)面PBC,側(cè)面PAB側(cè)面PBC.（2）解：如圖11,取AB中點(diǎn)E，連接PE、CE,又PAB是等邊三角形,PEAB.又側(cè)面PAB底面ABCD，PE面ABCD.PCE為側(cè)棱PC與底面ABCD所成角.PE=BA=,CE=,在RtPEC中，PCE=45為所求.（3）解：在矩形AB

9、CD中，ABCD,CD側(cè)面PCD，AB側(cè)面PCD，AB側(cè)面PCD.取CD中點(diǎn)F，連接EF、PF，則EFAB.又PEAB,AB平面PEF.又ABCD,CD平面PEF.平面PCD平面PEF.作EGPF，垂足為G，則EG平面PCD.在RtPEF中，EG=為所求.變式訓(xùn)練如圖12，斜三棱柱ABCA1B1C1的棱長(zhǎng)都是a，側(cè)棱與底面成60角，側(cè)面BCC1B1面ABC.求平面AB1C1與底面ABC所成二面角的大小.圖12活動(dòng):請(qǐng)同學(xué)考慮面BB1C1C面ABC及棱長(zhǎng)相等兩個(gè)條件，師生共同完成表述過(guò)程，并作出相應(yīng)輔助線.解：面ABC面A1B1C1，則面BB1C1C面ABC=BC,面BB1C1C面A1B1C1=

10、B1C1,BCB1C1，則B1C1面ABC.設(shè)所求兩面交線為AE，即二面角的棱為AE,則B1C1AE，即BCAE.過(guò)C1作C1DBC于D，面BB1C1C面ABC,C1D面ABC，C1DBC.又C1CD=60,CC1=a,故CD=,即D為BC的中點(diǎn).又ABC是等邊三角形,BCAD.那么有BC面DAC1,即AE面DAC1.故AEAD，AEAC1,C1AD就是所求二面角的平面角.C1D=a，AD=a，C1DAD,故C1AD=45.點(diǎn)評(píng):利用平面與平面垂直的性質(zhì)定理,找出平面的垂線是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.思路2例1 如圖13，把等腰直角三角形ABC沿斜邊AB旋轉(zhuǎn)至ABD的位置，使CD=AC,圖13（1）求證

11、：平面ABD平面ABC；（2）求二面角CBDA的余弦值.（1）證明：(證法一):由題設(shè),知AD=CD=BD,作DO平面ABC，O為垂足，則OA=OB=OC.O是ABC的外心，即AB的中點(diǎn).OAB，即O平面ABD.OD平面ABD.平面ABD平面ABC.(證法二):取AB中點(diǎn)O，連接OD、OC,則有ODAB，OCAB，即COD是二面角CABD的平面角.設(shè)AC=a，則OC=OD=,又CD=AD=AC,CD=a.COD是直角三角形，即COD=90.二面角是直二面角，即平面ABD平面ABC.（2）解:取BD的中點(diǎn)E，連接CE、OE、OC,BCD為正三角形，CEBD.又BOD為等腰直角三角形,OEBD.O

12、EC為二面角CBDA的平面角.同（1）可證OC平面ABD,OCOE.COE為直角三角形.設(shè)BC=a，則CE=a，OE=a,cosOEC=即為所求.變式訓(xùn)練 如圖14，在矩形ABCD中，AB=33,BC=3，沿對(duì)角線BD把BCD折起，使C移到C，且C在面ABC內(nèi)的射影O恰好落在AB上.圖14（1）求證：ACBC；（2）求AB與平面BCD所成的角的正弦值；（3）求二面角CBDA的正切值.（1）證明：由題意,知CO面ABD,COABC,面ABC面ABD.又ADAB,面ABC面ABD=AB,AD面ABC.ADBC.BCCD,BC面ACD.BCAC.(2)解:BC面ACD,BC面BCD,面ACD面BCD

13、.作AHCD于H,則AH面BCD,連接BH,則BH為AB在面BCD上的射影,ABH為AB與面BCD所成的角.又在RtACD中,CD=33,AD=3,AC=3.AH=.sinABH=,即AB與平面BCD所成角的正弦值為.(3)解:過(guò)O作OGBD于G,連接CG,則CGBD,則CGO為二面角CBDA的平面角.在RtACB中,CO=,在RtBCD中,CG=.OG=.tanCGO=,即二面角CBDA的正切值為.點(diǎn)評(píng):直線與平面垂直是立體幾何的核心,它是證明垂直問(wèn)題和求二面角的基礎(chǔ),因此利用平面與平面垂直的性質(zhì)定理找出平面的垂線,就顯得非常重要了.例2 如圖15,三棱柱ABCA1B1C1中，BAC=90，

14、AB=BB1=1，直線B1C與平面ABC成30角，求二面角BB1CA的正弦值.圖15活動(dòng):可以知道，平面ABC與平面BCC1B1垂直，故可由面面垂直的性質(zhì)來(lái)尋找從一個(gè)半平面到另一個(gè)半平面的垂線.解：由直三棱柱性質(zhì)得平面ABC平面BCC1B1，過(guò)A作AN平面BCC1B1，垂足為N，則AN平面BCC1B1（AN即為我們要找的垂線）,在平面BCB1內(nèi)過(guò)N作NQ棱B1C，垂足為Q，連接QA，則NQA即為二面角的平面角.AB1在平面ABC內(nèi)的射影為AB，CAAB，CAB1A.AB=BB1=1，得AB1=.直線B1C與平面ABC成30角，B1CB=30，B1C=2.在RtB1AC中，由勾股定理,得AC=.

15、AQ=1.在RtBAC中，AB=1，AC=，得AN=.sinAQN=,即二面角BB1CA的正弦值為.變式訓(xùn)練 如圖16，邊長(zhǎng)為2的等邊PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=2，M為BC的中點(diǎn).(1)證明：AMPM；(2)求二面角PAMD的大小. 圖16 圖17(1)證明：如圖17,取CD的中點(diǎn)E，連接PE、EM、EA,PCD為正三角形,PECD，PE=PDsinPDE=2sin60=.平面PCD平面ABCD,PE平面ABCD.四邊形ABCD是矩形,ADE、ECM、ABM均為直角三角形.由勾股定理可求得EM=，AM=，AE=3,EM2+AM2=AE2.AMEM.又EM是PM在平面A

16、BCD上的射影,AME=90.AMPM.(2)解:由(1)可知EMAM，PMAM,PME是二面角PAMD的平面角.tanPME=1.PME=45.二面角PAMD為45.（五）知能訓(xùn)練課本本節(jié)練習(xí).（六）拓展提升(2007全國(guó)高考,理18)如圖18,在三棱錐SABC中,側(cè)面SAB與側(cè)面SAC均為等邊三角形,BAC=90,O為BC中點(diǎn).(1)證明SO平面ABC;(2)求二面角ASCB的余弦值. 圖18 圖19(1)證明：如圖19,由題設(shè),知AB=AC=SB=SC=SA.連接OA,ABC為等腰直角三角形,所以O(shè)A=OB=OC=SA,且AOBC.又SBC為等腰三角形,故SOBC,且SO=SA.從而OA2+SO2=SA2.所以SOA為直角三角形,SOAO.又AOBC=O,所以SO平面ABC.