一傳送系統(tǒng)的效率

1、概率模型 現(xiàn)實世界的變化受著眾多因素的影響，包括確定的和隨機的。如果從建模的背景、目的和手段看，主要因素是確定的，隨機因素可以忽略，或者隨機因素的影響可以簡單地以平均值的作用出現(xiàn)，那么就能夠建立確定性模型。如果隨機因素對研究對象的影響必須考慮，就應建立隨機模型。本章討論如何用隨即變量和概率分布描述隨機因素的影響，建立隨機模型-概率模型。 統(tǒng)計模型 如果由于客觀事物內(nèi)部規(guī)律的復雜性及人們認識程度的限制，無法分析實際對象內(nèi)在的因果關系，建立合乎機理規(guī)律的模型，那么通常要搜集大量的數(shù)據(jù)，基于對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析建立模型，這就是本章還要討論的用途非常廣泛的一類隨機模型統(tǒng)計回歸模型。,一 傳送系統(tǒng)的效率 在

2、機械化生產(chǎn)車間里，排列整齊的工作臺旁工人們緊張的生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，工作臺上放一條傳送帶在運轉(zhuǎn)，帶上設置若干鉤子，工人將產(chǎn)品掛在經(jīng)過他上方的鉤子上帶走，如圖。當生產(chǎn)進入穩(wěn)定狀態(tài)后，每個工人生產(chǎn)一件產(chǎn)品所需時間是不變的，而他掛產(chǎn)品的時刻是隨機的。衡量這種傳送系統(tǒng)的效率可以看他能否及時把工人的產(chǎn)品帶走。在工人數(shù)目不變的情況下傳送帶速度越快，帶上鉤子越多，效率越高。,要求構(gòu)造衡量傳送系統(tǒng)效率的指標，并在簡化假設下建立模型描述這個指標與工人數(shù)目、鉤子數(shù)量等參數(shù)的關系。,傳送帶,掛鉤,工作臺,1 模型分析,為了用傳送帶及時帶走的產(chǎn)品數(shù)量來表示傳送系統(tǒng)的效率，在工人生產(chǎn)周期（即生產(chǎn)一件產(chǎn)品的時間）相同的情況下

3、，需要假設工人生產(chǎn)出一件產(chǎn)品后，要么恰好有空鉤子經(jīng)過工作臺，他可以將產(chǎn)品掛上帶走，要么沒有空鉤子經(jīng)過，他將產(chǎn)品放下并立即投入下一件產(chǎn)品的生產(chǎn)，以保證整個系統(tǒng)周期性的運轉(zhuǎn)。,工人生產(chǎn)周期相同，但由于各種因素的影響，經(jīng)過相當長的時間后，他們生產(chǎn)完一件產(chǎn)品的時刻會不一致，認為是隨機的，并在一個生產(chǎn)周期內(nèi)任一時刻的可能性一樣。,由上分析，傳送系統(tǒng)長期運轉(zhuǎn)的效率等價于一周期的效率，而一周期的效率可以用它在一周期內(nèi)能帶走的產(chǎn)品數(shù)與一周期內(nèi)生產(chǎn)的全部產(chǎn)品數(shù)之比來描述。,2 模型假設,3）在一周期內(nèi)有 個鉤子通過每一工作臺上方，鉤子均勻排列，到達第一個工作臺上方的鉤子都是空的。,4）每個工人在任何時刻都能觸到

4、一只鉤子，且之能觸到一只，在他生產(chǎn)出一件產(chǎn)品的瞬間，如果他能觸到的鉤子是空的，則可將產(chǎn)品掛上帶走；如果非空，則他只能將產(chǎn)品放下。放下的產(chǎn)品就永遠退出這個傳送系統(tǒng)。,1）有,個工人，其生產(chǎn)是獨立的，生產(chǎn)周期是常數(shù)， 個工作臺均勻排列。,2）生產(chǎn)已進入穩(wěn)態(tài)，即每個工人生產(chǎn)出一件產(chǎn)品的時刻 在一個周期內(nèi)是等可能性的。,3 模型建立 將傳送系統(tǒng)效率定義為一周期內(nèi)帶走的產(chǎn)品數(shù)與生產(chǎn)的全部產(chǎn)品數(shù)之比，記作 ，設帶走的產(chǎn)品數(shù)為 ,生產(chǎn)的全部產(chǎn)品數(shù)為 ，則 。需求出 。,得到 的步驟如下：（均對一周期而言） 任一只鉤子被一名工人觸到的概率是 ； 任一只鉤子不被一名工人觸到的概率是 ； 由工人生產(chǎn)的獨立性，任一

5、只鉤子不被所有 個工人掛上 產(chǎn)品的概率，即任一只鉤子為空鉤的概率是 ； 任一只鉤子非空的概率是 。,如果從工人的角度考慮，分析每個工人能將自己的產(chǎn)品掛上鉤子的概率，這與工人所在的位置有關（如第1個工人一定可掛上），這樣使問題復雜化。我們從鉤子角度考慮，在穩(wěn)定狀態(tài)下鉤子沒有次序，處于同等地位。若能對一周期內(nèi)的 只鉤子求出每只鉤子非空的概率 ，則 。,傳送系統(tǒng)的效率指標為,為了得到比較簡單的結(jié)果，在鉤子數(shù) 相對于工人數(shù) 較大，即 較小的情況下，將多項式 展開后只取前3 項，則有,如果將一周期內(nèi)未帶走的產(chǎn)品數(shù)與全部產(chǎn)品數(shù)之比記作,再假定,，則,當,時，,上式給出的結(jié)果為,用,的精確表達式計算得,4

6、模型評價,這個模型是在理想情況下得到的，其中一些假設，如生產(chǎn) 周期不變，掛不上鉤子的產(chǎn)品退出系統(tǒng)等是不現(xiàn)實的，但 模型的意義在于，一方面利用基本合理的假設將問題簡化 到能夠建模的程度，并用簡單的方法得到結(jié)果；另一方面 所得到的簡化結(jié)果具有非常簡單的意義：指標,與,成正比，與,成反比。,通常工人數(shù)目,是固定的，,一周期內(nèi)通過的鉤子數(shù) 增加一倍，可使“效率” 降低 一倍。,思考：,如何改進模型使“效率”降低？,（可理解為相反意義的效率）,考慮通過增加鉤子數(shù)來使效率降低的方法：,在原來放置一只鉤子處放置的兩只鉤子成為一個鉤對。一 周期內(nèi)通過,個鉤對，,任一鉤對被任意工人觸到的概率,，不被觸到的概率,

7、，于是任一鉤對為空的概率,是,，鉤對上只掛一件產(chǎn)品的概率是,，一周期內(nèi)通過,的,個鉤子中，空鉤的平均數(shù)是,帶走產(chǎn)品的平均數(shù)是,未帶走產(chǎn)品的平均數(shù)是,按照上一模型的定義，有,和,的近似展開，可得,展開取4項，,展開取3項。而上一模,型中的方法有,有,當,時，,，所以該模型提供的方法比上一個模型好。,注意：,利用,二 報童的訣竅,問題： 報童每天清晨從報社購進報紙零售，晚上將沒有賣掉的報紙退回。設報紙每份的購進價為b，零售價為a，退回價為c，假設abc。即報童售出一份報紙賺a-b，退回一份賠b-c。報童每天購進報紙?zhí)啵u不完會賠錢；購進太少，不夠賣會少掙錢。試為報童籌劃一下每天購進報紙的數(shù)量，以

8、獲得最大收入。,模型分析：,購進量由需求量確定，需求量是隨機的。假定報童已通過自 己的經(jīng)驗或其他渠道掌握了需求量的隨機規(guī)律，即在他的銷 受范圍內(nèi)每天報紙的需求量為 份的概率是,有了 和,就可以建立關于購進量的優(yōu)化模型。,模型建立：,假設每天購進量是,份，需求量,是隨機的，,可以小于，等于,或大于,，所以報童每天的收入也是隨機的。那么，作為優(yōu)化,模型的目標函數(shù)，不能取每天的收入，而取長期賣報（月，年）,的日平均收入。從概率論大數(shù)定律的觀點看，這相當于報童每 天收入的期望值，簡稱平均收入。,記報童每天購進,份報紙的平均收入為,，如果這天的需,求量,，則售出,份，退回,份；如果需求量,則,份將全部售出。需求量為,的概率是,，則,問題歸結(jié)為在,已知時，求,使,最大。,模型求解：,通常需求量,和購進量,都相當大，將,視為連續(xù)變量便于,分析和計算，這時概率,轉(zhuǎn)化為概率密度函數(shù),計算,則,令,使報童日平均收入達到最大的購進量,，得到,應滿足上式。,因為,，所以,根據(jù)需求量的概率密度,的圖形可以確定購進量,在圖中用,分別表示曲線,下的兩塊面積，則,O n r,因為當購進,超過,份報紙時，,是需求量,不超過,的概率，即賣不完的概率；,是需求量,的概率，即賣完的概率，所以上式表明，購進的份數(shù),應該使賣不完與賣完的概率之比，恰好等于賣出一份賺的錢,與退回一份賠的錢,之比。,結(jié)論：,當報童與