計量經(jīng)濟學——虛擬解釋變量模型

1、.,1,計量經(jīng)濟學虛擬解釋變量模型,在經(jīng)濟計量模型中除了有量的因素外還有質(zhì)的因素，質(zhì)的因素包括被解釋變量為質(zhì)的因素和解釋變量為質(zhì)的因素。如果被解釋變量為質(zhì)的因素，主要是邏輯回歸要涉及的內(nèi)容。本章就解釋變量為質(zhì)的因素也就是存在虛擬解釋變量時如何進行參數(shù)估計等一系列問題進行討論。,.,2,第一節(jié) 引 言,在經(jīng)濟計量分析中， 經(jīng)常會碰到所建模型的被解釋變量不僅受諸如收入、產(chǎn)量、價格、 成本、需求、投資等數(shù)量變量的影響，而且也受到諸如戰(zhàn)爭、自然災害、國際環(huán)境、季節(jié)變動以及政府經(jīng)濟政策變動等質(zhì)量變量的影響。建立經(jīng)濟計量模型若不考慮這些質(zhì)量變量的影響作用，顯然是不適宜的。,.,3,所以，在建立經(jīng)濟計量模型

2、時，即要考慮數(shù)量變量，也要考慮質(zhì)量變量。但是，質(zhì)量變量和數(shù)量變量不同，數(shù)量變量可以在事前規(guī)定好的尺度上，用不同的數(shù)值表現(xiàn)出來，質(zhì)量變量卻只能以屬性、種類的不同具體形式表現(xiàn)出來。,.,4,例如，性別可表現(xiàn)為男或女；人種可表現(xiàn)為白種人和非白種人；宗教信仰可表現(xiàn)為教徒和非教徒；政府的經(jīng)濟政策可表現(xiàn)為改革開放前和改革開放后，如此等等。,.,5,顯然，這種不同的具體形式是無法直接引入經(jīng)濟計量模型中去的。但由于這類變量通常表現(xiàn)為品質(zhì)、屬性、種類的出現(xiàn)或者未出現(xiàn)，所以我們可以根據(jù)質(zhì)量變量的這一特征將其數(shù)量化。給定某一質(zhì)量變量某屬性的出現(xiàn)為1，未出現(xiàn)為0，稱這樣的變量為虛擬變量。,.,6,當然，把哪種情況取0

3、，哪種情況取1要視研究情況而定。0和1只是一個符號而已，不代表他們有高低的意義。我們可以把男性設(shè)為1，也可以設(shè)為0，得到的結(jié)果是一致的。 這樣就可以把量化的質(zhì)量變量引入經(jīng)濟計量模型中，以便進一步進行數(shù)學處理。,.,7,需要指出的是，虛擬變量主要是用來代表質(zhì)的因素，但是有些情況下也可以用來代表數(shù)量因素。例如在建立儲蓄函數(shù)時，“收入”顯然是一個重要解釋變量，雖然是“數(shù)量”因素，但是為了方便也可以用虛擬變量表示。,.,8,虛擬解釋變量模型的設(shè)定因為質(zhì)的因素的多少和這些因素特征的多少而引入的虛擬變量也會不同。,第二節(jié) 虛擬解釋變量的設(shè)定,.,9,以一個最簡單的虛擬變量模型為例，如果只包含一個質(zhì)的因素，

4、而且這個因素僅有兩個特征，則回歸模型中只需引入一個虛擬變量。如果是含有多個質(zhì)的因素， 自然要引入多個虛擬變量。,.,10,如果只有一個質(zhì)的因素，且具有m個特征，那么如果是含有截距項的，就要引入m-1個虛擬變量；不含有截距項的， 應該引入m個虛擬變量，這就是虛擬變量的設(shè)定原則。,.,11,一 、截距變動模型和斜率變動模型,（一）包含一個虛擬變量的截距變動模型 首先從最簡單的例子入手，假設(shè)只有一個定性因素影響被解釋變量的變化，而且這個因素僅有兩種特征，這時候只需要引入一個虛擬變量。,.,12,【例8.1】假設(shè)有一個包括正常年份和非正常年份（亞洲金融危機或SARS的影響）居民消費的樣本，并打算用這些

5、數(shù)據(jù)估計消費函數(shù)。由于在正常年份和非正常年份居民在消費水平上存在明顯差異，所以一些外界的影響是一個重要的解釋變量。,.,13,用一個虛擬變量來表示這個質(zhì)的因素，消費函數(shù)為,式中，Yi=第個居民的消費水平，Xi=第個居民的收入水平，D為虛擬變量。我們用D=1表示正常年份這一特征，用D=0來表示非正常年份,（8.1）,.,14,假設(shè)E（u i）=0，式（8.1）可以寫成,（8.3）,（8.2）,.,15,式（8.2）和式（8.3）分別為正常年份和非正常年份的居民消費水平。二者具有相同的斜率，但是截距不同。,.,16,對 1 作t 檢驗，若 1 顯著地不為0，我們就認為正常年份和非正常年份居民在消費

6、行為上的差異是明顯的。若 1 0，則正常年份的居民消費水平高于非正常年份的居民消費水平。,利用最小二乘法對式（8.1）進行估計，可得到,（8.4）,.,17,通過例8.1，我們可以找出虛擬變量模型的一些特征。,用“1”來代表質(zhì)的因素的哪個特征是可以任意設(shè)定的。我們一般認為，“1”代表具有某些特征，但沒有具體規(guī)定。在上例中，也可以指定D=1時為非正常年份，而D=0就必然為正常年份。在這種情況下，正常年份和非正常年份的消費函數(shù)分別為,.,18,如果我們繪制圖形，得到的結(jié)果仍然是一樣的。此時，1，非正常年份的線低于正常年份的線，代表非正常年份的消費水平低于正常年份的消費水平。,.,19,虛擬變量D=

7、0所代表的特性或狀態(tài)通常稱為基礎(chǔ)類型。和其它特征或狀態(tài)比較的意義上說，基礎(chǔ)類型為對比的基礎(chǔ)，在式（8.）和式（8.）中，非正常年份就是基礎(chǔ)類型，而在式（8.5）和式（8.6）中，正常年份就是基礎(chǔ)類型。模型中的系數(shù)0 為基礎(chǔ)類型的截距項，稱為公共截距項；系數(shù)1 稱為差別截距系數(shù)，指的是D取1時截距系數(shù)和基礎(chǔ)類型的截距系數(shù)的差異。,.,20,如果一個回歸模型有截距項，而且這個質(zhì)的因素又有兩種特征，也就是將其分兩類，則我們只需要引入一個虛擬變量。如我們的例8.1所示。如果一個回歸方程有截距項，只有一個質(zhì)的因素影響被解釋變量，它有個m特征，我們就要引入m-1個虛擬變量；,.,21,如果回歸方程沒有截距

8、項，那么這個質(zhì)的因素有多少個特征就要設(shè)多少個虛擬變量，這就是虛擬變量的使用原則。如果虛擬變量設(shè)定不當，會使最小二乘法無解，稱這種情況為虛擬變量陷阱。,.,22,下面就用線性代數(shù)中的知識來說明這一點。同樣用例8.1，引入兩個虛擬變量對有截距項和沒有截距項的情況分別討論。 (1)對有截距項的情況，我們?nèi)绻O(shè)兩個虛擬變量，則回歸模型為,（8.7）,.,23,式(8.7)也可表示為,其中， ，顯然如下等式成立。,（8.8）,（8.9）,.,24,式(8.9)表明模型(8.8)即原模型(8.7)中有完全的多重共線性，將導致最小二乘估計無解。我們稱該情景為掉入虛擬變量陷阱。所以，在有截距項的情況下，如果一

9、個質(zhì)的因素有多少個特征就引入多少個虛擬變量是行不通的。,.,25,(2)對沒有截距的情況，我們?nèi)绻O(shè)兩個虛擬變量，,顯然模型(8.10)中，解釋變量D1,D2和X之間無完全的多重共線性?？梢允褂闷胀ㄗ钚《朔ü烙嬍剑?.10）的參數(shù)。,（8.10）,.,26,（二）斜率變動模型 在實際問題中，斜率單獨變動出現(xiàn)的情形一般比較少，它指的是改變了變動的速率也就是彈性。 例如城鎮(zhèn)居民家庭與農(nóng)村居民家庭的消費函數(shù)， 在邊際消費傾向（斜率）上可能會有所不同，假設(shè)它們的消費函數(shù)在截距項沒有區(qū)別。,.,27,那么回歸模型可記為,（8.11）,其中，Yi=第個家庭的消費水平，Xi=第個家庭的收入水平，,.,28

10、,式（8.11）可以表示為,（8.12） （8.13）,.,29,（三）包含多個虛擬變量的截距變動模型 如果一個質(zhì)的因素僅有兩種特征，只需引入一個虛擬變量。但是，很多質(zhì)的因素往往不只具有兩個特征，例如全世界的國家可以分為發(fā)達國家、發(fā)展中國家、不發(fā)達國家。,.,30,我國少數(shù)民族在很多問題上有差異，所以當把民族作為虛擬變量時，不能簡單將其分為漢族和非漢族；季節(jié)因素是我們最常見的質(zhì)的因素，它具有四個特征，按照前面的原則，我們要引入三個虛擬變量。,.,31,例如，我們用季度資料研究各種商品消費額在季節(jié)上有沒有什么區(qū)別？可以建立模型如下：,（8.14）,其中，Yt=季度的消費，Xt=季度的收入，對于四

11、個季度，我們引入了三個虛擬變量：,.,32,這里，第四季度為基礎(chǔ)類型，其截距項為0 。而其它三個季度的截距項分別為 0+ 1，0+ 2 ，0+ 3 。1，2 , 3 代表季節(jié)變動引起的消費差異。,.,33,四個季度的回歸模型分別為,（8.15） （8.16） （8.17） （8.18）,.,34,（四）截距和斜率同時變動模型 在多數(shù)情況下，質(zhì)的因素不但對回歸模型的截距有影響，而且還會改變模型的斜率。例如城鎮(zhèn)居民和農(nóng)村居民的消費函數(shù)不但在斜率上有差異，在截距上也是有可能不一致的，將兩個問題同時考慮進來，我們可以得到回歸方程,.,35,（8.19）,式中，Yi=第個家庭的消費水平，Xi=第個家庭的

12、收入水平，,.,36,1和 3 分別表示城鎮(zhèn)居民家庭和農(nóng)村居民家庭的消費函數(shù)在截距和斜率上的差異。,式（8.19）可以表示為,（8.20） （8.21）,.,37,我們一般通過t 檢驗來判定它們之間是否有差異。 1. 若10 ，30，則為截距和斜率同時變動模型； 2. 若 10,3=0，則為截距變動模型； 3. 若 1=0，3=0, 則表示城鎮(zhèn)居民家庭和農(nóng)村居 民家庭有著完全相同的消費模式； 4. 若 1=0，30,則為斜率變動模型，這種情況在現(xiàn)實中出現(xiàn)得不是很多。,.,38,下面，以我國的農(nóng)村和城市的消費樣本為例，實際體會虛擬變量模型從建模到檢驗再到估計參數(shù)最后下結(jié)論的全過程。 【例8.2】

13、已有數(shù)據(jù)資料為我國城鎮(zhèn)居民家庭1955年至1985年人均收入和人均儲蓄。根據(jù)經(jīng)驗，也就是先驗信息，再通過某些檢驗，我們發(fā)現(xiàn)儲蓄和收入有很強的相關(guān)關(guān)系而且收入的變化會引起儲蓄的變化。,.,39,假定它們之間為線性關(guān)系，我們可以建立儲蓄模型如下,式中，St=人均儲蓄，Xt=人均收入，t=年份（t=1955，1956，1985）。,（8.22）,.,40,把1955年作為基期并把該期的價格水平定為100，再分別扣除包含在和中的物價上漲因素。用最小二乘法估計式（8.22），得到,R2 =0.833， DW=0.398,（8.22）,.,41,模型（8.23）包含了這樣一個假定，那就是在1955到198

14、5年期間我國城鎮(zhèn)居民家庭的儲蓄行為大體保持不變。 這一假定實際上是行不通的，因為在十一屆三中全會召開之后，居民的收入大大增加，而且與居民儲蓄有關(guān)的許多重要因素在1979年以后發(fā)生了明顯變化。在改革開放之前， 我國居民的收入水平僅僅能夠維持溫飽水平，根本不可能有多少儲蓄；,.,42,1979年以后，我國居民的收入水平大幅度提高，同時，居民儲蓄也在大幅度增長。從這些可以看出來，1979年前后兩個時期，我國居民的邊際儲蓄傾向有顯著性差異。,.,43,在改革開放前的大多數(shù)年份, 我國的消費市場常常是供不應求, 許多商品要國家下達計劃指標, 居民憑票證購買, 經(jīng)常出現(xiàn)的問題是顧客即使有錢也難買到需要的商

15、品, 就不得不把錢存起來。這時候的儲蓄就帶有非自愿的性質(zhì)。,.,44,而在1979年以后, 物資逐漸豐富, 商品的買賣也取消了票證的限制, 消費者儲蓄的主要目的之一是購買高檔耐用消費品，儲蓄不再具有“被迫”的性質(zhì)。,.,45,為了驗證城鎮(zhèn)居民的儲蓄行為是否有顯著變化, 可以建立下面的截距和斜率同時變動模型。,（8.24）,式中, St和Xt仍代表人均儲蓄和人均收入, D為虛擬變量，,.,46,用最小二乘法估計式(8.24), 可以得到,（8.25）,.,47,其中, 參數(shù)估計值下面括號中的數(shù)字為統(tǒng)計值。顯然, 在1979年前后儲蓄模型的截距和斜率有明顯差異。式(8.25)可以寫為兩個方程,（8

16、.26） （8.27）,.,48,由以上模型可知，我國城鎮(zhèn)居民的邊際儲蓄傾向在1979年以前僅為0.004, 也就是收入增加1元, 儲蓄平均增加4厘; 而從1979年到1985年這段時間, 城鎮(zhèn)居民的邊際儲蓄傾向增至0.256。,.,49,然而, 在式(8.23)中得到的邊際儲蓄傾向卻是0.17。很明顯, 式(8.23)既不代表改革開放之前城鎮(zhèn)居民的消費行為, 也不能正確描述1979年以后城鎮(zhèn)居民儲蓄與收入之間的關(guān)系。,.,50,我們單從模型的擬合也可以看出引進虛擬變量可以改善估計效果。式(8.23)中的隨機誤差項存在正自相關(guān)(DW=0.398), 擬合優(yōu)度效果也不太好(R2=0.833)。引

17、入虛擬變量后的模型消除了自相關(guān)(DW=1.67), 判定系數(shù)也上升到0.967。所以, 虛擬變量的引入很有必要。,.,51,二、多個質(zhì)的因素的虛擬變量模型,我們討論的回歸模型只包括一個質(zhì)的因素，但是在很多情形下,往往有兩個以上的質(zhì)的因素影響回歸模型的被解釋變量。例如, 在考察居民的食品消費行為時, 可以考慮的質(zhì)的因素有居民的性別、民族、受教育程度、地理區(qū)域等等。,.,52,再如, 除收入水平外, 冰琪凌消費量還會受到季節(jié)和地區(qū)等質(zhì)的因素影響。這些質(zhì)的因素可能不僅僅改變模型的截距和斜率,質(zhì)的因素之間也往往有相互影響。例如, 高收入水平和低收入水平的居民在家電消費量上的差異會隨著季節(jié)不同而改變的。

18、 為了方便, 我們建立以下簡單的食品消費模型 。,.,53,（8.28）,.,54,式(8.28)中, Ct和At分別表示居民的食品消費和居民的收入, D1 , D2 ， D3 , D4 ， D5是虛擬變量，分別表示性別因素、年齡因素和學歷因素。性別因素只有兩個特征男和女，設(shè)一個虛擬變量D1 。,.,55,年齡分為三個層次，25歲以下、25到50歲和50歲以上，設(shè)二個虛擬變量D2和D3 。受教育程度分為三個層次,初中以下、高中和高中以上,設(shè)二個虛擬變量D4 和D5 。模型中還有虛擬變量之間的乘積，考慮了截距項的各種變化可能。,.,56,Di取值不同，截距不同，如：,其余的依次類推。 6 和 7

19、 為性別和年齡層次的相互影響系數(shù)。采用通常的統(tǒng)計檢驗方法對各種可能的情況進行檢驗。,.,57,例如，如果 1 在統(tǒng)計上顯著說明性別這個質(zhì)的因素會明顯影響食品的消費量。同時， 2 在統(tǒng)計上顯著，就表明25歲以下居民在食品消費上和別的層次的居民是有顯著差異的，那么年齡也會是個很重要的影響因素。,.,58,上述假定虛擬變量僅僅影響回歸模型的截距，由此可以推廣到更一般的情形，也就是虛擬變量同時改變回歸模型的截距和斜率，那樣考慮得更周全，但是也會更復雜，在這里我們不作討論。,.,59,第三節(jié) 變參數(shù)模型和分段回歸,一、變參數(shù)模型,從上一節(jié)的討論可知，由于引入了虛擬變量，回歸模型的截距或斜率不再是固定不變

20、的。但是模型中參數(shù)的變化是離散的，而不是連續(xù)的。,.,60,例如，在式（8.24）中，只是假定在1979年以前和1979年以后兩個時期城鎮(zhèn)居民有不同的消費行為，也就是說，回歸模型的截距和斜率并不是每年都發(fā)生變化。變參數(shù)模型是虛擬變量模型的推廣，它認為回歸模型的截距或斜率會隨著樣本觀察值的改變而系統(tǒng)地改變。,.,61,（一）截距變動模型 系統(tǒng)變參數(shù)模型也可以分為截距變動模型和截距、斜率同時變動模型。設(shè)線性回歸模型為,(8.28),.,62,式中，X=解釋變量，Y=被解釋變量。如果的變化為非隨機的，而且這種變化完全由外生變量決定，那么式（8.29）就是一個非隨機變參數(shù)模型。,.,63,我們觀察到截

21、距項和我們前面的虛擬變量模型的截距項有所不同，下面多了一個下標t。這就是說，雖然回歸模型斜率在整個樣本時期保持不變，但是截距項是隨著時間的變化而變化的。,.,64,1t定義如下,（8.30）,式中，0和1 為我們要求的參數(shù)，也可以稱為“超參數(shù)”，Zt 是用來解釋 1t 變動情況的外生變量將式（8.30）代入式（8.29）中，整理得到,.,65,（8.31）,可用最小二乘法對式（8.31）中的超參數(shù)和其它參數(shù)一并進行估計。如果Zt 為虛擬變量，那么式（8.31）就是一個虛擬變量模型，而且是一個截距項變動斜率不變的模型。因此，虛擬變量模型是變參數(shù)模型的一種特殊形式。,.,66,（二）截距和斜率同時

22、變動模型 和虛擬變量模型的思路一樣，再來討論斜率和截距同時存在系統(tǒng)變動的情況。我們只需要在式（8.31）的基礎(chǔ)上進行改進。將換為，且假定有如下關(guān)系式：,（8.32）,.,67,將式（8.32）代入式（8.31），則有,（8.33）,.,68,以上模型只假定 1t 和 2t 存在系統(tǒng)變化，實際上還有很多參數(shù)都可能存在這種變化，甚至可能存在1t 和 2t 等系數(shù)有可能不是線性變化的，也就是說超參數(shù)本身可能不為常數(shù)。這種情況只是在理論上提出來，實際操作會因為太復雜而沒有太多的應用。,.,69,用最小二乘估計得到式（8.33）中的參數(shù)估計值后，就可以對參數(shù)是否存在系統(tǒng)變化進行統(tǒng)計檢驗。如果1和b1在統(tǒng)

23、計上不顯著，就可以把 1和 1看作常數(shù)；否則，我們認為 1 和 2 存在系統(tǒng)變化。,.,70,顯然，如果錯誤地把 1 和2 當作常數(shù)，就等同于錯誤地解釋了經(jīng)濟變量之間的關(guān)系。此外，由于相當于省略了重要的解釋變量 Zt 和 Wt ，還可能會產(chǎn)生自相關(guān)等問題。,.,71,（三）應用案例 【例8.3】眾所周知，我國居民的消費行為在經(jīng)濟體制改革開放前后存在巨大差異。但是，在這期間居民的消費行為是否也在不斷變化？我國的經(jīng)濟體制改革走的是一條漸進的道路，與居民消費有關(guān)的諸多因素必然會隨著改革開放的不斷推進而逐步改變。,.,72,這些變化對居民消費的影響主要有三個方面： 第一、 觀念的變化。與改革開放初期相

24、比， 我國居民的觀念已經(jīng)發(fā)生了深刻的變化。人們的市場意識、風險意識、對通貨膨脹的心理承受能力等均大大增強；對“鐵”飯碗的依賴思想已明顯減弱。,.,73,第二，消費者的經(jīng)濟決策權(quán)逐漸擴大，消費品市場供給日益豐富；勞動力市場的建立使人們有越來越多的擇業(yè)機會；居民金融資產(chǎn)的迅速積累，使消費者可以在一定時間范圍內(nèi)提前或延期消費。,.,74,第三，不確定因素增多。隨著市場因素的增多，經(jīng)濟生活的不確定因素也在增加。例如，職工的實際收入已不再是完全“剛性”，個人的實際收入可能會因為通貨膨脹、企業(yè)經(jīng)濟效益下降而減少。不確定因素的增加，迫使消費者在安排消費時更多顧及長遠利益，消費行為漸趨向理性。,.,75,綜上

25、所述，我們似乎沒有理由認為居民消費行為在1979年以后是固定不變的。但是這種變動是否顯著？變動趨勢是怎么樣的？這一切還需要用系統(tǒng)變參數(shù)模型加以驗證。,.,76,利用1980年至1993年我國城鎮(zhèn)居民家庭收支調(diào)查資料，我們建立一個簡單的系統(tǒng)變參數(shù)模型：,（8.34）,式中，Xt和Yt分別代表城鎮(zhèn)居民家庭某年人均實際收入和人均實際支出（以1980年的價格水平為100，從收入和支出中分別扣除價格上漲因素的影響）。t=年份，ut=隨機誤差項。,.,77,注意到模型的截距1t 和邊際消費傾向 2t 是隨著時間的推移而不斷變化的，也就是說，消費與收入的關(guān)系是逐年變化的。引起 1t 和 2t 變化的因素中有

26、許多是不可觀測或難以度量的，所以無法把這些因素作為解釋變量直接引入模型。,.,78,因此，我們可以用時間序號T 來代表這些因素。 假定 1t 和 2t 的變化可以由下面的關(guān)系式來表示：,（8.35） （8.36）,.,79,將式（8.35）和式（8.36）代入式（8.34），得到,（8.37）,.,80,用最小二乘法估計式（8.37）的參數(shù)，得到參數(shù)估計值后，可以對a1,a2和b1,b2進行統(tǒng)計檢驗。如果a1,a2和b1,b2部分或全部顯著地不為零，則表明在經(jīng)濟體制改革期間消費模型參數(shù)存在系統(tǒng)的變化；反之，就認為消費模型在改革期間是穩(wěn)定的。,.,81,經(jīng)試算發(fā)現(xiàn)a0,a1,a2和b1在統(tǒng)計上都

27、不顯著，所以把模型確定為,（8.38）,（8.39）,用最小二乘法估計式（8.38），得到結(jié)果如下,.,82,（8.40）,式（8.40）中，參數(shù)估計值下面括號中的數(shù)字是統(tǒng)計值。由R2和DW值可知，模型對消費支出Yt變化的擬合程度很好，而且不存在自相關(guān)問題。,.,83,估計和檢驗結(jié)果表明： b2在統(tǒng)計上是高度顯著的，從而證明我國城鎮(zhèn)居民的消費行為在改革期間是不斷變化的。 由 =-0.0004可知，我國城鎮(zhèn)居民的邊際消費傾向呈下降趨勢，這一結(jié)果與改革以來居民金融資產(chǎn)迅速增加的事實相吻合。,.,84,邊際消費傾向的變動曲線為,（8.41）,從這一曲線可以看出，在改革的頭幾年邊際消費傾向下降的速度很慢，隨后下降速度逐漸加快。,.,85,1982年對應的T值為2，由上式可以計算出，1982年的邊際消費傾向為0.9738，比1981年下降0.0012；而1992年對應的T值為12，邊際消費傾向為0.9178，比較而言，比1991年下降了0.0092。,.,86,如果忽略居民消費行為的變化，將模型設(shè)定為,（8.42）,則估計結(jié)果為,（8.43）,.,87,顯然，雖然模型的擬合優(yōu)度很高，但是由于邊際消費傾向是固定不變的，模型（8.43）錯誤的描