《數(shù)學(xué)建模灰色模型》PPT課件.ppt

1、灰色系統(tǒng)及在建模中的應(yīng)用,一、灰色系統(tǒng)介紹, 華中科技大學(xué)的鄧聚龍教授80年代初創(chuàng)立的灰色系統(tǒng)是新興的橫斷學(xué)科。在短短的二十年里已得到了長(zhǎng)足的發(fā)展。, 目前，已經(jīng)成為社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、科教、技術(shù)等很多領(lǐng)域進(jìn)行預(yù)測(cè)、決策、評(píng)估、規(guī)劃、控制、系統(tǒng)分析和建模的重要方法之一。, 特別是它對(duì)時(shí)間序列短、統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)少、信息不完全系統(tǒng)的建模與分析，具有獨(dú)特的功效。,灰色系統(tǒng)理論是研究灰色系統(tǒng)分析、建模、預(yù)測(cè)、決策和控制的理論。它把一般系統(tǒng)論、信息論及控制論的觀點(diǎn)和方法延伸到社會(huì)、經(jīng)濟(jì)和生態(tài)等抽象系統(tǒng)，并結(jié)合數(shù)學(xué)方法，發(fā)展出一套解決信息不完全系統(tǒng)（灰色系統(tǒng)）的理論和方法。,1.1 幾種不確定性方法的比較,模糊數(shù)學(xué)著重

2、研究“認(rèn)知不確定”問(wèn)題，其研究對(duì)象具有“內(nèi)涵明確，外延不明確”的特點(diǎn)。主要憑借經(jīng)驗(yàn)，借助于隸屬函數(shù)進(jìn)行處理。,概率統(tǒng)計(jì)研究的是“隨機(jī)不確定”現(xiàn)象的歷史統(tǒng)計(jì)規(guī)律，考察具有多種可能發(fā)生的結(jié)果之“隨機(jī)不確定”現(xiàn)象中每一種結(jié)果發(fā)生的可能性的大小。其出發(fā)點(diǎn)是，大樣本，且對(duì)象服從某種典型分布。,灰色系統(tǒng)研究的是“部分信息明確，部分信息未知”的“小樣本，貧信息”不確定性問(wèn)題，并依據(jù)信息覆蓋，通過(guò)序列算子的作用探索事物運(yùn)動(dòng)的現(xiàn)實(shí)規(guī)律。其特點(diǎn)是“少數(shù)據(jù)建?！?，著重研究“外延明確，內(nèi)涵不明確”的對(duì)象。,2050年中國(guó)人口控制在15億到16億之間,樹高在20米至30米,表1.1 三種不確定性方法的比較,1.2 灰色

3、系統(tǒng)的基本原理,公理1、差異信息原理。 “差異”是信息，凡信息必有差異。 公理2、解的非唯一性原理。 信息不完全、不確定的解是非唯一的。該原理是灰色系統(tǒng)理論解決實(shí)際問(wèn)題所遵循的基本法則。 公理3、最少信息原理 灰色系統(tǒng)理論的特點(diǎn)是充分開發(fā)利用已占有的“最少信息”。,公理4、認(rèn)知根據(jù)原理。 信息是認(rèn)知的根據(jù)。 公理5、新信息優(yōu)先原理。 新信息對(duì)認(rèn)知的作用大于老信息。 公理6、灰性不滅原理 “信息不完全”是絕對(duì)的。,1.3 灰數(shù)及其運(yùn)算,灰數(shù)：只知道大概范圍而不知道其確切值的數(shù)，通常記為：“”。 例如： 1. 頭發(fā)的多少才算是禿子。應(yīng)該是個(gè)區(qū)間范圍。模糊 2.多少層的樓房算高樓，中高樓，低樓。 3

4、.多么大的蘋果算大蘋果，小蘋果。,灰數(shù)的種類： a、僅有下界的灰數(shù)。 有下界無(wú)上界的灰數(shù)記為： a, b、僅有上界的灰數(shù)。 有上界無(wú)下界的灰數(shù)記為： - ,b c、區(qū)間灰數(shù) 既有上界又有下界的灰數(shù)： a, b d、連續(xù)灰數(shù)與離散灰數(shù) 在某一區(qū)間內(nèi)取有限個(gè)值的灰數(shù)稱為離散灰數(shù)，取值連續(xù)地充滿某一區(qū)間的灰數(shù)稱為連續(xù)灰數(shù)。,二、灰色系統(tǒng)模型,通過(guò)少量的、不完全的信息，建立灰色微分預(yù)測(cè)模型，對(duì)事物發(fā)展規(guī)律作出模糊性的長(zhǎng)期描述，是模糊預(yù)測(cè)領(lǐng)域中理論、方法較為完善的預(yù)測(cè)學(xué)分支之一。,灰色系統(tǒng)理論認(rèn)為任何隨機(jī)過(guò)程都是在一定幅值范圍和一定時(shí)區(qū)內(nèi)變化的灰色量，并把隨機(jī)過(guò)程看成灰色過(guò)程。,（一） 不需要大量的樣本

5、。 （二） 樣本不需要有規(guī)律性分布。 （三） 計(jì)算工作量小。 （四） 定量分析結(jié)果與定性分析結(jié)果不會(huì)不一致。（五） 可用于近期、短期，和中長(zhǎng)期預(yù)測(cè)。 （六） 灰色預(yù)測(cè)精準(zhǔn)度高。,灰色模型的優(yōu)點(diǎn):,2.1 灰生成技術(shù),灰色序列生成：是一種通過(guò)對(duì)原始數(shù)據(jù)的挖掘、整理來(lái)尋求數(shù)據(jù)變化的現(xiàn)實(shí)規(guī)律的途徑，簡(jiǎn)稱灰生成。,灰生成特點(diǎn)：在保持原序列形式的前提下，改變序列中數(shù)據(jù)的值與性質(zhì)。一切灰色序列都能通過(guò)某種生成弱化其隨機(jī)性，顯現(xiàn)其規(guī)律性。,灰生成的作用（意義） 1.統(tǒng)一序列的目標(biāo)性質(zhì)，為灰決策提供基礎(chǔ)。 2.將擺動(dòng)序列轉(zhuǎn)換為單調(diào)增長(zhǎng)序列，以利于灰建模。 3.揭示潛藏在序列中的遞增勢(shì)態(tài)，變不可比為可比序列。,

6、常見的幾種灰生成類型：,1. 累加生成算子（AGO） 2. 逆累加生成算子（ IAGO） 3. 均值生成算子（MEAN） 4. 級(jí)比生成算子,1. 累加生成算子（AGO）,定義 它是對(duì)原序列中的數(shù)據(jù)依次累加以得到生成序列。令 為原序列,我們說(shuō) 是 的AGO序列，并記為,當(dāng)且僅當(dāng),并滿足,例1,擺動(dòng)序列為：,通過(guò)AGO可以加工成單調(diào)增序列：,2. 逆累加生成算子（IAGO）,定義 它是對(duì)AGO生成序列中相鄰數(shù)據(jù)依次累減，又稱累減生成。令 為原序列,稱 是 的IAGO序列，并記為,當(dāng)且僅當(dāng),并 滿足,例2,令原始序列 為,這表明,3. 均值生成算子（MEAN）,定義 它是將AGO序列中前后相鄰兩數(shù)

7、取平均數(shù)，以獲得生成序列。令 為 的AGO序列,稱 為 的MEAN序列，并記為,當(dāng)且僅當(dāng),并且每個(gè) 滿足下述關(guān)系,例3,對(duì)于 ，有,4. 級(jí)比生成算子,定義 設(shè)序列 ，則稱,為序列 的級(jí)比。,檢驗(yàn)準(zhǔn)則 設(shè)序列 的級(jí)比滿足,時(shí)，序列 可做GM(1,1)建模。,2.2 GM（1，1）模型,灰色理論認(rèn)為系統(tǒng)的行為現(xiàn)象盡管是朦朧的，數(shù)據(jù)是復(fù)雜的，但它畢竟是有序的，是有整體功能的?；覕?shù)的生成，就是從雜亂中尋找出規(guī)律。同時(shí)，灰色理論建立的是生成數(shù)據(jù)模型，不是原始數(shù)據(jù)模型。因此，灰色預(yù)測(cè)的數(shù)據(jù)是通過(guò)生成數(shù)據(jù)的GM(1,1)模型所得到的預(yù)測(cè)值的逆處理結(jié)果。,GM(1,1)的符號(hào)含義：,G M ( 1, 1 )

8、,Grey 灰色,Model 模型,1階方程,1個(gè)變量,定義1 設(shè) ，和,，則稱,為GM(1,1)模型的原始形式。,定義2 設(shè) ， 其中 ，則稱,為GM(1,1)模型的基本形式。,注意：,原始序列,必是非負(fù)的，其中 ， 。,若原始序列 不是非負(fù)的，則需要對(duì) 中 的元素做平移變換，即令 其中 ， 。,顯然，由此得到的累加生成序列 和均 值生成序列 都是非負(fù)的。,關(guān)于GM(1,1)模型 的參 數(shù)a和b如何確定？,若 為參數(shù)列，且,則其最小二乘估計(jì)參數(shù)列滿足,問(wèn)題1,關(guān)于GM(1,1)模型 的解 如何確定？,問(wèn)題2,(白化方程),解得其時(shí)間響應(yīng)函數(shù)為：,通過(guò)對(duì)一般微分方程的深刻剖析定義了系列的灰導(dǎo)數(shù)

9、，從而使我們能夠利用離散數(shù)據(jù)序列建立近似的微分方程模型：,1.解得時(shí)間響應(yīng)序列為：,2. 原始數(shù)據(jù)序列 的預(yù)測(cè)值：,注意：,1.,是原始數(shù)據(jù)序列,的擬合值。,2.,是原始數(shù)據(jù)序列預(yù)測(cè)值。,如何檢驗(yàn)GM(1,1)模型的精度？,問(wèn)題3,殘差：,平均相對(duì)誤差：,相對(duì)誤差：,精度：, 后驗(yàn)差檢驗(yàn), 關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn), 級(jí)比偏差檢驗(yàn),此外,還有,建立灰色預(yù)測(cè)模型的一般步驟,第一步：級(jí)比檢驗(yàn)，建?？尚行苑治觥?第二步：數(shù)據(jù)變換處理。,第三步： 用GM(1,1)建模。,第四步：模型檢驗(yàn)。,灰建模實(shí)例：,北方某城市1986-1992年交通噪聲平均聲級(jí)數(shù)據(jù),表：某城市近年來(lái)交通噪聲數(shù)據(jù)dB(A),第一步：級(jí)比檢驗(yàn)，建

10、?？尚行苑治觥?1.建立交通噪聲平均聲級(jí)數(shù)據(jù)時(shí)間序列：,2. 求級(jí)比：,3. 級(jí)比判斷：,由于所有的 ，,，故可以用 作滿意的GM(1, 1),建模。,第二步： 用GM(1,1)建模。,1. 對(duì)原始數(shù)據(jù) 作一次累加：,得：,2. 構(gòu)造數(shù)據(jù)矩陣B及數(shù)據(jù)向量Y ：,于是得到：,3.最小二乘估計(jì)求參數(shù)列 ：,于是得到 。,4. 建立模型：,解得時(shí)間響應(yīng)序列為：,（）,5. 求生成數(shù)列值 及模型還原值 ：,令 代入時(shí)間響應(yīng)函數(shù)可算得 ， 其中取 。,由累減生成 ，得還原值：,第三步： 模型檢驗(yàn)。,表：GM(1,1)模型檢驗(yàn)表,平均相對(duì)誤差：,精度：,經(jīng)驗(yàn)證，該模型的精度較高，可進(jìn)行預(yù)報(bào) 和預(yù)測(cè)。,MC

11、M2006年 A題,艾滋病療法的 評(píng)價(jià)及療效的預(yù)測(cè),艾滋病(ADIS)是當(dāng)前人類社會(huì)最嚴(yán)重的瘟疫之一，從1981年美國(guó)發(fā)現(xiàn)首例艾滋病以來(lái)，它已經(jīng)吞噬了近3000萬(wàn)人的生命。我國(guó)自1985年發(fā)現(xiàn)首例艾滋病到2003年底，我國(guó)有艾滋病感染者84萬(wàn)人，到2010年感染艾滋病病毒人數(shù)將達(dá)到1000萬(wàn)。艾滋病已對(duì)我國(guó)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展造成威脅，并帶來(lái)了一系列政治與社會(huì)問(wèn)題。對(duì)艾滋病療法的研究，意義重大。,背 景,艾滋病的醫(yī)學(xué)全名為“獲得性免疫缺損綜合癥”，英文簡(jiǎn)稱AIDS，它是由艾滋病毒（醫(yī)學(xué)全名為“人體免疫缺損病毒”, 英文簡(jiǎn)稱HIV.引起的。這種病毒破壞人的免疫系統(tǒng)，使人體喪失抵抗各種疾病的能力，從而嚴(yán)重危

12、害人的生命。人類免疫系統(tǒng)的CD4細(xì)胞在抵御HIV的入侵中起著重要作用，當(dāng)CD4被HIV感染而裂解時(shí)，其數(shù)量會(huì)急劇減少，HIV將迅速增加，導(dǎo)致AIDS發(fā)作。,艾滋病治療的目的，是盡量減少人體內(nèi)HIV的數(shù)量，同時(shí)產(chǎn)生更多的CD4，至少要有效地降低CD4減少的速度，以提高人體免疫能力。 迄今為止人類還沒有找到能根治AIDS的療法，目前的一些AIDS療法不僅對(duì)人體有副作用，而且成本也很高。許多國(guó)家和醫(yī)療組織都在積極試驗(yàn)、尋找更好的AIDS療法。,問(wèn)題一,美國(guó)艾滋病醫(yī)療試驗(yàn)機(jī)構(gòu)ACTG公布的數(shù)據(jù)，ACTG320（見附件1）是同時(shí)服用zidovudine（齊多夫定），lamivudine（拉美夫定）和in

13、dinavir（茚地那韋）3種藥物的300多名病人每隔幾周測(cè)試的CD4和HIV的濃度（每毫升血液里的數(shù)量）。 利用附件1的數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)繼續(xù)治療的效果，或者確定最佳治療終止時(shí)間（繼續(xù)治療指在測(cè)試終止后繼續(xù)服藥，如果認(rèn)為繼續(xù)服藥效果不好，則可選擇提前終止治療）。,問(wèn)題二,美國(guó)艾滋病醫(yī)療試驗(yàn)機(jī)構(gòu)ACTG公布的數(shù)據(jù)，193A（見附件2）是將1300多名病人隨機(jī)地分為4組，每組按下述4種療法中的一種服藥，大約每隔8周測(cè)試的CD4濃度（這組數(shù)據(jù)缺HIV濃度，它的測(cè)試成本很高）。4種療法的日用藥分別為： 1. 600mg zidovudine或400mg didanosine（去羥基苷），這兩種藥按月輪換使用；

14、,2. 600 mg zidovudine加2.25 mg zalcitabine（扎西他濱）； 3. 600 mg zidovudine加400 mg didanosine； 4. 600 mg zidovudine加400 mg didanosine，再加400 mg nevirapine（奈韋拉平）。,利用附件2的數(shù)據(jù)，評(píng)價(jià)4種療法的優(yōu)劣（僅以CD4為標(biāo)準(zhǔn)），并對(duì)較優(yōu)的療法預(yù)測(cè)繼續(xù)治療的效果，或者確定最佳治療終止時(shí)間。,問(wèn)題三,艾滋病藥品的主要供給商對(duì)不發(fā)達(dá)國(guó)家提供的藥品價(jià)格如下：600mg zidovudine 1.60美元，400mg didanosine 0.85美元，2.25 mg zalcitabine 1.85美元，400 mg nevirapine 1.20美元。如果病人需要考慮4種療法的費(fèi)用，對(duì)問(wèn)題（2）中的評(píng)價(jià)和預(yù)測(cè)（或者提前終止）有什么改變。,CD4和HIV存在著密切的關(guān)系。HIV的靶細(xì)胞主要是CD4細(xì)胞，CD4細(xì)胞在抵御HIV的入侵中起著重要的作用。HIV感染CD4后，會(huì)利用CD4中的物質(zhì)翻譯