2013年南昌市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷及答案詳解

1、2013年南昌市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷6月29日上午8:30 11:00【說(shuō)明】：凡是題號(hào)下標(biāo)志有“高一”的，為高一考生試題；題號(hào)下標(biāo)志有“高二”的，為高二考生試題；凡未作這種標(biāo)志的，則為全體考生試題一、填空題（每小題分，共分）、將全體正整數(shù)自小到大一個(gè)接一個(gè)地順次寫(xiě)成一排，則從左至右的第個(gè)數(shù)字是 、（高一）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和，則其公比 （高二）若自橢圓中心到焦點(diǎn)、長(zhǎng)軸頂點(diǎn)、以及到準(zhǔn)線的距離之長(zhǎng)可以組成一個(gè)直角三角形，則該橢圓的離心率是 、（高一）等差數(shù)列與的相同的項(xiàng)之和為 （高二）正四棱錐中，是的重心，則四面體的體積是 、（高一）滿足的實(shí)數(shù)的集合是 （高二）函數(shù)的最大值是 、若為正數(shù)，表示的整數(shù)部

2、分，而，如果順次組成等比數(shù)列，則 、（高一）是不同的正整數(shù)，若集合，為正整數(shù)，則的最小值是 、函數(shù)的最小值是 、若，則 二、解答題（共分）、（分）如圖，過(guò)的三個(gè)頂點(diǎn)各作其外接圓的切線，分別與相應(yīng)頂點(diǎn)的對(duì)邊所在直線相交，證明：三個(gè)交點(diǎn)共線、（分）數(shù)列滿足：，、寫(xiě)出數(shù)列前個(gè)項(xiàng)的值； 、對(duì)任意正整數(shù)，求的表達(dá)式、（分）盒中裝有紅色和藍(lán)色紙牌各張，每色紙牌都含標(biāo)數(shù)為的牌各一張，兩色紙牌的標(biāo)數(shù)總和記為；對(duì)于給定的正整數(shù)，若能從盒中取出若干張牌，使其標(biāo)數(shù)之和恰為，便稱為一種取牌方案，不同的方案種數(shù)記為；試求之值2013年南昌市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題解答【說(shuō)明】：凡是題號(hào)下標(biāo)志有“高一”的，為高一考生試題；題號(hào)下

3、標(biāo)志有“高二”的，為高二考生試題；凡未作這種標(biāo)志的，則為全體考生試題一、填空題（每小題分，共分）、將全體正整數(shù)自小到大一個(gè)接一個(gè)地順次寫(xiě)成一排，則從左至右的第個(gè)數(shù)字是 答案：解：全體一位數(shù)共占據(jù)個(gè)數(shù)位，全體兩位數(shù)共占據(jù)個(gè)數(shù)位，接下來(lái)是順次排列的三位數(shù)，由于，而，因，所以第個(gè)數(shù)字是三位數(shù)的末位數(shù)字，即為、（高一）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和，則其公比 答案：解：，當(dāng)時(shí)，（高二）若自橢圓中心到焦點(diǎn)、長(zhǎng)軸頂點(diǎn)、以及到準(zhǔn)線的距離之長(zhǎng)可以組成一個(gè)直角三角形，則該橢圓的離心率是 答案：解：由，得，又據(jù)，得，所以，則，所以、（高一）等差數(shù)列與的相同的項(xiàng)之和為 答案：解：等差數(shù)列，的第一個(gè)相同項(xiàng)是，最后一個(gè)相同項(xiàng)是，而

4、以為公差，以為公差，所以，構(gòu)成以為首項(xiàng)， 為末項(xiàng)，且公差為的等差數(shù)列，公共項(xiàng)個(gè)數(shù)為，所以公共項(xiàng)的和為（高二）正四棱錐中，是的重心，則四面體的體積是 答案：解：設(shè)交于，則，所以；若是四棱錐的高，則，正方形面積為，所以，的面積為，故四面體體積為，又由，所以四面體體積為，于是四面體的體積為：、（高一）滿足的實(shí)數(shù)的集合是 答案：解：數(shù)形結(jié)合，將其視為求與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，如圖；由于，僅當(dāng)時(shí)，此時(shí)方有交點(diǎn)，當(dāng)，由得，當(dāng)，得（高二）函數(shù)的最大值是 答案：解：將函數(shù)式看作定點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)連線的斜率；而動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一個(gè)單位圓，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線方程為，即，當(dāng)斜率取最大值時(shí)，該直線應(yīng)是單位圓的一條切線，于是原點(diǎn)到該直線距離為，

5、即有，所以，因此最大值為、若為正數(shù)，表示的整數(shù)部分，而，如果順次組成等比數(shù)列，則 答案：解：改記，由等比，而，所以，由于，則為正整數(shù)，且只有，從而，所以、（高一）是不同的正整數(shù)，若集合，為正整數(shù)，則的最小值是 答案：解：由偶數(shù)，所以兩奇一偶；即為奇數(shù)，顯然，不妨設(shè)，如果，則由得，此時(shí)導(dǎo)致，矛盾！所以，當(dāng)時(shí)，由，解得，這時(shí)，、函數(shù)的最小值是 解：由于的中間一數(shù)為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值、若，則 答案：解：將條件式平方得，兩式相加得；兩式相減得：；因此，二、解答題（共分）、（分）如圖，過(guò)的三個(gè)頂點(diǎn)各作其外接圓的切線，分別與相應(yīng)頂點(diǎn)的對(duì)邊所在直線相交，證明：三個(gè)交點(diǎn)共線證：據(jù)梅尼勞斯逆定理，只要證；由

6、弦切角關(guān)系，由，得；同理，由，得，由，得所以，因此共線、（分）數(shù)列滿足：，、寫(xiě)出數(shù)列前個(gè)項(xiàng)的值； 、對(duì)任意正整數(shù)，求的表達(dá)式解：、順次算出：；、因?yàn)椋?所以， ， ， ， ， ，相加得，、（分）盒中裝有紅色和藍(lán)色紙牌各張，每色紙牌都含標(biāo)數(shù)為的牌各一張，兩色紙牌的標(biāo)數(shù)總和記為；對(duì)于給定的正整數(shù)，若能從盒中取出若干張牌，使其標(biāo)數(shù)之和恰為，便稱為一種取牌方案，不同的方案種數(shù)記為；試求之值解一、將盒中的紙牌按標(biāo)數(shù)自小到大的順序排成一列：，值相等的兩個(gè)項(xiàng)不同色，對(duì)于每個(gè)，數(shù)列前項(xiàng)之和小于，故形如的項(xiàng)必須從兩個(gè)中選出，（任何其它項(xiàng)的和不等于），于是選出一個(gè)有兩種方法，同時(shí)選出兩個(gè)只有一種方法對(duì)于集合中

7、的每個(gè)數(shù)，可將其表為含有一百個(gè)數(shù)位的三進(jìn)制形式：，即 ，其中；若在中恰有個(gè)為（其余個(gè)數(shù)為或），則（這是由于，每個(gè)有紅藍(lán)兩種選取方案）現(xiàn)將集分解為，其中中的每個(gè)數(shù)在表成上述三進(jìn)制形式后，其系數(shù)恰有個(gè)為（其余個(gè)數(shù)為或），因此集中，共有個(gè)數(shù)，（這是由于，從中選取個(gè)為，有種選法，其余個(gè)數(shù)，每個(gè)可取作或，有種方法）；這樣，中各數(shù)的值之和為，由于集合兩兩不相交，從而，注意到，即數(shù)列中的每個(gè)數(shù)都不選，其方案數(shù)，所以解二、采用數(shù)學(xué)歸納法，為此，將問(wèn)題一般化，將具體數(shù)改為非負(fù)整數(shù)，考慮數(shù)列，其和為，今計(jì)算的值對(duì)歸納，時(shí)數(shù)列有兩項(xiàng)：，則；由于，所以；時(shí)數(shù)列有四項(xiàng)：，則，而，于是；據(jù)此猜想，對(duì)于數(shù)列（其和為），有 此式在時(shí)已驗(yàn)證，今假定對(duì)于成立，考慮情況，數(shù)列的和為，將集合中的每個(gè)數(shù)表成三進(jìn)制