高考資料【新步步高】高考數(shù)學(xué)（理 全國(guó)甲卷）大二輪總復(fù)習(xí)與增分策略配套文檔 專題二 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)第3講[原創(chuàng)精品]

1、第3講導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1(2016四川)已知a為函數(shù)f(x)x312x的極小值點(diǎn)，則a等于()A4 B2 C4 D2答案D解析f(x)x312x，f(x)3x212，令f(x)0，則x12，x22.當(dāng)x(，2)，(2，)時(shí)，f(x)0，則f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x(2,2)時(shí)，f(x)0，則f(x)單調(diào)遞減，f(x)的極小值點(diǎn)為a2.2(2016課標(biāo)全國(guó)乙)若函數(shù)f(x)xsin 2xasin x在(，)上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是()A1,1 B.C. D.答案C解析方法一(特殊值法)：不妨取a1，則f(x)xsin 2xsin x，f(x)1cos 2xcos x，但f(0)110，不具備在(，)

2、單調(diào)遞增，排除A，B，D.故選C.方法二(綜合法)：函數(shù)f(x)xsin 2xasin x在(，)單調(diào)遞增，f(x)1cos 2xacos x1(2cos2x1)acos xcos2xacos x0，即acos xcos2x在(，)恒成立當(dāng)cos x0時(shí)，恒有0，得aR；當(dāng)0cos x1時(shí)，得acos x，令tcos x，f(t)t在(0,1上為增函數(shù)，得af(1)；當(dāng)1cos x0是f(x)為增函數(shù)的充分不必要條件，如函數(shù)f(x)x3在(，)上單調(diào)遞增，但f(x)0.2f(x)0是f(x)為增函數(shù)的必要不充分條件，當(dāng)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有f(x)0時(shí)，則f(x)為常函數(shù)，函數(shù)不具有單調(diào)性例2設(shè)

3、函數(shù)f(x)xekx (k0)(1)求曲線yf(x)在點(diǎn)(0，f(0)處的切線方程；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,1)內(nèi)單調(diào)遞增，求k的取值范圍解(1)由題意可得f(x)(1kx)ekx，f(0)1，f(0)0，故曲線yf(x)在點(diǎn)(0，f(0)處的切線方程為yx.(2)由f(x)(1kx)ekx0，得x(k0)，若k0，則當(dāng)x時(shí)，f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；若k0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x時(shí)，f(x)0，則當(dāng)且僅當(dāng)1，即k1時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,1)內(nèi)單調(diào)遞增；若k0或f(x)0，解得x0，即函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，)(0，)，故選C.

4、(2)f(x)的定義域?yàn)?0，)f(x)4x.由f(x)0，得x.據(jù)題意，得解得1k0，右側(cè)f(x)0，則f(x0)為函數(shù)f(x)的極大值；若在x0附近左側(cè)f(x)0，則f(x0)為函數(shù)f(x)的極小值2設(shè)函數(shù)yf(x)在a，b上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，則f(x)在a，b上必有最大值和最小值且在極值點(diǎn)或端點(diǎn)處取得例3已知函數(shù)f(x)ax3ln x，其中a為常數(shù)(1)當(dāng)函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為1時(shí)，求函數(shù)f(x)在上的最小值；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，)上既有極大值又有極小值，求a的取值范圍解(1)f(x)a(x0)，由題意可知，f1，解得a1.故f(x)x3ln x，f(

5、x)，根據(jù)題意由f(x)0，得x2.于是可得下表：x2(2,3)3f(x)0f(x)13ln 2f(x)minf(2)13ln 2.(2)f(x)a(x0), 由題意可得方程ax23x20有兩個(gè)不等的正實(shí)根，不妨設(shè)這兩個(gè)根為x1，x2，并令h(x)ax23x2，則解得0a.故a的取值范圍為.思維升華(1)求函數(shù)f(x)的極值，則先求方程f(x)0的根，再檢查f(x)在方程根的左右函數(shù)值的符號(hào)(2)若已知極值大小或存在情況，則轉(zhuǎn)化為已知方程f(x)0根的大小或存在情況來(lái)求解(3)求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b的最值時(shí)，在得到極值的基礎(chǔ)上，結(jié)合區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值f(a)，f(b)與f(x)的各極值進(jìn)行

6、比較得到函數(shù)的最值跟蹤演練3已知函數(shù)f(x)ln xaxa2x2(a0)(1)若x1是函數(shù)yf(x)的極值點(diǎn)，求a的值；(2)若f(x)0在定義域內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)函數(shù)的定義域?yàn)?0，)，f(x).因?yàn)閤1是函數(shù)yf(x)的極值點(diǎn)，所以f(1)1a2a20，解得a(舍去)或a1.經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)a1時(shí)，x1是函數(shù)yf(x)的極值點(diǎn)，所以a1.(2)當(dāng)a0時(shí)，f(x)ln x，顯然在定義域內(nèi)不滿足f(x)0時(shí)，令f(x)0，得x1(舍去)，x2，所以x，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(0，)(，)f(x)0f(x)極大值所以f(x)maxf()ln 1.綜上可得，a的取值范圍

7、是(1，).1設(shè)函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x)，若yf(x)的圖象在點(diǎn)P(1，f(1)處的切線方程為xy20，則f(1)f(1)等于()A4 B3 C2 D1押題依據(jù)曲線的切線問(wèn)題是導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用，是高考考查的熱點(diǎn)，對(duì)于“過(guò)某一點(diǎn)的切線”問(wèn)題，也是易錯(cuò)易混點(diǎn)答案A解析依題意有f(1)1,1f(1)20，即f(1)3，所以f(1)f(1)4.2已知函數(shù)f(x)x3ax2bxa27a在x1處取得極大值10，則的值為()A B2C2或 D2或押題依據(jù)函數(shù)的極值是單調(diào)性與最值的“橋梁”，理解極值概念是學(xué)好導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵極值點(diǎn)、極值的求法是高考的熱點(diǎn)答案A解析由題意知f(x)3x22axb，f(1)0

8、，f(1)10，即解得或經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意，故.3已知函數(shù)f(x)x2ax3在(0,1)上為減函數(shù)，函數(shù)g(x)x2aln x在(1,2)上為增函數(shù)，則a的值等于_押題依據(jù)函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題是導(dǎo)數(shù)最重要的應(yīng)用，體現(xiàn)了“以直代曲”思想，要在審題中搞清“在(0,1)上為減函數(shù)”與“函數(shù)的減區(qū)間為(0,1)”的區(qū)別答案2解析函數(shù)f(x)x2ax3在(0,1)上為減函數(shù)，1，得a2.又g(x)2x，依題意g(x)0在x(1,2)上恒成立，得2x2a在x(1,2)上恒成立，有a2，a2.4已知函數(shù)f(x)x，g(x)x22ax4，若任意x10,1，存在x21,2，使f(x1)g(x2)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_押

9、題依據(jù)不等式恒成立或有解問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域解決考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想，是高考的一個(gè)熱點(diǎn)答案解析由于f(x)10，因此函數(shù)f(x)在0,1上單調(diào)遞增，所以x0,1時(shí)，f(x)minf(0)1.根據(jù)題意可知存在x1,2，使得g(x)x22ax41，即x22ax50，即a能成立，令h(x)，則要使ah(x)在x1,2能成立，只需使ah(x)min，又函數(shù)h(x)在x1,2上單調(diào)遞減，所以h(x)minh(2)，故只需a.A組專題通關(guān)1函數(shù)f(x)x2sin，f(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則f(x)的圖象是()答案C解析依題意f(x)x2cos x，對(duì)f(x)求導(dǎo)，得f(x)xsin x，可知f(x

10、)為奇函數(shù)，由此可排除B，D；當(dāng)x0時(shí)，f(x)xsin x0，由此可排除A.2曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線方程是()Ax1 ByCxy1 Dxy1答案B解析f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)，曲線在點(diǎn)(1，f(1)處的切線斜率k0，切點(diǎn)為，曲線在點(diǎn)(1，f(1)處的切線方程為y.3已知a0，函數(shù)f(x)(x22ax)ex.若f(x)在1,1上是單調(diào)遞減函數(shù)，則a的取值范圍是()A0a B.aCa D0a答案C解析方法一當(dāng)a1時(shí)，f(x)(x22x)ex，f(x)(2x2)ex(x22x)exex(x22)，當(dāng)1x1時(shí)，x220，f(x)0，f(x)在1,1上是單調(diào)減函數(shù)，排除A，B，D，故選

11、C.方法二f(x)exx22(1a)x2a，f(x)在1,1上單調(diào)遞減，f(x)0在1,1上恒成立令g(x)x22(1a)x2a，則解得a.4若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(0)1，其導(dǎo)函數(shù)f(x)滿足f(x)k1，則下列結(jié)論中一定錯(cuò)誤的是()Af BfCf Df答案C解析導(dǎo)函數(shù)f(x)滿足f(x)k1，f(x)k0，k10，0，可構(gòu)造函數(shù)g(x)f(x)kx，可得g(x)0，故g(x)在R上為增函數(shù)，f(0)1，g(0)1，gg(0)，即f1，f，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，故選C.5若函數(shù)f(x)(x1)ex，則下列命題正確的是()A對(duì)任意m，都存在xR，使得f(x)，都存在xR，使得f(x)mC對(duì)任意

12、m，方程f(x)m總有兩個(gè)實(shí)根答案B解析因?yàn)閒(x)(x1)ex(x1)exex(x2)ex，故函數(shù)在區(qū)間(，2)，(2，)上分別為減函數(shù)與增函數(shù)，故f(x)minf(2)，故當(dāng)m時(shí)，總存在x使得f(x)m.6已知P(1,1)，Q(2,4)是曲線yx2上的兩點(diǎn)，則與直線PQ平行的曲線yx2的切線方程是_答案4x4y10解析由題意知yx2的導(dǎo)函數(shù)為y2x，設(shè)切點(diǎn)M(x0，y0)，則y|2x0.直線PQ的斜率k1，又切線平行于PQ，2x01，x0，切點(diǎn)M.切線方程為yx，即4x4y10.7已知函數(shù)f(x)x3x，對(duì)任意的m2,2，f(mx2)f(x)0，f(x)為增函數(shù)又f(x)為奇函數(shù)，由f(m

13、x2)f(x)0知，f(mx2)f(x)mx2x，即mxx20.令g(m)mxx2，由m2,2知g(m)0恒成立，即解得2x0；x時(shí)，y0，故函數(shù)在上遞增，在上遞減，所以當(dāng)x時(shí)，函數(shù)取最大值.9(2016北京)設(shè)函數(shù)f(x)xeaxbx，曲線yf(x)在點(diǎn)(2，f(2)處的切線方程為y(e1)x4.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間解(1)f(x)的定義域?yàn)镽.f(x)eaxxeaxb(1x)eaxb.依題設(shè)，即解得a2，be.(2)由(1)知f(x)xe2xex，由f(x)e2x(1xex1)及e2x0知，f(x)與1xex1同號(hào)令g(x)1xex1，則g(x)1ex1.當(dāng)x(，

14、1)時(shí)，g(x)0，g(x)在區(qū)間(，1)上單調(diào)遞減；當(dāng)x(1，)時(shí)，g(x)0，g(x)在區(qū)間(1，)上單調(diào)遞增故g(1)1是g(x)在區(qū)間(，)上的最小值，從而g(x)0，x(，)，綜上可知，f(x)0，x(，)故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，)10已知函數(shù)f(x)ln x，x1,3(1)求f(x)的最大值與最小值；(2)若f(x)4at對(duì)任意的x1,3，t0,2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)函數(shù)f(x)ln x，f(x)，令f(x)0，得x2或x2(舍去)x1,3，當(dāng)1x2時(shí)，f(x)0；當(dāng)2x0.f(x)在(1,2)上是單調(diào)減函數(shù)，在(2,3)上是單調(diào)增函數(shù)，f(x)在x2處取得極小

15、值f(2)ln 2.又f(1)，f(3)ln 3，ln 31，(ln 3)ln 310，f(1)f(3)，當(dāng)x1時(shí)，f(x)取得最大值為；當(dāng)x2時(shí)，f(x)取得最小值為ln 2.(2)由(1)知，當(dāng)x1,3時(shí)，f(x)，故對(duì)任意x1,3，f(x)對(duì)任意t0,2恒成立，即at恒成立，記g(t)at，t0,2解得a0時(shí)，xf(x)f(x)0成立的x的取值范圍是()A(，1)(0,1) B(1,0)(1，)C(，1)(1,0) D(0,1)(1，)答案A解析設(shè)g(x)，則g(x)的導(dǎo)數(shù)g(x).當(dāng)x0時(shí)，總有xf(x)0時(shí)，g(x)0時(shí)，函數(shù)g(x)為減函數(shù)，又g(x)g(x)，函數(shù)g(x)為定義域

16、上的偶函數(shù)，又g(1)0，函數(shù)g(x)的大致圖象如圖：數(shù)形結(jié)合可得，不等式f(x)0xg(x)0或0x1或x1.故選A.12.若函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示，則yf(x)的圖象可能為()答案C解析根據(jù)f(x)的符號(hào)，f(x)圖象應(yīng)該是先下降后上升，最后下降，排除A、D；從適合f(x)0的點(diǎn)可以排除B.13已知函數(shù)f(x)(ax21)ex，aR.(1)若函數(shù)f(x)在x1時(shí)取得極值，求a的值；(2)當(dāng)a0時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間解(1)f(x)(ax22ax1)ex，xR，依題意得f(1)(3a1)e0，解得a.經(jīng)檢驗(yàn)符合題意(2)f(x)(ax22ax1)ex，設(shè)g(x)ax22ax1，當(dāng)a0時(shí)，f(x)ex，f(x)在(，)上為單調(diào)減函數(shù)當(dāng)a0時(shí)，方程g(x)ax22ax10的判別式為4a24a，令0，解得a0(舍去)或a1.()當(dāng)a1時(shí)，g(x)x22x1(x1)20，即f(x)(ax22ax1)ex0，且f(x)在x1兩側(cè)同號(hào)，僅在x1時(shí)等于0，則f