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1、第六章 投 影 變 換,第一節(jié) 概述,第二節(jié) 換面法,第一節(jié) 概述,特殊位置的直線:,可直接反映實(shí)長(zhǎng)、傾角問題,特殊位置的平面:,可直接反映實(shí)形、傾角問題,正平面,正垂面,特殊位置的幾何元素:,可直接反映度量、定位問題,距離,m,m,點(diǎn)到直線的距離,一、基本概念,改變空間幾何元素與投影面的相對(duì)位置,使它們相互之間處于某一特殊位置的情況,從而使問題簡(jiǎn)化、得到解決投影變換。,二、投影變換的方法,1. 輔助投影面法(換面法)2. 旋轉(zhuǎn)法,第二節(jié) 換面法,一、 概念:,換面法:空間幾何元素不動(dòng),改變投影面的位置使其有利于解題。,V1,二、基本條件,講解:點(diǎn) 線 面,V1,a1,H,V1,ax1,三、基
2、本原理,1. 點(diǎn)的一次變換:, 變換規(guī)律: 1). 點(diǎn)的新投影到新軸之距=舊投影到原軸之距; 2). 點(diǎn)的新投影與被保留投影的連線新軸O1X1。,ax1,a1,點(diǎn)在V/H1體系中的投影,更換H面,求新投影的作圖方法,V,H,X,由點(diǎn)的不變投影向新投影軸作垂線,并在垂線上量取一段距離,使這段距離等于被代替的投影到原投影軸的距離。,a,a,ax,ax1,ax1,更換V面,作圖規(guī)律:,點(diǎn)的兩次變換,新投影體系的建立,按次序更換,A,a,V,H,a,ax,X,點(diǎn)的兩次變換,1、把一般位置直線變換成投影面的平行線,b1,a1,四、基本作圖,2.把投影面的平行線變換成投影面的垂直線,a1 (b1),a1
3、(b1),3. 把一般位置直線變換成投影面垂直線,3. 把一般位置直線變換成投影面垂直線,空間分析:,a,b,a,b,X,V,H,作圖:,二次換面把投影面平行線變成投影面垂直線。,X2軸的位置?,與a1b1垂直,一次換面把直線變成投影面平行線;,把一般位置直線變?yōu)橥队懊娲怪本€,一般位置直線變換成投影面垂直線,需經(jīng)幾次變換?,如果把平面內(nèi)的一條直線變換成新投影面的垂直線,那么該平面則變換成新投影面的垂直面。,空間分析:,在平面內(nèi)取一條投影面平行線,經(jīng)一次換面后變換成新投影面的垂直線,則該平面變成新投影面的垂直面。,作圖方法:,能否只進(jìn)行一次變換?,思考: 若變換H面,需在面內(nèi)取什么位置直線?,正
4、平線!,4.把一般位置平面變換成投影面的垂直面,把一般位置平面變換成投影面的垂直面,d,d,a1,b1,d1(c1),把一般位置平面變換成投影面的垂直面,c,5.把投影面的垂直面變換成投影面的平行面,把投影面的垂直面變換成投影面的平行面,a1,b1,c1,6.把一般位置平面變換成投影面的平行面,V1,H2,a2,b2,c2,k1,b1,a1,k2,a2(b2),(t2),t1,t,t,求K點(diǎn)到直線AB之 距及兩面投影。,例題,求具有公共邊BC的ABC 和BCD的夾角。,例題,C,D,S,T,B,b2,t2,a2,C2(s2) (d2),H2,V,H,X,O,b,d,a,c,c,d,a,b,V1
5、,X1,H,O1,b1,a1,c1,d1,k1,g1,k,g,O2,X2,H2,V1,a2,b2,g,k,g2,距離,綜合例題 求交叉兩直線AB和CD間的距離。,b,例題 求兩直線AB與CD的公垂線 。,思考題 如何求兩直線AB與CD間的距離?,V,提示,b,a,a,b,c,d,例題:已知兩交叉直線AB和CD的公垂線的長(zhǎng)度 為MN, 且AB為水平線,求CD及MN的投影。,空間及投影分析:,V,H,X,圓半徑=MN,作圖:,請(qǐng)注意各點(diǎn)的投影如何返回?,求m點(diǎn)是難點(diǎn)。,c1,空間及投影分析:AB與CD都平行于投影面時(shí),其投影的夾角才反映實(shí)角(60),因此需將AB與C點(diǎn)所確定的平面變換成投影面平行面
6、。,例題: 過C點(diǎn)作直線CD與AB相交成60角。,a,b,a,c,b,X,V,H,c,作 圖:,幾個(gè)解?,兩個(gè)解!,已知點(diǎn)C是等邊三角形的頂點(diǎn),另兩個(gè)頂點(diǎn)在直線AB上,求等邊三角形的投影。,思考:,如何解?,解法相同!,D點(diǎn)的投影如何返回?,例題 已知點(diǎn)E在平面ABC上,距離A、B為15,求E點(diǎn)的投影。,a,a,X,b,b,c,d,c,d,已知兩直線AB/CD且相間距離為10 (例5P93),X,H2,V1,c1,d1,c,c2(d2),R=10,例題 求點(diǎn)S到平面ABC的距離,例題 已知E到平面ABC的距離為N,求E點(diǎn)的正面投影e。,例題 求點(diǎn)到平面ABC的距離,X1,b 1 d 1,c 1
7、,a 1,k 1,k,k,小 結(jié),本章主要介紹了投影變換的一種常用方法 換面法。,一、 換面法就是改變投影面的位置,使它與所給物 體或其幾何元素處于解題所需的特殊位置。,二、 換面法的關(guān)鍵是要注意新投影面的選擇條件, 即必須使新投影面與某一原投面保持垂直關(guān)系, 同時(shí)又有利于解題需要,這樣才能使正投影規(guī) 律繼續(xù)有效。,三、點(diǎn)的變換規(guī)律是換面法的作圖基礎(chǔ),六個(gè)基本 問題是解題的基本作圖方法,必需熟練掌握。,換面法的基本問題:,2. 把一般位置直線變成投影面垂直線,1. 把一般位置直線變成投影面平行線,3. 把一般位置平面變成投影面垂直面,4. 把一般位置平面變成投影面平行面,變換一次投影面,變換一次投影面,變換兩次投影面,變換兩次投影面,需先在面內(nèi)作一條投影面平行線,四、解題時(shí)一般要注意下面幾個(gè)問題:, 分析已給條件的空間情況,弄清原始條件中 物體與原投影面的相對(duì)位置,并把這些條件 抽象成幾何元素(點(diǎn)、線、面等)。, 根據(jù)要求得到的結(jié)果,確定出有關(guān)幾何元
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