狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)與計(jì)算

1、Ch.3 線性系統(tǒng)的時(shí)域分析,狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)與計(jì)算(1/1),3.2 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)與計(jì)算 下面進(jìn)一步討論前面引入的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣, 主要內(nèi)容為: 基本定義 矩陣指數(shù)函數(shù)和狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì) 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì),狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)與計(jì)算(1/1),3.2.1 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的定義,當(dāng)系統(tǒng)矩陣A為nn維方陣時(shí), 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(t)亦為nn維方陣, 且其元素為時(shí)間 t 的函數(shù) 下面討論幾種特殊形式的系統(tǒng)矩陣A的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 (1) 對(duì)角線矩陣 當(dāng)A為如下對(duì)角線矩陣: A diag1 2 n 則狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為 式中, diag表示由括號(hào)內(nèi)元素組成對(duì)角線矩陣,狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的定義(2/4),(2)

2、塊對(duì)角矩陣 當(dāng)A為如下塊對(duì)角矩陣: A block-diagA1 A2 Al,其中Ai為mimi維的分塊矩陣, 則狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為式中, block-diag表示由括號(hào)內(nèi)各方塊矩陣組成塊對(duì)角矩陣,狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的定義(3/4),(3) 約旦塊矩陣 當(dāng)Ai為特征值為i的mimi維約旦塊, 則分塊矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù)為,對(duì)上述三種特殊形式矩陣的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和矩陣指數(shù)函數(shù),可利用矩陣指數(shù)函數(shù)的展開(kāi)式證明,狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的定義(4/4),矩陣指數(shù)函數(shù)和狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)(1/4),3.2.2 矩陣指數(shù)函數(shù)和狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì) 由矩陣指數(shù)函數(shù)的展開(kāi)式和狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的定義, 可證明矩陣指數(shù)函數(shù)和狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(t)

3、具有如下性質(zhì) 1) (0) eA0 I 2) eA(t+s) eAteAs, (t+s) (t)(s), 式中t和s為兩個(gè)獨(dú)立的標(biāo)量自變量 證明: 由指數(shù)矩陣函數(shù)的展開(kāi)式, 有,矩陣指數(shù)函數(shù)和狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)(2/4),3) (t2t1)1 (t1t2) 4) 對(duì)于nn階的方陣A和B,下式僅當(dāng)AB BA時(shí)才成立 e(A+B)t eAteBt 5) 6) (t)n (nt) 7) (t2t1)(t1t0) (t2t0),矩陣指數(shù)函數(shù)和狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)(3/4),由狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的意義,有 x(t2)=(t2-t1)x(t1) =(t2-t1)(t1-t0)x(t0) =(t2-t1)(t1-t

4、0)x(t0) 而 x(t2)=(t2-t0)x(t0),因此, 性質(zhì) 7)表明, 在系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移過(guò)程中, 既可以將系統(tǒng)的一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移分解成多步狀態(tài)轉(zhuǎn)移, 也可以將系統(tǒng)的多步狀態(tài)轉(zhuǎn)移等效為一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移, 如上圖所示,系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移,矩陣指數(shù)函數(shù)和狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)(4/4),例3-3 求如下系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的逆矩陣 解： 對(duì)于該系統(tǒng),在例3-1已求得狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為 由于1(t)=(t), 所以求得狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的逆矩陣為,狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣計(jì)算(1/1),3.3.3 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣計(jì)算 在狀態(tài)方程求解中, 關(guān)鍵是狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(t)的計(jì)算 對(duì)于線性定常連續(xù)系統(tǒng), 該問(wèn)題又歸結(jié)為矩陣指數(shù)函數(shù)eAt的計(jì)算

5、 上一節(jié)已經(jīng)介紹了基于拉氏反變換技術(shù)的矩陣指數(shù)函數(shù)eAt的計(jì)算方法, 下面講述計(jì)算矩陣指數(shù)函數(shù)的下述其他兩種常用方法 級(jí)數(shù)求和法 約旦規(guī)范形法,級(jí)數(shù)求和法(1/3),1. 級(jí)數(shù)求和法 由上一節(jié)對(duì)矩陣指數(shù)函數(shù)的定義過(guò)程中可知:,矩陣指數(shù)函數(shù)eAt的計(jì)算可由上述定義式直接計(jì)算 由于上述定義式是一個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù), 故在用此方法計(jì)算eAt時(shí)必須考慮級(jí)數(shù)收斂性條件和計(jì)算收斂速度問(wèn)題,級(jí)數(shù)求和法(2/3),顯然, 用此方法計(jì)算eAt一般不能寫(xiě)成封閉的和簡(jiǎn)潔的解析形式, 只能得到數(shù)值計(jì)算的近似計(jì)算結(jié)果 其計(jì)算精度取決于矩陣級(jí)數(shù)的收斂性與計(jì)算時(shí)所取的項(xiàng)數(shù)的多少 如果級(jí)數(shù)收斂較慢, 則需計(jì)算的級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)多, 人工計(jì)算

6、是非常麻煩的, 一般只適用于計(jì)算機(jī)計(jì)算 因此, 該方法的缺點(diǎn): 計(jì)算量大 精度低 非解析方法, 難以得到計(jì)算結(jié)果的簡(jiǎn)潔的解析表達(dá)式,級(jí)數(shù)求和法(3/3),例3-4 用直接計(jì)算法求下述矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù):,解 按矩陣指數(shù)函數(shù)的展開(kāi)式計(jì)算如下:,約旦規(guī)范形法 (1/8),2. 約旦規(guī)范形法 上節(jié)給出了對(duì)角線矩陣、塊對(duì)角矩陣和約旦塊三種特殊形式矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù) 由于任何矩陣都可經(jīng)線性變換成為對(duì)角線矩陣或約旦矩陣,因此 可通過(guò)線性變換將一般形式的矩陣變換成對(duì)角線矩陣或約旦矩陣, 再利用上述特殊形式矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù)來(lái)快速計(jì)算矩陣矩陣指數(shù)函數(shù) 下面討論之,下面首先討論矩陣指數(shù)函數(shù)的一條性質(zhì): 對(duì)矩陣A

7、, 經(jīng)變換矩陣P作線性變換后,有 則相應(yīng)地有如下矩陣指數(shù)函數(shù)的變換關(guān)系,約旦規(guī)范形法 (2/8),約旦規(guī)范形法 (3/8),該結(jié)論可簡(jiǎn)單證明如下:,根據(jù)上述性質(zhì), 對(duì)矩陣A, 可通過(guò)線性變換方法得到對(duì)角線矩陣或約旦矩陣, 然后利用該類(lèi)特殊矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù), 由矩陣指數(shù)函數(shù)的變換關(guān)系來(lái)求原矩陣A的矩陣指數(shù)函數(shù),約旦規(guī)范形法 (4/8),例3-5 試求如下系統(tǒng)矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù),解 1. 先求A的特征值 由特征方程可求得特征值為 1 1 2 2 3 3 2. 求特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量 由前述的方法可求得特征值1, 2和3所對(duì)應(yīng)的特征向量分別為 p1 1 0 1 p2 1 2 4 p3 1 6 9,特征值、特征向量及將A變換為對(duì)角矩陣的變換矩陣P已由2.4節(jié)求出,約旦規(guī)范形法 (5/8),故將A變換成對(duì)角線矩陣的變換矩陣P及其逆陣P1為,3. 對(duì)角線規(guī)范形及對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)移矩陣:,約旦規(guī)范形法 (6/8),例3-6 試求如下系統(tǒng)矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù),4. 由系統(tǒng)矩陣和矩陣指數(shù)函數(shù)的變換關(guān)系, 得,約旦規(guī)范形法 (7/8),解 1. 先求A的特征值