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1、2013年南昌市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷6月29日上午8:30 11:00【說(shuō)明】:凡是題號(hào)下標(biāo)志有“高一”的,為高一考生試題;題號(hào)下標(biāo)志有“高二”的,為高二考生試題;凡未作這種標(biāo)志的,則為全體考生試題一、填空題(每小題分,共分)、將全體正整數(shù)自小到大一個(gè)接一個(gè)地順次寫(xiě)成一排,則從左至右的第個(gè)數(shù)字是 、(高一)設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和,則其公比 (高二)若自橢圓中心到焦點(diǎn)、長(zhǎng)軸頂點(diǎn)、以及到準(zhǔn)線的距離之長(zhǎng)可以組成一個(gè)直角三角形,則該橢圓的離心率是 、(高一)等差數(shù)列與的相同的項(xiàng)之和為 (高二)正四棱錐中,是的重心,則四面體的體積是 、(高一)滿足的實(shí)數(shù)的集合是 (高二)函數(shù)的最大值是 、若為正數(shù),表示的整數(shù)部
2、分,而,如果順次組成等比數(shù)列,則 、(高一)是不同的正整數(shù),若集合,為正整數(shù),則的最小值是 、函數(shù)的最小值是 、若,則 二、解答題(共分)、(分)如圖,過(guò)的三個(gè)頂點(diǎn)各作其外接圓的切線,分別與相應(yīng)頂點(diǎn)的對(duì)邊所在直線相交,證明:三個(gè)交點(diǎn)共線、(分)數(shù)列滿足:,、寫(xiě)出數(shù)列前個(gè)項(xiàng)的值; 、對(duì)任意正整數(shù),求的表達(dá)式、(分)盒中裝有紅色和藍(lán)色紙牌各張,每色紙牌都含標(biāo)數(shù)為的牌各一張,兩色紙牌的標(biāo)數(shù)總和記為;對(duì)于給定的正整數(shù),若能從盒中取出若干張牌,使其標(biāo)數(shù)之和恰為,便稱為一種取牌方案,不同的方案種數(shù)記為;試求之值2013年南昌市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題解答【說(shuō)明】:凡是題號(hào)下標(biāo)志有“高一”的,為高一考生試題;題號(hào)下
3、標(biāo)志有“高二”的,為高二考生試題;凡未作這種標(biāo)志的,則為全體考生試題一、填空題(每小題分,共分)、將全體正整數(shù)自小到大一個(gè)接一個(gè)地順次寫(xiě)成一排,則從左至右的第個(gè)數(shù)字是 答案:解:全體一位數(shù)共占據(jù)個(gè)數(shù)位,全體兩位數(shù)共占據(jù)個(gè)數(shù)位,接下來(lái)是順次排列的三位數(shù),由于,而,因,所以第個(gè)數(shù)字是三位數(shù)的末位數(shù)字,即為、(高一)設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和,則其公比 答案:解:,當(dāng)時(shí),(高二)若自橢圓中心到焦點(diǎn)、長(zhǎng)軸頂點(diǎn)、以及到準(zhǔn)線的距離之長(zhǎng)可以組成一個(gè)直角三角形,則該橢圓的離心率是 答案:解:由,得,又據(jù),得,所以,則,所以、(高一)等差數(shù)列與的相同的項(xiàng)之和為 答案:解:等差數(shù)列,的第一個(gè)相同項(xiàng)是,最后一個(gè)相同項(xiàng)是,而
4、以為公差,以為公差,所以,構(gòu)成以為首項(xiàng), 為末項(xiàng),且公差為的等差數(shù)列,公共項(xiàng)個(gè)數(shù)為,所以公共項(xiàng)的和為(高二)正四棱錐中,是的重心,則四面體的體積是 答案:解:設(shè)交于,則,所以;若是四棱錐的高,則,正方形面積為,所以,的面積為,故四面體體積為,又由,所以四面體體積為,于是四面體的體積為:、(高一)滿足的實(shí)數(shù)的集合是 答案:解:數(shù)形結(jié)合,將其視為求與交點(diǎn)的橫坐標(biāo),如圖;由于,僅當(dāng)時(shí),此時(shí)方有交點(diǎn),當(dāng),由得,當(dāng),得(高二)函數(shù)的最大值是 答案:解:將函數(shù)式看作定點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)連線的斜率;而動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一個(gè)單位圓,設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線方程為,即,當(dāng)斜率取最大值時(shí),該直線應(yīng)是單位圓的一條切線,于是原點(diǎn)到該直線距離為,
5、即有,所以,因此最大值為、若為正數(shù),表示的整數(shù)部分,而,如果順次組成等比數(shù)列,則 答案:解:改記,由等比,而,所以,由于,則為正整數(shù),且只有,從而,所以、(高一)是不同的正整數(shù),若集合,為正整數(shù),則的最小值是 答案:解:由偶數(shù),所以兩奇一偶;即為奇數(shù),顯然,不妨設(shè),如果,則由得,此時(shí)導(dǎo)致,矛盾!所以,當(dāng)時(shí),由,解得,這時(shí),、函數(shù)的最小值是 解:由于的中間一數(shù)為,當(dāng)時(shí),函數(shù)取得最小值、若,則 答案:解:將條件式平方得,兩式相加得;兩式相減得:;因此,二、解答題(共分)、(分)如圖,過(guò)的三個(gè)頂點(diǎn)各作其外接圓的切線,分別與相應(yīng)頂點(diǎn)的對(duì)邊所在直線相交,證明:三個(gè)交點(diǎn)共線證:據(jù)梅尼勞斯逆定理,只要證;由
6、弦切角關(guān)系,由,得;同理,由,得,由,得所以,因此共線、(分)數(shù)列滿足:,、寫(xiě)出數(shù)列前個(gè)項(xiàng)的值; 、對(duì)任意正整數(shù),求的表達(dá)式解:、順次算出:;、因?yàn)椋?所以, , , , , ,相加得,、(分)盒中裝有紅色和藍(lán)色紙牌各張,每色紙牌都含標(biāo)數(shù)為的牌各一張,兩色紙牌的標(biāo)數(shù)總和記為;對(duì)于給定的正整數(shù),若能從盒中取出若干張牌,使其標(biāo)數(shù)之和恰為,便稱為一種取牌方案,不同的方案種數(shù)記為;試求之值解一、將盒中的紙牌按標(biāo)數(shù)自小到大的順序排成一列:,值相等的兩個(gè)項(xiàng)不同色,對(duì)于每個(gè),數(shù)列前項(xiàng)之和小于,故形如的項(xiàng)必須從兩個(gè)中選出,(任何其它項(xiàng)的和不等于),于是選出一個(gè)有兩種方法,同時(shí)選出兩個(gè)只有一種方法對(duì)于集合中
7、的每個(gè)數(shù),可將其表為含有一百個(gè)數(shù)位的三進(jìn)制形式:,即 ,其中;若在中恰有個(gè)為(其余個(gè)數(shù)為或),則(這是由于,每個(gè)有紅藍(lán)兩種選取方案)現(xiàn)將集分解為,其中中的每個(gè)數(shù)在表成上述三進(jìn)制形式后,其系數(shù)恰有個(gè)為(其余個(gè)數(shù)為或),因此集中,共有個(gè)數(shù),(這是由于,從中選取個(gè)為,有種選法,其余個(gè)數(shù),每個(gè)可取作或,有種方法);這樣,中各數(shù)的值之和為,由于集合兩兩不相交,從而,注意到,即數(shù)列中的每個(gè)數(shù)都不選,其方案數(shù),所以解二、采用數(shù)學(xué)歸納法,為此,將問(wèn)題一般化,將具體數(shù)改為非負(fù)整數(shù),考慮數(shù)列,其和為,今計(jì)算的值對(duì)歸納,時(shí)數(shù)列有兩項(xiàng):,則;由于,所以;時(shí)數(shù)列有四項(xiàng):,則,而,于是;據(jù)此猜想,對(duì)于數(shù)列(其和為),有 此式在時(shí)已驗(yàn)證,今假定對(duì)于成立,考慮情況,數(shù)列的和為,將集合中的每個(gè)數(shù)表成三進(jìn)制
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