《工學(xué)二重積分》PPT課件.ppt

1、第一節(jié) 二重積分的概念與性質(zhì),一、問題的提出 二、二重積分的概念 三、二重積分的性質(zhì) 四、小結(jié) 思考題,特點：平頂.,柱體體積=？,特點：曲頂.,曲頂柱體,曲頂柱體的體積,一、問題的提出,播放,求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和、取極限”的方法，如下動畫演示,步驟如下：,用若干個小平 頂柱體體積之 和近似表示曲 頂柱體的體積，,先分割曲頂柱體的底，并取典型小區(qū)域，,曲頂柱體的體積,求平面薄片的質(zhì)量,將薄片分割成若干小塊，,取典型小塊，將其近似 看作均勻薄片，,所有小塊質(zhì)量之和 近似等于薄片總質(zhì)量,二、二重積分的概念,積分區(qū)域,積分和,被積函數(shù),積分變量,被積表達式,面積元素,對二重積分定義的說

2、明：,二重積分的幾何意義,當被積函數(shù)大于零時，二重積分是柱體的體積,當被積函數(shù)小于零時，二重積分是柱體的體積的負值,在直角坐標系下用平行于坐標軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)域D，,故二重積分可寫為,則面積元素為,性質(zhì),當 為常數(shù)時，,性質(zhì),（二重積分與定積分有類似的性質(zhì)）,三、二重積分的性質(zhì),性質(zhì),對區(qū)域具有可加性,性質(zhì),若 為D的面積，,性質(zhì),若在D上,特殊地,則有,性質(zhì),性質(zhì),（二重積分中值定理）,（二重積分估值不等式）,解,解,解,解,二重積分的定義,二重積分的性質(zhì),二重積分的幾何意義,（曲頂柱體的體積）,（和式的極限）,四、小結(jié),思考題,將二重積分定義與定積分定義進行比較，找出它們的相同之處與不同

3、之處.,定積分與二重積分都表示某個和式的極限值，且此值只與被積函數(shù)及積分區(qū)域有關(guān)不同的是定積分的積分區(qū)域為區(qū)間，被積函數(shù)為定義在區(qū)間上的一元函數(shù)，而二重積分的積分區(qū)域為平面區(qū)域，被積函數(shù)為定義在平面區(qū)域上的二元函數(shù),思考題解答,練 習(xí) 題,練習(xí)題答案,求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和、取極限”的方法，如下動畫演示,求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和、取極限”的方法，如下動畫演示,求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和、取極限”的方法，如下動畫演示,求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和、取極限”的方法，如下動畫演示,求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和、取極限”的方法，如下動畫演示,求曲頂柱體的體積采

4、用 “分割、求和、取極限”的方法，如下動畫演示,第二節(jié) 二重積分的計算法（1）,一、利用直角坐標系計算二重積分 二、小結(jié) 思考題,如果積分區(qū)域為：,其中函數(shù) 、 在區(qū)間 上連續(xù).,一、利用直角坐標系計算二重積分,X型,應(yīng)用計算“平行截面面積為已知的立體求體積”的方法,得,如果積分區(qū)域為：,Y型,X型區(qū)域的特點： 穿過區(qū)域且平行于y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.,Y型區(qū)域的特點：穿過區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.,若區(qū)域如圖，,在分割后的三個區(qū)域上分別使用積分公式,則必須分割.,解,積分區(qū)域如圖,解,積分區(qū)域如圖,解,原式,解,解,解,解,曲面圍成的立體如圖.,二重

5、積分在直角坐標下的計算公式,（在積分中要正確選擇積分次序）,二、小結(jié),Y型,X型,思考題,思考題解答,練 習(xí) 題,練習(xí)題答案,第三節(jié) 二重積分的計算法（2）,一、利用極坐標系計算二重積分 二、小結(jié) 思考題,一、利用極坐標系計算二重積分,二重積分化為二次積分的公式（）,區(qū)域特征如圖,區(qū)域特征如圖,二重積分化為二次積分的公式（）,區(qū)域特征如圖,極坐標系下區(qū)域的面積,二重積分化為二次積分的公式（）,區(qū)域特征如圖,解,解,解,解,解,解,二重積分在極坐標下的計算公式,（在積分中注意使用對稱性）,二、小結(jié),思考題,思考題解答,練 習(xí) 題,練習(xí)題答案,第四節(jié) 二重積分的計算法（3）,一、二重積分的換元法

6、二、小結(jié) 思考題,一、二重積分的換元法,例1,解,例2,解,二、小結(jié),基本要求:變換后定限簡便，求積容易,思考題,思考題解答,練 習(xí) 題,練習(xí)題答案,第五節(jié) 二重積分的應(yīng)用,一、問題的提出 二、曲面的面積 三、平面薄片的重心 四、平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量 五、平面薄片對質(zhì)點的引力 六、小結(jié) 思考題,一、問題的提出,把定積分的元素法推廣到二重積分的應(yīng)用中.,若要計算的某個量U對于閉區(qū)域D具有可加性(即當閉區(qū)域D分成許多小閉區(qū)域時，所求量U相應(yīng)地分成許多部分量，且U等于部分量之和)，并且在閉區(qū)域D內(nèi)任取一個直徑很小的閉區(qū)域 時，相應(yīng)地部分量可近似地表示為 的形式，其中 在 內(nèi)這個 稱為所求量U的元素，記

7、為 ，所求量的積分表達式為,二、曲面的面積,設(shè)曲面的方程為：,如圖，,曲面S的面積元素,曲面面積公式為：,設(shè)曲面的方程為：,曲面面積公式為：,設(shè)曲面的方程為：,曲面面積公式為：,同理可得,解,解,解方程組,得兩曲面的交線為圓周,在 平面上的投影域為,三、平面薄片的重心,當薄片是均勻的，重心稱為形心.,由元素法,解,四、平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量,薄片對于 軸的轉(zhuǎn)動慣量,薄片對于 軸的轉(zhuǎn)動慣量,解,解,薄片對 軸上單位質(zhì)點的引力,為引力常數(shù),五、平面薄片對質(zhì)點的引力,解,由積分區(qū)域的對稱性知,所求引力為,幾何應(yīng)用：曲面的面積,物理應(yīng)用：重心、轉(zhuǎn)動慣量、,對質(zhì)點的引力,（注意審題，熟悉相關(guān)物理知識）,六、

8、小結(jié),思考題,薄片關(guān)于 軸對稱,思考題解答,練 習(xí) 題,練習(xí)題答案,第六節(jié) 三重積分,一、三重積分的定義 二、三重積分的計算 三、小結(jié) 思考題,直角坐標系中將三重積分化為三次積分,二、三重積分的計算,如圖，,得,注意,解,解,如圖，,解,解,原式,解,如圖,三重積分的定義和計算,在直角坐標系下的體積元素,（計算時將三重積分化為三次積分）,三、小結(jié),思考題,選擇題:,練 習(xí) 題,練習(xí)題答案,第七節(jié) 三重積分的計算,一、利用柱面坐標計算三重積分 二、利用球面坐標計算三重積分 三、小結(jié) 思考題,一、利用柱面坐標計算三重積分,規(guī)定：,柱面坐標與直角坐標的關(guān)系為,如圖，三坐標面分別為,圓柱面；,半平面；

9、,平 面,如圖，柱面坐標系中的體積元素為,解,知交線為,解,所圍成的立體如圖，,所圍成立體的投影區(qū)域如圖，,二、利用球面坐標計算三重積分,規(guī)定：,如圖，三坐標面分別為,圓錐面；,球 面；,半平面,球面坐標與直角坐標的關(guān)系為,如圖，,球面坐標系中的體積元素為,如圖，,解,補充：利用對稱性化簡三重積分計算,使用對稱性時應(yīng)注意：,、積分區(qū)域關(guān)于坐標面的對稱性；,、被積函數(shù)在積分區(qū)域上的關(guān)于三個坐標軸的,奇偶性,解,積分域關(guān)于三個坐標面都對稱，,被積函數(shù)是 的奇函數(shù),解,（1） 柱面坐標的體積元素,（2） 球面坐標的體積元素,（3） 對稱性簡化運算,三重積分換元法,柱面坐標,球面坐標,三、小結(jié),思考題

10、,練 習(xí) 題,練習(xí)題答案,第八節(jié) 含參變量的積分,一、含參變量積分的連續(xù)性 二、含參變量的函數(shù)的微分 三、萊布尼茨公式 四、小結(jié) 思考題,一、含參變量積分的連續(xù)性,證,設(shè) 和 是 上的兩點，則,這里變量 在積分過程中是一個常量，通常稱它為參變量.,就有,于是由（1）式有,所以 在 上連續(xù). 定理得證,右端積分式函數(shù) 先對 后對 的二次積分.,公式（2）也可寫成,我們在實際中還會遇到對于參變量 的不同的值，積分限也不同的情形，這時積分限也是參變量 的函數(shù).這樣,積分,也是參變量 的函數(shù).下面我們考慮這種更為廣泛地依賴于參變量的積分的某些性質(zhì).,證,設(shè) 和 是 上的兩點，則,當 時，上式右端最后一

11、個積分的積分限不變，,根據(jù)證明定理1時同樣的理由，這個積分趨于零.又,其中 是 在矩形 上的最大值. 根據(jù) 與 在 上連續(xù)的假定，由以上兩式可見， 當 時，（4）式右端的前兩個積分都趨于零. 于是，當 時，,所以函數(shù) 在 上連續(xù). 定理得證,下面考慮由積分(*)確定的函數(shù) 的微分問題.,二、含參變量的函數(shù)的微分,為了求 ，先利用公式(1)作出增量之比,由拉格朗日中值定理，以及 的一致連續(xù)性，我們有,這就是說,綜上所述有,令 取上式的極限，即得公式（5）.,三、萊布尼茨公式,證,由(4)式有,當 時，上式右端的第一個積分的積分限不變，則,對于(8)右端的第二項，應(yīng)用積分中值定理得,其中 在 與 之間. 當 時,類似地可證,當 時,因此，令 ，取(8)式的極限便得公式(7).,公式(7)稱為萊布尼茨公式.,于是,應(yīng)用萊布尼茨公式，得,解