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1、第三章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,1,中值定理,一、羅爾定理,條件: 在 上連續(xù), 可導(dǎo),,結(jié)論: 在 內(nèi)至少有一點(diǎn) ,st:,應(yīng)用:證明方程 根的問(wèn)題,例:設(shè)多項(xiàng)式,在 上有n個(gè)不同實(shí)根,證明 的所有,實(shí)根均在 內(nèi)。,證明:設(shè) 是 的實(shí)根,,:對(duì)用羅爾定理,,至少存在一點(diǎn),st:,類推: ,st:,導(dǎo)函數(shù) 為n-1次多項(xiàng)式,最多有n-1個(gè)實(shí)根,例:設(shè) 在 內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù),且:,,其中,,試證在 內(nèi)至少存在一點(diǎn) ,st:,證明:,在 : 連續(xù), 存在,,st:,二、拉格朗日中值定理,K切,y,x,a,b,條件: 在a,b連續(xù),在(a,b)可導(dǎo),結(jié)論:至 少一點(diǎn) , st:,證明:引入輔助函數(shù) ,s

2、t: 在,(a,b)上滿足羅爾定理,應(yīng)用:(一)推論:,1. if: ,so: (常數(shù)),2.證明恒等式,3.構(gòu)造輔助函數(shù)法:P.14 P.5,例:證明,證:令,以 代入,,(二)證明不等式,例:證明,證:令,利用拉格朗日定理,得:至少 ,st:,步驟:,1)令 區(qū)間;,2)用拉格朗日定理;,3)將 不等式。,三、柯西中值定理:, 洛必達(dá)法則:,未定式: 、 型(基本),、 、 、 、 通過(guò)恒等變形,,可化成基本型,再用洛必達(dá)法則求,一、洛必達(dá)法則求 、 型,條件:,(1),(2) 、 存在,則,(3) 存在,注意:,(1) 滿足條件;,(2)洛必達(dá)法則可以反復(fù)使用,直到不是未定式為止。,例:

3、 型,(1),(2) ( 為任意R),(3) (使用了兩次法則),(4),(5) 原式,原式,不存在,洛比達(dá)法則失效,例: 型,(1),(2),注:,根據(jù)函數(shù) 圖像的走向,1) 時(shí),,2) 時(shí),,遇此情況需加討論,(3),或,二、其它未定式(5種) 通過(guò)恒等變形 或,1、 、 型,例:(1) 型,規(guī)律:此類型將 放其上,(2),(3),i) 取對(duì)數(shù) ii) 求所取對(duì)數(shù)的極限 iii)求原式的極限,2冪指型:,(1),解:,(2),解:,(3),型,解:,求極值問(wèn)題:,用單調(diào)性證明不等式,例:證明:當(dāng) 時(shí),,證明:(1)令,函數(shù)單調(diào)遞減,注:,用二階導(dǎo)數(shù)符號(hào)確定一階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性,(2)令,函數(shù)

4、單調(diào)遞減,當(dāng) 時(shí),, 單調(diào)遞減,當(dāng) 時(shí),,例:求 的極值,解:D的定義域?yàn)?令,不存在點(diǎn),求極值步驟:,1. 求定義域D,2. 求 ,并令 ,得駐點(diǎn)及導(dǎo)數(shù),不存在的點(diǎn),3. 用 、 分區(qū)間,將D分區(qū)間列表討論,4. 由討論得 和,方法二用二階導(dǎo)數(shù),1. 求 得駐點(diǎn),2. 在駐點(diǎn)處討論二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào):,,極大; ,極小,注:,局限性:1、只能用于駐點(diǎn)處,2、一般用于三角函數(shù)的函數(shù)中,例: 在 上的極值,解:,或,(二階導(dǎo)數(shù)在三角函數(shù)中),注意:,極值點(diǎn)、駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在點(diǎn)的取得,極值點(diǎn)不一定是駐點(diǎn),6,最大(?。┲祮?wèn)題,一、求閉區(qū)間上的最大最小值,1)求導(dǎo)數(shù)得駐點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)不存在點(diǎn) ,2)求函數(shù)值f

5、(x1)+(x2)f(a)+(b)進(jìn)行比較,,從而得結(jié)果。開區(qū)間求極大極小值。,(1)求導(dǎo)數(shù)駐點(diǎn)及導(dǎo)數(shù)不存在點(diǎn)。,(2)求函數(shù)值(不包括兩端點(diǎn))。,特殊情況下求最大(小)值,1、(1)f(x)在a,b fwax為+(b),(2)f(x)在a,b fwax為+(a),2、f(x)在(a,b)內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn),(駐點(diǎn)唯一),,極小值最值,3、實(shí)際問(wèn)題當(dāng)駐點(diǎn)唯一時(shí),可不討論直接得,,但需給出原因,例:運(yùn)費(fèi)最少 p(g)例2,x,A,D,C,B,3k,AB=100 AC=20 CDAB=5:3,求B到C最少運(yùn)費(fèi),5k,f(x)=3k(100-x)+5k,求f(x)=0 = x=15,再取f(0)=? f

6、(100)=? =最小值,7,曲線的凹凸和標(biāo)點(diǎn),x1,x2,1、 任取x1、x2,凹,凸,2、判定方法用二附導(dǎo)數(shù),凹,凸,3、拐點(diǎn),定義:,凹凸的分界點(diǎn)稱為拐點(diǎn)。,表示:,為坐標(biāo)(a,b)表示,步驟:,(1)求 及 不存在的點(diǎn),(2)在點(diǎn)的兩側(cè)討論符號(hào),若兩側(cè)異號(hào),則為拐點(diǎn),同號(hào)則不為拐點(diǎn)。,例:求下列曲線的拐點(diǎn),(1),y=(2-x)5/3,do:y=-5/3(2-x)2/3,y”=10/9(2-x)-1/3=,不可能為0,但當(dāng)x=2時(shí),y不存在,(-,2) (2,+),y ,y 凹 凸,= 拐點(diǎn)(2,+(2))即(2,0),(2)y=x1/3,do: y=-1/3x-2/3,y”=2/9x

7、-5/3,x=0時(shí), y”不存在,(-,0) (0,+),y” ,y 凹 凸,= (0,+(0))為拐點(diǎn),二、應(yīng)用證明不等式,例:試述xlnx+ylny(x+y)ln( ) (x0 y0 xy),證明:,令f(x)=xlnx,f(x)=lnx+1,f”(x)=1/x0,f(x) 凹,即,8,函數(shù)圖象的描繪,一、曲線的漸近線,1、定義:,曲線無(wú)限接近于直線,稱直線為曲線的漸近線。,分為:,水平漸近線,鉛直漸近線,(*) 斜漸近線,2、求法:,if,(常數(shù)),so:y = a 水平漸近線,if,so: 鉛直漸近線,例:求下列曲線的漸近線,(1),do:,無(wú)水平漸近線,x=-1為其鉛直漸近線,(2)

8、,do:,y=1為其水平漸近線,x=0為其鉛直漸近線,二、函數(shù)作圖,作圖步驟:,(1)確定函數(shù)的定義域,(2)考查函數(shù)的奇偶性(對(duì)稱性),(3)求漸近線(求水平和鉛直),(4)確定函數(shù)的增減區(qū)間,極值點(diǎn),凹凸性,,拐點(diǎn)(列表),(5)求出一些特殊點(diǎn)作用,例:作圖:,do: D-3 (-,-3)V(-3,+),非奇非偶函數(shù),so y=1水平漸近線,so x=-3鉛直漸近線,x = 3 時(shí) y=0 , x = -3 , y不存在,x = 6 時(shí) y”=0 , x = -3 , y不存在,求特殊點(diǎn).過(guò)(0,1) f(0) f(3) f(6),-3,1,3,6,x,y,9,曲率 (刻化曲線的彎曲程度)

9、,一、弧微分,弧長(zhǎng)的微分公式(弧微分),二、曲率計(jì)算公式,曲線的彎曲程度,1、公式,(已知y=f(x)),4,0,2、曲率圖:曲率半徑p=1/K,習(xí)題評(píng)價(jià):,如果f(x)為偶函數(shù),且f(0)存在,證明f(0)=0,f(0)=-f(0) = f(0)=0,第四章 不定積分,1,一、概念,1、原函數(shù) 計(jì):f(x)=f(x),稱 f(x)是f(x),的一個(gè)原函數(shù),(1)f(x)連續(xù)一定有原函數(shù),(2)原函數(shù)的個(gè)數(shù)無(wú)窮多個(gè) f(x)+c,2、不定積分f(x)的所有原函數(shù)叫做f(x),的不定積分,(積分號(hào)) f(x)被積函數(shù) x積分變量,3、性質(zhì),(1),(2),二、基本積分表(六類基本函數(shù)求不定積分)

10、,1、,2、,=-arccosx+c,3、,=-arcctgx+c,4、,5、,6、,7、,8、,9、,10、,11、,12、,2,不定積分的計(jì)算.,一、直接積分法利用積分和性質(zhì).,(1),(2),(3), 不定積分中涉及到取絕對(duì)值的情況,時(shí)可不考慮.,(4),(5),(6),(7),(8),二、湊微分法(第一類.換元法).,如,基本思想通過(guò)湊微分化為公式形式 用公式得結(jié)果.,(1),(2),(3),(4),(5),驗(yàn)證:求導(dǎo)得被積函數(shù),第二類 利用冪函數(shù)的微積分公式湊微,=,=,=,例 (1),(2),(3),(4),(5),雙曲函數(shù):,雙曲正弦:,(奇),雙曲余弦:,(偶),雙曲正切:,(

11、奇),幾種換元積分形式 :,注意:在計(jì)算形如 (m,n為非負(fù)整數(shù)),的積分時(shí),若m,n中至少有一個(gè)奇數(shù),如m為奇數(shù),,可將 湊成微分 從而轉(zhuǎn)化為冪,函數(shù)的積分,若n和m均為偶數(shù),一般可用倍角,公式降低被積函數(shù)的方次,然后再進(jìn)行積分。,第三類 利用指數(shù).指數(shù)函數(shù)的微分公式湊微分。,對(duì)數(shù)函數(shù),例 (1),(2),(3),(即求復(fù)合函數(shù)的逆運(yùn)算),(4),指數(shù)函數(shù),(1),(2),(3),(4),第四類 利用三角函數(shù),反三角函數(shù)的微分公式微分。,(1),(2),(3),(4),(5),公式:,湊微分法,三、 第二類換元法(去根號(hào)),(1),a,x,x = asint sint =,(2),即: 時(shí),令,(3),當(dāng)含有 時(shí),令,if,3,分步積分法,公式:,兩端同時(shí)對(duì)x積分:,應(yīng)用 :,(1)u,v的選擇-規(guī)律,(2)適用范圍,情形1:,當(dāng)被積函數(shù)f(x)含有冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),用分,步積分法,當(dāng)被積函數(shù)f(x)含有冪函數(shù),三角函數(shù),令,(1),(2),其中 中的n次方?jīng)Q定了用分步積分法的次數(shù),

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