數(shù)學(xué)建模屋檐水槽模型

1、數(shù)學(xué)建模課程設(shè)計(jì) 設(shè)計(jì)題目： 屋檐水槽問(wèn)題數(shù)學(xué)建模 專(zhuān) 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 班級(jí)學(xué)號(hào)： 0909401-13 姓 名： 童源 指導(dǎo)教師： 王扉 成 績(jī)： 2011 年 11 月 18 日屋檐的水槽問(wèn)題 房屋管理部門(mén)想在房頂?shù)倪呴馨惭b一個(gè)檐槽，其目的是為了雨天出入方便。從屋脊到屋檐的房頂可看成是一個(gè)12米長(zhǎng)，6米寬的矩形平面，房頂與水平方向的傾斜角度一般在 。 b a現(xiàn)有一公司想承接這項(xiàng)業(yè)務(wù)，允諾：提供一種新型的檐槽，包括一個(gè)橫截面為半圓形（半徑為7.5cm）的水槽和一個(gè)豎直的排水管（直徑為10cm），不論天氣情況如何，這種檐槽都能排掉房頂?shù)挠晁?。房管部門(mén)猶豫，考慮公司的承諾能否實(shí)現(xiàn)。請(qǐng)你建立

2、數(shù)學(xué)模型，論證這個(gè)方案的可行性。 b a1 問(wèn)題的簡(jiǎn)化水槽的容量能否足以排出雨水的問(wèn)題，簡(jiǎn)化為水箱的流入流出問(wèn)題。從房頂上流下的雨水量是流入量；順垂直于房頂?shù)呐潘芘懦龅氖橇鞒隽俊Ｋ勰芊裨跊](méi)有溢出的情況下將全部雨水排出，即就是要研究水槽中水的深度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系。2 假設(shè)（1）雨水垂直下落并且直接落在房頂上；（2）落在房頂上的雨水全部迅速流入水槽中；（3）直接落入水槽中的雨水可忽略不計(jì)；（4）落在房頂上的雨沒(méi)有濺到外面去；（5）在排水系統(tǒng)中不存在一些預(yù)料不到的障礙，象落在房頂上的雜物、樹(shù)葉等。3 符號(hào)說(shuō)明 有關(guān)因素因素類(lèi)型符號(hào)單位降水速度輸入變量rms-1時(shí)間變量ts房頂?shù)膬A斜角輸入?yún)?shù) 弧

3、度房頂?shù)拈L(zhǎng)度輸入?yún)?shù)dm房頂?shù)膶挾容斎雲(yún)?shù)bm水槽的半徑輸入?yún)?shù)am水槽中水的高度輸出變量hm水槽中水的容量變量vm3流入水槽的流速變量q1m3s-1流出水槽的流速變量q0m3s-1排水管的橫截面積參數(shù)am24 模型的建立根據(jù)速度平衡原理，對(duì)于房頂排水系統(tǒng)水槽中水的容量的變化率=雨水的流入速度 - 排水管流出的速度。分別是單位時(shí)間流入水槽和從水槽流出的雨水量的體積。 雨表示單位時(shí)間里落在水平面上雨水的深度，房頂?shù)拿娣e 水流 b實(shí)際受雨的水平面積，房頂上雨水的流速 流入水槽的速度應(yīng)是在鉛垂方向的分量排水管的流出速度應(yīng)與水槽中水的深度有關(guān)。根據(jù)能量守恒原理 ， ， 水槽中水的體積為 ， h 5模型

4、的求解與分析將表中的數(shù)據(jù)代入（7）式，用matlab解得 由假設(shè) （1）若。先討論水槽的深度趨于一個(gè)低于0.075m的穩(wěn)定值，即時(shí)。將代入上述模型，得到 h(t)= 899209.148v2當(dāng)h(t)=0.075時(shí)，解得 v= 0.00028802由此得到，當(dāng)v 0.00028802 m/s時(shí)，水溢出。下面，用matlab對(duì)這一結(jié)論進(jìn)一步分析。不妨取v=0.0002、0.000288 分別代入方程（*）求其數(shù)值解，并作出圖形：編寫(xiě)a.m 文件：function hp=a(t,h1)hp=(1.374038*0.0002-0.001449*sqrt(h1)/sqrt(0.15*h1-h12);f

5、unction hp=b(t,h2)hp=(1.374038*0.0003-0.001449*sqrt(h2)/sqrt(0.15*h2-h22);執(zhí)行matlab程序： t,h1=ode45(a,0,60,0.01); plot(t,h1) t,h2=ode45(b,0,60,0.01);plot(t,h2)我國(guó)氣象部門(mén)規(guī)定24 h降水量在200mm以上（約0.000 002m/s）的雨為特大暴雨。對(duì)于這種情形，v 0.00028802 m/s 即24 h降水量在24884.9mm以上的強(qiáng)降雨機(jī)率幾乎為0，因此，這個(gè)公司的承諾是能兌現(xiàn)的。 （2）若為周期函數(shù)，不妨設(shè)為正弦函數(shù)，即： 這表明下

6、雨過(guò)程是在60s內(nèi)發(fā)生的一個(gè)短促的強(qiáng)陣雨過(guò)程，最大的降雨強(qiáng)度是0.000 01m/s,由方程（*）得到如下微分方程： 運(yùn)用matlab求數(shù)值解：編寫(xiě)shuicao.m 文件：function f=shuicao(t,h)f=(0.000412*sin(pi*t/60)-0.001449*sqrt(h)/sqrt(0.15*h-h2);執(zhí)行matlab程序： t,h=ode45(shuicao,0,60,0.01); plot(t,h)從圖中可以看出，h(t)的最大值不會(huì)超過(guò)0.075m，因此，對(duì)于第（2）種情況，水槽的水也不會(huì)溢出，這個(gè)公司的承諾是能兌現(xiàn)的。6、的改進(jìn)模型 基于長(zhǎng)時(shí)間特大暴雨的考慮，可做如下兩種改進(jìn)： (1)增大排水管的橫截面積，即增大排水管的直徑d。 (2)改變水槽的連接方式，讓水槽往屋檐傾斜一定角度，這相當(dāng)于增加水槽的容水高度。7、參