備戰(zhàn)2018版高考數(shù)學(xué)考試萬能工具包 第一篇 考前必看公式與結(jié)論 專題1.3 跳出10個解題陷阱

1、專題03 跳出10個解題陷阱“陷阱”,顧名思義,它是指人們在認(rèn)識事物的過程中因認(rèn)識的片面性而不知不覺地陷入其中的一種情況.數(shù)學(xué)中的陷阱題,往往針對某些概念、定理的掌握及運算中的薄弱環(huán)節(jié),在考生容易出現(xiàn)錯誤的地方著手編擬,或是針對考生思維的慣性或弱點來設(shè)計障礙,或是針對考生解決某些問題的方法上的缺陷設(shè)置問題.這些問題像現(xiàn)實生活中的陷阱那樣,難以識別,可以有效地暴露與檢測出考生數(shù)學(xué)知識掌握的缺陷.陷阱一混淆概念理解概念抓本質(zhì)例1【2018四川省廣元市統(tǒng)考】已知是實數(shù)， 是虛數(shù)單位，若是純虛數(shù)，則_易錯分析本題易混淆復(fù)數(shù)的相關(guān)概念,忽視虛部不為零的限制條件,導(dǎo)致多解.跳出陷阱在解答概念類試題時,一定

2、要仔細(xì)辨析所求的問題,在明確概念的前提下再解答.本題要搞清楚虛數(shù),純虛數(shù),實數(shù)與復(fù)數(shù)的概念.跟蹤集訓(xùn)【2018湖北省穩(wěn)派教育聯(lián)考】若，則“”的一個充分不必要條件是A. B. C. 且 D. 或陷阱二錯用結(jié)論公式定理要記準(zhǔn)例2【2018東北四校聯(lián)考】已知函數(shù)，現(xiàn)將的圖象向左平移個單位，再將所得圖象上各點的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，則在的值域為（ ）A. B. C. D. 易錯分析該題易出現(xiàn)的問題有兩個:一是不能確定函數(shù)解析式的變換與圖象平移方向之間的關(guān)系;二是記錯函數(shù)圖象上點的橫坐標(biāo)的伸縮變化與函數(shù)解析式變換之間的對應(yīng)關(guān)系.【答案】A跳出陷阱三角函數(shù)圖象的平移與伸縮變換問

3、題,關(guān)鍵是把握變換前后兩個函數(shù)解析式之間的關(guān)系,熟記相關(guān)的規(guī)律.如函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移m(m0)個單位,得到函數(shù)y=f(x+m)的圖象;若向右平移m(m0)個單位,得到函數(shù)y=f(x-m)的圖象.若函數(shù)y=f(x)的圖象上的點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?0)倍,則得到函數(shù)y=f 的圖象.跟蹤集訓(xùn)已知函數(shù)，把函數(shù)的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象，若是在內(nèi)的兩根，則的值為（ ）A. B. C. D. 陷阱三忽視驗證特例情況要謹(jǐn)記例3已知橢圓+=1的半焦距為c,曲線上任一點(x,y)(x0)到定點F(1,0)的距離比到y(tǒng)軸的距離大c.(1)求曲線的方程;(2)直線l過點F,交曲線于A,B兩點,

4、過A,B分別作曲線的切線,交于點P,判斷 是否為定值.若是,請給予證明并求出該定值;若不是,請說明理由.易錯分析直線l過點F交曲線于A,B兩點,經(jīng)常設(shè)直線l的方程為y=k(x-1),k0,漏掉了過點F的直線l與x軸垂直這一特殊情況,導(dǎo)致錯誤.正確解析(1)因為橢圓+=1的半焦距為c,所以c=1,因為曲線上任一點(x,y)(x0)到定點F(1,0)的距離比到y(tǒng)軸的距離大1,所以曲線上任一點(x,y)(x0)到定點F(1,0)的距離等于到直線x=-1的距離.根據(jù)拋物線的定義,知曲線的軌跡為拋物線.設(shè)拋物線的方程為y2=2px(p0),所以=1,解得p=2,所以曲線的方程為y2=4x.(2)為定值0

5、.證明如下:當(dāng)過點F的直線l與x軸垂直時,則直線l的方程為x=1,根據(jù)拋物線的對稱性知,點P在x軸上,所以PFAB,所以=0.由y2=4x(y0且a1)在區(qū)間(2,6)內(nèi)恰有4個不等的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是()A. B. (1,4)C. (1,8) D. (8，)陷阱八計算跳步步驟過程要合理例8如圖所示的四棱錐 A-BCDE,四邊形BCDE是邊長為3的正方形,AE平面BCDE,AE=3,P是邊DE上的一個動點,連接PA,PC.(1)若點Q為棱AC的中點,是否存在點P,使得 PQ平面AEB?若存在,請給予證明;若不存在,請說明理由;(2)當(dāng)EP=ED時,求平面AEB和平面APC所成二面角的

6、正弦值.易錯分析求平面法向量時,常因點的坐標(biāo)、向量的坐標(biāo)或平面向量的數(shù)量積運算出錯,導(dǎo)致所求的法向量有誤;求平面AEB和平面APC所成二面角的正弦值時,易與求直線與平面所成角相混淆,導(dǎo)致所求的結(jié)果出錯.正確解析(1)當(dāng)P為DE的中點時,PQ平面AEB.理由如下:取AB的中點M,連接EM,QM,如圖所示.由Q為AC的中點,得MQBC,且MQ=BC,(2)因為AE平面BCDE,BEDE,所以以E為原點,EB,ED,EA所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,因為四邊形BCDE是邊長為3的正方形,EP=ED,AE=3,所以B(3,0,0),A(0,0,3),P(0,2,0),C

7、(3,3,0).所以=(3,1,0),=(0,-2,3).易知平面AEB的一個法向量為n1=(0,1,0),設(shè)平面APC的法向量為n2=(x,y,z),由得取y=3,得平面APC的一個法向量為n2=(-1,3,2),所以|cos|=,設(shè)平面AEB和平面APC所成的二面角為,則sin =,所以平面AEB和平面APC所成二面角的正弦值為.跳出陷阱求兩個平面所成角的正弦值需注意兩處運算:一是求平面法向量,此時一定要認(rèn)真求出點的坐標(biāo),利用“終減起”,求出向量的坐標(biāo),再通過聯(lián)立方程,求出法向量的坐標(biāo);二是求兩個平面所成角的正弦值,先計算兩個平面所成角的余弦值,再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,即可得結(jié)論.

8、【變式訓(xùn)練】【2018吉林省實驗中一?！恳阎獢?shù)列中， （）求的通項公式；（）數(shù)列滿足，數(shù)列的前項和為， 若不等式對一切恒成立，求的取值范圍陷阱九轉(zhuǎn)化不當(dāng)由此及彼要等價例9【2018甘肅省張掖市一?！恳阎瘮?shù).（1）若曲線在處的切線與軸垂直，求的最大值；（2）若對任意都有，求的取值范圍.易錯分析該題易出現(xiàn)的問題是不能根據(jù)已知條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性求解.【解析】（1）由，得， ，從而 在上恒成立，令，則，當(dāng)時， ，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，當(dāng)時， ，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，即，通過求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可知它在上單調(diào)遞增，故，綜上，實數(shù)的取值范圍是.跳出陷阱條件的合理轉(zhuǎn)化是將復(fù)雜、陌生的問

9、題轉(zhuǎn)化為簡單、熟悉的問題的關(guān)鍵,在轉(zhuǎn)化過程中一定要對式子進行等價變形,如該題中的第(2)問根據(jù)不等式結(jié)構(gòu)特征，轉(zhuǎn)化為函數(shù)具有單調(diào)性?！咀兪接?xùn)練】【2018湖北省襄陽市調(diào)研】已知i與j為互相垂直的單位向量， ，且a與b的夾角為銳角，則實數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 陷阱十新定義不明用新定義要明確例10定義:用x(xR)表示不超過x的最大整數(shù),用x)(xR)表示超過x的最小整數(shù).例如1.2=1,-0.3=-1,-1.5)=-1.給出下列結(jié)論:函數(shù)f(x)=sin x是奇函數(shù);2是函數(shù)f(x)=sin x的周期;若x(1,2),則不等式(x)-x)x)x的解集為;函數(shù)g(x)=sin

10、x+cos x)的值域是2,1,0,-1.其中正確的是.(填上所有正確結(jié)論的編號)易錯分析未讀懂新定義“x(xR)”與“x)(xR)”的含義,導(dǎo)致判斷結(jié)論是否正確時出錯.(kZ).數(shù)形結(jié)合可知,2是函數(shù)f(x)=sin x的周期,所以正確.對于,當(dāng)x(1,2)時,x)=2,由(x)-x)x)x,得解得x2,故其解集為.所以正確.對于,因為g(x)=sin x+cos x)=kZ.所以函數(shù)g(x)=sin x+cos x)的值域是2,1,0,-1,所以正確.跳出陷阱利用題設(shè)的新定義解題時,一定要過好審題關(guān),仔細(xì)辨析試題中待求的問題;在準(zhǔn)確理解新定義的前提下再求解,這樣才能避免掉入新定義應(yīng)用的陷阱

11、里.【變式訓(xùn)練】若函數(shù)f(x)(x1xx2)的圖象上的兩端點A,B的橫坐標(biāo)分別為x1,x2,動點M(xM,yM)在函數(shù)f(x)的圖象上,且滿足xM=x2+(x1-x2)(R),O為坐標(biāo)原點,且點N滿足=+,則稱向量-的模的最大值為函數(shù)y=f(x)的“向高”.函數(shù)f(x)=x2-4x+2在區(qū)間-1,5上的“向高”為.答案部分陷阱一混淆概念理解概念抓本質(zhì)跟蹤集訓(xùn)【答案】C陷阱二錯用結(jié)論公式定理要記準(zhǔn)跟蹤集訓(xùn)【答案】A【解析】把函數(shù)圖象向右平移個單位，得到函數(shù)，化簡得 且周期為，因為是在內(nèi)的兩根，所以必有，根據(jù) 得， 令，則， ，所以 ,故選A.陷阱三忽視驗證特例情況要謹(jǐn)記跟蹤集訓(xùn)【答案】陷阱四討論

12、漏解參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)要恰當(dāng)【變式訓(xùn)練】【解析】（） 的定義域為R， ，（1）當(dāng)時， 在R上恒成立，在R上為增函數(shù)； （2）當(dāng)時，令得，令得，的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為； （）（1）由（）知，當(dāng)時， 在R上為增函數(shù)， 不合題意；當(dāng)時， 的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，又，當(dāng)時， ，有兩個零點，則，解得； （2）由（）（1），當(dāng)時， 有兩個零點，且在上遞增， 在上遞減，依題意， ，不妨設(shè) 要證，即證，又，所以，而在上遞減，即證， 又，即證，（ ） 構(gòu)造函數(shù)， ，在單調(diào)遞增，從而，（ ），命題成立陷阱五條件遺漏細(xì)心審題不遺漏【變式訓(xùn)練】【答案】D陷阱六推理不當(dāng)歸納類比要合理【變式訓(xùn)練】【答案】【解析】不等式x6（x+2）（x+2）3x2變形為，x6+x2（x+2）3+（x+2）；令u=x2，v=x+2，則x6+x2（x+2）3+（x+2）u3+uv3+v；考察函數(shù)f（x）=x3+x，知f（x）在R上為增函數(shù)，f（u）f（v），uv；不等式x6+x2（x+2）3+（x+2）可化為x2x+2，解得x1或x2；不等式的解集為：（，1）（2，+）故答案為：（，1）（2，+）陷阱七畫圖不準(zhǔn)數(shù)化“形”要準(zhǔn)確【變式訓(xùn)練】【答案】D陷阱八計算跳步步驟過程要合理【變式訓(xùn)練】【解析】（）證明：由，得