同濟(jì)大學(xué)微積分課件.ppt

1、預(yù)備知識(shí),1. 集合的概念,在數(shù)學(xué)中，把具有某種特定性質(zhì)的事物組成的總體稱(chēng),否則，記為,一、集合,如果元素 在集合 中，記為,為一個(gè)集合. 集合中的事物稱(chēng)為該集合的元素.,只有有限個(gè)元素的集合稱(chēng)為有限集，否則稱(chēng)為無(wú)限集.,常用數(shù)集:,自然數(shù)集:,整數(shù)集:,有理數(shù)集:,復(fù)數(shù)集:,2.集合的運(yùn)算,集合的交:,集合的并:,集合的差:,設(shè) 是兩個(gè)集合，由此定義如下幾個(gè)集合：,集合的運(yùn)算滿(mǎn)足如下運(yùn)算率：,交換率:,結(jié)合率:,分配率:,3.區(qū)間和鄰域,開(kāi)區(qū)間:,閉區(qū)間:,設(shè) 是實(shí)數(shù)，且,半開(kāi)半閉區(qū)間:,無(wú)窮區(qū)間:,注意：無(wú)窮端不能寫(xiě)成閉的記號(hào),設(shè) 是實(shí)數(shù)，且 則定義點(diǎn) 的 鄰域?yàn)榧希?鄰域：,如果把鄰域

2、的中心去掉，所得到的集合稱(chēng)為點(diǎn) 的空,心鄰域：,1. 映射的概念,二、映射,設(shè) 是兩個(gè)非空集合，如果存在一個(gè)法則 使得,而元素 稱(chēng)為 的象，記作 ， 即,對(duì) 中的每個(gè)元素 按此法則在 中有唯一的元素,與之對(duì)應(yīng)，那么稱(chēng) 為從 到 的映射，記作,例 設(shè),則 是 到 的映射.,例 設(shè),則 是 到 的映射.,2. 幾類(lèi)重要映射,一一對(duì)應(yīng)：既單又滿(mǎn)的映射稱(chēng)為一一對(duì)應(yīng).,例 在前面的兩例中，例2是一一對(duì)應(yīng)，而例1則不是.,設(shè) 是 到 的映射.,滿(mǎn)射：若 即 使得,單射：若 則必有,3. 逆映射與復(fù)合映射,則：,逆映射：設(shè) 是 到 的一一映射，則對(duì) 中任一元素,例 設(shè),可以確定 中的唯一元素 滿(mǎn)足 稱(chēng)此對(duì)應(yīng)

3、,關(guān)系為映射 的逆映射，記為,復(fù)合映射：設(shè)有映射 其中,稱(chēng)此映射為由 構(gòu)成的復(fù)合映射，記為,由此可以確定一個(gè)從 到 的映射,例：設(shè),則復(fù)合映射 為,1.概念,三、一元函數(shù),從數(shù)集 到實(shí)數(shù)集 的任一映射 稱(chēng)為定義在 上的,稱(chēng)為 的圖象. 而數(shù)集 則稱(chēng)為函數(shù),一元函數(shù)，通常記為 而 中的集合,的定義域.,注：在以后的討論中，更多的是函數(shù)的定義域以默認(rèn)的,例 則定義域?yàn)?例 則定義域?yàn)?方式給出，即定義域?yàn)槭贡磉_(dá)式有效的一切實(shí)數(shù).,以下例中函數(shù)的定義域均為實(shí)數(shù)集。,例3 符號(hào)函數(shù),例 取整函數(shù),2. 函數(shù)的幾種特性,有界,無(wú)界,有界性 設(shè)函數(shù) 的定義域?yàn)?數(shù)集,如果 都有 就稱(chēng),在 上有界, 否則稱(chēng)

4、為無(wú)界函數(shù).,例 在 上是有界函數(shù)，,在 上無(wú)界.,域內(nèi)是無(wú)界函數(shù).,例 試說(shuō)明函數(shù) 在 的任何空心鄰,解 設(shè) ，取 ，,其中,則,所以 無(wú)界.,單調(diào)性 設(shè)函數(shù) 的定義域?yàn)?區(qū)間,如果對(duì)任意的 當(dāng) 時(shí)，總有,則稱(chēng)函數(shù) 為區(qū)間 上的單調(diào)增加函數(shù)；,如果 時(shí)，總有,則稱(chēng)函數(shù) 為區(qū)間 上的單調(diào)減少函數(shù).,圖形特征：,單調(diào)增加函數(shù)圖形,單調(diào)減少函數(shù)圖形,奇偶性 設(shè)函數(shù) 的定義域?yàn)?關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，,如果對(duì)任意的 都有,就稱(chēng) 為偶函數(shù)；,如果對(duì)任意的 都有,就稱(chēng) 為奇函數(shù).,圖形特征：,偶函數(shù),奇函數(shù),使得對(duì)任意的 當(dāng) 總有,通常我們說(shuō)的周期指的是最小正周期.,周期函數(shù) 設(shè)函數(shù) 的定義域?yàn)?如果存在數(shù),就

5、稱(chēng) 為周期函數(shù)， 稱(chēng)為 的周期.,例如， 的最小正周期是,例：狄利克雷函數(shù),則任何非零有理數(shù)都是其周期，但沒(méi)有最小正周期.,3. 反函數(shù)和復(fù)合函數(shù),反函數(shù) 設(shè)函數(shù) 是一一對(duì)應(yīng)， 則其逆映,注：習(xí)慣上用 表示為自變量，所以函數(shù) 的,射 為 的反函數(shù).,的反函數(shù) 仍表示為,注：函數(shù) 與它的反函數(shù) 的圖形,關(guān)于 對(duì)稱(chēng).,復(fù)合函數(shù) 復(fù)合函數(shù)本質(zhì)上是復(fù)合映射在函數(shù)上的推廣.,當(dāng)復(fù)合映射定義中的幾個(gè)集合均為數(shù)集時(shí)，即得到復(fù)合,函數(shù)的定義.,4. 基本初等函數(shù),冪函數(shù) （ 是常數(shù)）,指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù),三角函數(shù),正弦函數(shù),余弦函數(shù),正切函數(shù),余切函數(shù),正割函數(shù),余割函數(shù),反三角函數(shù),反正弦函數(shù),反余弦函數(shù),反正切函數(shù),反余切函數(shù),5.初等函數(shù),由常數(shù)函數(shù)及基本初等函數(shù)經(jīng)有限