高等數(shù)學(xué)上冊(cè)

1、第三章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,1,中值定理,一、羅爾定理,條件： 在 上連續(xù)， 可導(dǎo)，,結(jié)論： 在 內(nèi)至少有一點(diǎn) ，st:,應(yīng)用：證明方程 根的問(wèn)題,例：設(shè)多項(xiàng)式,在 上有n個(gè)不同實(shí)根,證明 的所有,實(shí)根均在 內(nèi)。,證明：設(shè) 是 的實(shí)根，,：對(duì)用羅爾定理，,至少存在一點(diǎn),st:,類推： ，st:,導(dǎo)函數(shù) 為n-1次多項(xiàng)式，最多有n-1個(gè)實(shí)根,例：設(shè) 在 內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且：,，其中，,試證在 內(nèi)至少存在一點(diǎn) ，st:,證明：,在 ： 連續(xù)， 存在，,st:,二、拉格朗日中值定理,K切,y,x,a,b,條件： 在a,b連續(xù),在(a,b)可導(dǎo),結(jié)論：至 少一點(diǎn) ， st：,證明：引入輔助函數(shù) ，s

2、t： 在,(a,b)上滿足羅爾定理,應(yīng)用：（一）推論：,1. if： ，so： （常數(shù)）,2.證明恒等式,3.構(gòu)造輔助函數(shù)法：P.14 P.5,例：證明,證：令,以 代入，,（二）證明不等式,例：證明,證：令,利用拉格朗日定理，得：至少 ，st：,步驟：,1)令 區(qū)間；,2)用拉格朗日定理；,3)將 不等式。,三、柯西中值定理：, 洛必達(dá)法則：,未定式： 、 型（基本）,、 、 、 、 通過(guò)恒等變形，,可化成基本型，再用洛必達(dá)法則求,一、洛必達(dá)法則求 、 型,條件：,(1),(2) 、 存在,則,(3) 存在,注意：,(1) 滿足條件；,(2)洛必達(dá)法則可以反復(fù)使用，直到不是未定式為止。,例：

3、 型,(1),(2) （ 為任意R）,(3) （使用了兩次法則）,(4),(5) 原式,原式,不存在,洛比達(dá)法則失效,例： 型,(1),(2),注：,根據(jù)函數(shù) 圖像的走向,1) 時(shí)，,2) 時(shí)，,遇此情況需加討論,(3),或,二、其它未定式（5種） 通過(guò)恒等變形 或,1、 、 型,例：(1) 型,規(guī)律：此類型將 放其上,(2),(3),i) 取對(duì)數(shù) ii) 求所取對(duì)數(shù)的極限 iii)求原式的極限,2冪指型：,(1),解：,(2),解：,(3),型,解：,求極值問(wèn)題：,用單調(diào)性證明不等式,例：證明：當(dāng) 時(shí)，,證明：(1)令,函數(shù)單調(diào)遞減,注：,用二階導(dǎo)數(shù)符號(hào)確定一階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性,(2)令,函數(shù)

4、單調(diào)遞減,當(dāng) 時(shí)，, 單調(diào)遞減,當(dāng) 時(shí)，,例：求 的極值,解：D的定義域?yàn)?令,不存在點(diǎn),求極值步驟：,1. 求定義域D,2. 求 ，并令 ，得駐點(diǎn)及導(dǎo)數(shù),不存在的點(diǎn),3. 用 、 分區(qū)間，將D分區(qū)間列表討論,4. 由討論得 和,方法二用二階導(dǎo)數(shù),1. 求 得駐點(diǎn),2. 在駐點(diǎn)處討論二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)：,，極大； ，極小,注：,局限性：1、只能用于駐點(diǎn)處,2、一般用于三角函數(shù)的函數(shù)中,例： 在 上的極值,解：,或,（二階導(dǎo)數(shù)在三角函數(shù)中）,注意：,極值點(diǎn)、駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在點(diǎn)的取得,極值點(diǎn)不一定是駐點(diǎn),6,最大（?。┲祮?wèn)題,一、求閉區(qū)間上的最大最小值,1）求導(dǎo)數(shù)得駐點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)不存在點(diǎn) ,2）求函數(shù)值f

5、(x1)+(x2)f(a)+(b)進(jìn)行比較，,從而得結(jié)果。開區(qū)間求極大極小值。,（1）求導(dǎo)數(shù)駐點(diǎn)及導(dǎo)數(shù)不存在點(diǎn)。,（2）求函數(shù)值（不包括兩端點(diǎn)）。,特殊情況下求最大（小）值,1、（1）f(x)在a,b fwax為+（b）,（2）f(x)在a,b fwax為+（a）,2、f(x)在（a,b）內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)，（駐點(diǎn)唯一），,極小值最值,3、實(shí)際問(wèn)題當(dāng)駐點(diǎn)唯一時(shí)，可不討論直接得，,但需給出原因,例：運(yùn)費(fèi)最少 p（g）例2,x,A,D,C,B,3k,AB=100 AC=20 CDAB=5:3,求B到C最少運(yùn)費(fèi),5k,f(x)=3k（100-x）+5k,求f(x)=0 = x=15,再取f(0)=? f

6、(100)=? =最小值,7,曲線的凹凸和標(biāo)點(diǎn),x1,x2,1、 任取x1、x2,凹,凸,2、判定方法用二附導(dǎo)數(shù),凹,凸,3、拐點(diǎn),定義：,凹凸的分界點(diǎn)稱為拐點(diǎn)。,表示：,為坐標(biāo)（a,b）表示,步驟：,（1）求 及 不存在的點(diǎn),（2）在點(diǎn)的兩側(cè)討論符號(hào)，若兩側(cè)異號(hào),則為拐點(diǎn)，同號(hào)則不為拐點(diǎn)。,例：求下列曲線的拐點(diǎn),（1）,y=(2-x)5/3,do:y=-5/3(2-x)2/3,y”=10/9(2-x)-1/3=,不可能為0，但當(dāng)x=2時(shí)，y不存在,(-,2) (2,+),y ,y 凹 凸,= 拐點(diǎn)（2，+(2)）即（2，0）,（2）y=x1/3,do: y=-1/3x-2/3,y”=2/9x

7、-5/3,x=0時(shí)， y”不存在,(-,0) (0,+),y” ,y 凹 凸,= （0，+(0)）為拐點(diǎn),二、應(yīng)用證明不等式,例：試述xlnx+ylny(x+y)ln( ) (x0 y0 xy),證明：,令f(x)=xlnx,f(x)=lnx+1,f”(x)=1/x0,f(x) 凹,即,8,函數(shù)圖象的描繪,一、曲線的漸近線,1、定義：,曲線無(wú)限接近于直線，稱直線為曲線的漸近線。,分為：,水平漸近線,鉛直漸近線,(*) 斜漸近線,2、求法：,if,（常數(shù)）,so：y = a 水平漸近線,if,so: 鉛直漸近線,例：求下列曲線的漸近線,（1）,do：,無(wú)水平漸近線,x=-1為其鉛直漸近線,（2）

8、,do：,y=1為其水平漸近線,x=0為其鉛直漸近線,二、函數(shù)作圖,作圖步驟：,（1）確定函數(shù)的定義域,（2）考查函數(shù)的奇偶性（對(duì)稱性）,（3）求漸近線（求水平和鉛直）,（4）確定函數(shù)的增減區(qū)間，極值點(diǎn)，凹凸性，,拐點(diǎn)（列表）,（5）求出一些特殊點(diǎn)作用,例：作圖：,do: D-3 (-,-3)V(-3,+)，非奇非偶函數(shù),so y=1水平漸近線,so x=-3鉛直漸近線,x = 3 時(shí) y=0 , x = -3 , y不存在,x = 6 時(shí) y”=0 , x = -3 , y不存在,求特殊點(diǎn).過(guò)（0,1） f(0) f(3) f(6),-3,1,3,6,x,y,9,曲率 （刻化曲線的彎曲程度）

9、,一、弧微分,弧長(zhǎng)的微分公式（弧微分）,二、曲率計(jì)算公式,曲線的彎曲程度,1、公式,（已知y=f(x)）,4,0,2、曲率圖：曲率半徑p=1/K,習(xí)題評(píng)價(jià)：,如果f(x)為偶函數(shù)，且f(0)存在，證明f(0)=0,f(0)=-f(0) = f(0)=0,第四章 不定積分,1,一、概念,1、原函數(shù) 計(jì)：f(x)=f(x)，稱 f(x)是f(x),的一個(gè)原函數(shù),（1）f(x)連續(xù)一定有原函數(shù),（2）原函數(shù)的個(gè)數(shù)無(wú)窮多個(gè) f(x)+c,2、不定積分f(x)的所有原函數(shù)叫做f(x),的不定積分,（積分號(hào)） f(x)被積函數(shù) x積分變量,3、性質(zhì),（1）,（2）,二、基本積分表（六類基本函數(shù)求不定積分）

10、,1、,2、,=-arccosx+c,3、,=-arcctgx+c,4、,5、,6、,7、,8、,9、,10、,11、,12、,2,不定積分的計(jì)算.,一、直接積分法利用積分和性質(zhì).,(1),(2),(3), 不定積分中涉及到取絕對(duì)值的情況,時(shí)可不考慮.,(4),(5),(6),(7),(8),二、湊微分法（第一類.換元法）.,如,基本思想通過(guò)湊微分化為公式形式 用公式得結(jié)果.,(1),(2),(3),(4),(5),驗(yàn)證：求導(dǎo)得被積函數(shù),第二類 利用冪函數(shù)的微積分公式湊微,=,=,=,例 (1),(2),(3),(4),(5),雙曲函數(shù)：,雙曲正弦：,（奇）,雙曲余弦：,（偶）,雙曲正切：,（

11、奇）,幾種換元積分形式 :,注意：在計(jì)算形如 （m,n為非負(fù)整數(shù)）,的積分時(shí)，若m,n中至少有一個(gè)奇數(shù)，如m為奇數(shù)，,可將 湊成微分 從而轉(zhuǎn)化為冪,函數(shù)的積分，若n和m均為偶數(shù)，一般可用倍角,公式降低被積函數(shù)的方次，然后再進(jìn)行積分。,第三類 利用指數(shù).指數(shù)函數(shù)的微分公式湊微分。,對(duì)數(shù)函數(shù),例 (1),(2),(3),（即求復(fù)合函數(shù)的逆運(yùn)算）,(4),指數(shù)函數(shù),(1),(2),(3),(4),第四類 利用三角函數(shù)，反三角函數(shù)的微分公式微分。,(1),(2),(3),(4),(5),公式：,湊微分法,三、 第二類換元法（去根號(hào)）,（1）,a,x,x = asint sint =,(2),即: 時(shí),令,(3),當(dāng)含有 時(shí),令,if,3,分步積分法,公式:,兩端同時(shí)對(duì)x積分:,應(yīng)用 :,(1)u,v的選擇-規(guī)律,(2)適用范圍,情形1:,當(dāng)被積函數(shù)f(x)含有冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),用分,步積分法,當(dāng)被積函數(shù)f(x)含有冪函數(shù),三角函數(shù),令,(1),(2),其中 中的n次方?jīng)Q定了用分步積分法的次數(shù),