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文檔簡介
1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題課1,例1 設(shè)A,B為兩個(gè)隨機(jī)事件,P(A-B)= C ,A. P(A)-P(B) B. P(A)-P(B)+P(AB),C. P(A)-P(AB) D. P(A)-P( )+P( ),解 因A-B=A-AB,又AB A, 故 p(A-B)=P(A)-P(AB),又P(AB)=P(A)+P(B)-P(AUB) P(A)+P(B)-1,例2 設(shè)當(dāng)事件A與B同時(shí)發(fā)生時(shí),事件C必發(fā)生,則下列式子正確的是 B ,解 由已知AB C,則P(C) P(AB),A. P(C) P(A)+P(B)-1,B. P(C) P(A)+P(B)-1,C. P(C)=P(AB),D. P(C)=P(
2、AUB),例3 設(shè),則下列結(jié)論正確的是 D ,A. 事件A與B互不相容 B.事件A與B相互對(duì)立,C. 事件A與B不相互獨(dú)立 B.事件A與B相互獨(dú)立,解 由 ,得,即 從而,P(AB)1-P(B)=P(A)-P(AB)P(B),即 P(AB)=P(A)P(B),例4 設(shè)隨機(jī)事件A,B及事件AUB的概率分別是,0.4,0.3和0.6,那么 0.3,解 由P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.6,得 P(AB)=0.4+0.3-0.6=0.1,故,例5 甲、乙兩人獨(dú)立地對(duì)同一目標(biāo)射擊一次,,其命中率分別為0.6和0.5,現(xiàn)已知目標(biāo)被擊中, 則它是甲射中的概率為 0.75,解 設(shè)A表示“甲
3、射擊一次命中目標(biāo)”,B表示“乙射擊一次命中目標(biāo)”,要求概率為,例6 某電子元件的壽命X的概率密度為(單位:h),裝有5個(gè)這種電子元件的系統(tǒng)在使用的前1500h,內(nèi)正好有2個(gè)元件需要更換的概率是 C ,解 每個(gè)元件在1500h內(nèi)損壞的概率為,設(shè)Y表示5個(gè)元件中需要更換的元件個(gè)數(shù),則,所求概率為,例7 設(shè)隨機(jī)變量 且,則必有 A ,解 因?yàn)?所以,例8 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為,若k使得,則k的取值范圍是 1,3,解 若,若,若,所以k的取值范圍是1,3,例9 如圖平面區(qū)域D由曲線,及直線,所圍成,二維隨即變量(X,Y)服從,在 處的值為 1/4,解: 區(qū)域D的面積為,所以(X,Y)的聯(lián)合概率密度
4、為,均勻分布,則(X,Y)關(guān)于,X的邊緣概率密度,(X,Y)關(guān)于X的邊緣概率密度為,故,例10 設(shè)X和Y為兩個(gè)隨機(jī)變量,且,則,5/7,解,例11 設(shè)隨機(jī)變量X與Y 相互獨(dú)立,且均服從區(qū) 間 上的均勻分布,則 1/9,解,例12 設(shè)D(X)=4,D(Y)=9, ,則,D(3X-2Y)=,解:,例13 設(shè)隨機(jī)變量 相互獨(dú)立,其中,服從0,6上的均勻分布,,記 則D(Y)=,解:,例14 設(shè)有來自三個(gè)地區(qū)的考生的報(bào)名表分別是10份,15份,和25份,其中女生的報(bào)名表分別是3份,7份和15份,隨機(jī)地取出一個(gè)地區(qū)的報(bào)名表,從中先后抽出兩份:,(1)先抽到的一份是女生表的概率 (2)已知后抽到的一份是男
5、生表,求先抽到的一份是女生表的概率,(3)已知先抽到的一份是女生表,后抽到的一份是男生表的條件下,他們是來自第二個(gè)考區(qū)的概率,解 設(shè) =報(bào)名表是第i個(gè)考區(qū)的 i=1,2,3,=第j次抽到的報(bào)名表示男生表 j=1,2,(1),(2) 由于抽簽與順序無關(guān),故,(3) 由貝葉斯公式,例15 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為,(1) 求常數(shù)A (2) 求X的分布函數(shù),(3) 在n此獨(dú)立觀察中,求X的值至少有一次,小于0.5的概率 (4) 求 的概率密度,解,(1),(2)當(dāng) 時(shí),,當(dāng) 時(shí),,所以,(3),令Z表示n次獨(dú)立觀察中X0.5出現(xiàn)的次數(shù), 則 ,則所求概率為,(4),單增,其反函數(shù)為,例16 二維隨機(jī)
6、變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為,(1)試確定常數(shù)A;(2)求(X,Y)的聯(lián)合分 布函數(shù);(3)求關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣密度函 數(shù);(4)判斷X和Y是否獨(dú)立?(5)求z=X+Y 的密度函數(shù);(6)求,解 (1)由聯(lián)合密度函數(shù)的性質(zhì)得,故,(2)當(dāng) 或 時(shí),,當(dāng) 時(shí),,當(dāng) 時(shí),,當(dāng) 時(shí),,當(dāng) 時(shí),,所以(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為:,(3),(4)由于當(dāng) 時(shí),,所以X與Y不相互獨(dú)立.,(5) 由兩個(gè)隨機(jī)變量和的密度函數(shù)公式,x,z,0,1,1,當(dāng) 時(shí),,當(dāng) 時(shí),,當(dāng) 時(shí),,當(dāng) 時(shí),,于是Z=X+Y的概率密度函數(shù)為,(6),例17 設(shè)某班車起點(diǎn)站上客人數(shù)X服從參數(shù)為,的泊松分布,每位乘客在中途下車,的概率為,,且中途下車與否相互,獨(dú)立,以Y表示在中途下車的人數(shù),求:,(1)在發(fā)車時(shí)有n個(gè)乘客的條件下,中途有m個(gè),下車的概率;,(2) 二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律;,(3)求關(guān)于Y的邊緣分布律.,解 (1),(2)(X,Y)的聯(lián)合分布律為,(3),例18 已知甲、乙兩箱中裝有同種產(chǎn)品,其中 甲箱中裝有3件合格品和3件次品,乙箱中僅有 3
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