高中數(shù)學 1.2.4等差數(shù)列的前n項和（二）教案 北師大版必修

1、第七課時 1.2.4等差數(shù)列的前n項和（二）一、教學目標1、知識與技能：（1）進一步熟練掌握等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式；（2）了解等差數(shù)列的一些性質(zhì)，并會用它們解決一些相關問題；（3）會利用等差數(shù)列通項公式與前n項和的公式研究Sn的最值。2、過程與方法：（1）經(jīng)歷公式應用的過程，形成認識問題、解決問題的一般思路和方法；（2）學會其常用的數(shù)學方法和體現(xiàn)出的數(shù)學思想，促進學生的思維水平的發(fā)展。3、情感態(tài)度與價值觀：通過有關內(nèi)容在實際生活中的應用，使學生再一次感受數(shù)學源于生活，又服務于生活的實用性，引導學生要善于觀察生活，從生活中發(fā)現(xiàn)問題，并數(shù)學地解決問題。二、教學重點 熟練掌握等差數(shù)列的求和

2、公式.教學難點 靈活應用求和公式解決問題.三、教學方法：探究歸納，講練結(jié)合四、教學過程（一）、導入新課師 首先回憶一下上一節(jié)課所學主要內(nèi)容.生 我們上一節(jié)課學習了等差數(shù)列的前n項和的兩個公式：(1)；(2).師 對，我們上一節(jié)課學習了等差數(shù)列的前n項和的公式，了解等差數(shù)列的一些性質(zhì).學會了求和問題的一些方法，本節(jié)課我們繼續(xù)圍繞等差數(shù)列的前n項和的公式的內(nèi)容來進一步學習與探究.（二）、推進新課合作探究師 本節(jié)課的第一個內(nèi)容是來研究一下等差數(shù)列的前n項和的公式的函數(shù)表示，請同學們將求和公式寫成關于n的函數(shù)形式.生 我將等差數(shù)列an的前n項和的公式整理、變形得到：n.(*)師 很好!我們能否說(*)

3、式是關于n的二次函數(shù)呢?生1 能，(*)式就是關于n的二次函數(shù).生2 不能，(*)式不一定是關于n的二次函數(shù).師 為什么?生2 若等差數(shù)列的公差為0，即d=0時，(*)式實際是關于n的一次函數(shù)!只有當d0時，(*)式才是關于n的二次函數(shù).師 說得很好!等差數(shù)列an的前n項和的公式可以是關于n的一次函數(shù)或二次函數(shù).我來問一下：這函數(shù)有什么特征?生 它一定不含常數(shù)項，即常數(shù)項為0.生 它的二次項系數(shù)是公差的一半.師 對的，等差數(shù)列an的前n項和為不含常數(shù)項的一次函數(shù)或二次函數(shù).問：若一數(shù)列的前n項和為n的一次函數(shù)或二次函數(shù)，則這數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎?生 不一定，還要求不含常數(shù)項才能確保是等差數(shù)列.

4、師 說的在理.同學們能畫出(*)式表示的函數(shù)圖象或描述一下它的圖象特征嗎?生 當d=0時，(*)式是關于n的一次函數(shù)，所以它的圖象是位于一條直線上的離散的點列，當d0時，(*)式是n的二次函數(shù)，它的圖象是在二次函數(shù)的圖象上的一群孤立的點.這些點的坐標為(n,Sn)(n=1，2，3，).師 說得很精辟.例題剖析【例】 (課本例4)分析:等差數(shù)列an的前n項和公式可以寫成，所以Sn可以看成函數(shù) (xN *)當x=n時的函數(shù)值.另一方面，容易知道Sn關于n的圖象是一條拋物線上的點.因此我們可以利用二次函數(shù)來求n的值.(解答見課本第52頁)師 我們能否換一個角度再來思考一下這個問題呢？請同學們說出這個

5、數(shù)列的首項和公差. 生 它的首項為5，公差為.師 對，它的首項為正數(shù)，公差小于零，因而這個數(shù)列是個單調(diào)遞減數(shù)列，當這數(shù)列的項出現(xiàn)負數(shù)時，則它的前n項的和一定會開始減小，在這樣的情況下，同學們是否會產(chǎn)生新的解題思路呢？生 老師，我有一種解法：先求出它的通項，求得結(jié)果是an=a1+(n-1)d=.我令0，得到了n8，這樣我就可以知道a8=0，而a90.從而便可以發(fā)現(xiàn)S7=S8，從第9項和Sn開始減小，由于a8=0對數(shù)列的和不產(chǎn)生影響，所以就可以說這個等差數(shù)列的前7項或8項的和最大.師 說得非常好!這說明我們可以通過研究它的通項取值的正負情況來研究數(shù)列的和的變化情況.方法引導師 受剛才這位同學的新解

6、法的啟發(fā)，我們大家一起來歸納一下這種解法的規(guī)律當?shù)炔顢?shù)列an的首項大于零，公差小于零時，它的前n項的和有怎樣的最值?可通過什么來求達到最值時的n的值?生Sn有最大值，可通過求得n的值.師 當?shù)炔顢?shù)列an的首項不大于零，公差大于零時，它的前n項的和有怎樣的最值?可通過什么來求達到最值時的n的值?生 Sn有最小值，可以通過求得n的值.教師精講好!有了這種方法再結(jié)合前面的函數(shù)性質(zhì)的方法，我們求等差數(shù)列的前n項的和的最值問題就有法可依了.主要有兩種：(1)利用an取值的正負情況來研究數(shù)列的和的變化情況；(2)利用Sn：由利用二次函數(shù)求得Sn取最值時n的值.（三）、課堂練習：請同學們做下面的一道練習：已

7、知：an=1 024+lg21-n(lg2=0.3 01 0)n*.問多少項之和為最大？前多少項之和的絕對值最小？(讓一位學生上黑板去板演)解：1+13 401n3 403.所以n=3 402.2Sn=1 024n+ (-lg2)，當Sn=0或Sn趨近于0時其和絕對值最小，令Sn=0，即1 024+ (-lg2)=0,得n =+16 804.99.因為nN*，所以有n=6 805.(教師可根據(jù)學生的解答情況和解題過程中出現(xiàn)的問題進行點評)合作探究師 我們大家再一起來看這樣一個問題：全體正奇數(shù)排成下表：1357911131517192123252729此表的構成規(guī)律是：第n行恰有n個連續(xù)奇數(shù);從

8、第二行起，每一行第一個數(shù)與上一行最后一個數(shù)是相鄰奇數(shù)，問2 005是第幾行的第幾個數(shù)?師 此題是數(shù)表問題，近年來這類問題如一顆“明珠”頻頻出現(xiàn)在數(shù)學競賽和高考中，成為出題專家們的“新寵”，值得我們探索.請同學們根據(jù)此表的構成規(guī)律，將自己的發(fā)現(xiàn)告訴我. 生1 我發(fā)現(xiàn)這數(shù)表n行共有1+2+3+n個數(shù)，即n行共有個奇數(shù).師 很好!要想知道2 005是第幾行的第幾個數(shù)，必須先研究第n行的構成規(guī)律.生2 根據(jù)生1的發(fā)現(xiàn)，就可得到第n行的最后一個數(shù)是2-1=n2+n-1.生3 我得到第n行的第一個數(shù)是(n2+n-1)-2(n-1)=n2-n+1.師 現(xiàn)在我們對第n行已經(jīng)非常了解了，那么這問題也就好解決了，

9、誰來求求看?生4 我設n2-n+12 005n2+n-1，解這不等式組便可求出n=45，n2-n+1=1 981.再設2 005是第45行中的第m個數(shù)，則由2 005=1 981+(m-1)2，解得m=13.因此，2 005是此表中的第45行中的第13個數(shù).師 很好!由這解法可以看出，只要我們研究出了第n行的構成規(guī)律，則可由此展開我們的思路.從整體上把握等差數(shù)列的性質(zhì)，是迅速解答本題的關鍵.（四）、課堂小結(jié)：本節(jié)課我們學習并探究了等差數(shù)列的前n項和的哪些內(nèi)容?生1我們學會了利用等差數(shù)列通項公式與前n項和的公式研究Sn的最值的方法：利用an：當an0，d0，前n項和有最大值.可由an0，且a n+10，求得n的值；當an0，d0，前n項和有最小值.可由an0，且a n+10，求得n的值.利用Sn：由Sn= n2+(a1-)n利用二次函數(shù)求得Sn取最值時n的值.生2 我們還對等差數(shù)列中的數(shù)表問題的常規(guī)解法作了探究，學習了從整體上把握等差數(shù)列的性質(zhì)來解決問題的數(shù)學思想方法.師 本節(jié)課我們在熟練掌握等差數(shù)列的通項公式和前n項和公