邏輯代數(shù)基礎(chǔ)(重要部分).ppt

1、第2章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ),2.1 概述,2.2 邏輯函數(shù)及其表示法,2.3 邏輯代數(shù)的基本定律和規(guī)則,2.4 邏輯函數(shù)的公式化簡法,2.5 邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法,退出,事物往往存在兩種對立的狀態(tài)，在邏輯代數(shù)中可以抽象地表示為 0 和 1 ，稱為邏輯0狀態(tài)和邏輯1狀態(tài)。,邏輯代數(shù)是按一定的邏輯關(guān)系進(jìn)行運(yùn)算的代數(shù)，是分析和設(shè)計數(shù)字電路的數(shù)學(xué)工具。在邏輯代數(shù)，只有和兩種邏輯值，有與、或、非三種基本邏輯運(yùn)算，還有與或、與非、與或非、異或幾種導(dǎo)出邏輯運(yùn)算。,邏輯代數(shù)中的變量稱為邏輯變量，用大寫字母表示。 邏輯變量的取值只有兩種，即邏輯0和邏輯1，0 和 1 稱為邏輯常量，并不表示數(shù)量的大小，而是表示兩種對

2、立的邏輯狀態(tài)。,邏輯是指事物的因果關(guān)系，或者說條件和結(jié)果的關(guān)系，這些因果關(guān)系可以用邏輯運(yùn)算來表示，也就是用邏輯代數(shù)來描述。,2.1 概述,2.2.1 基本邏輯函數(shù)及運(yùn)算,2.2.2 幾種導(dǎo)出的邏輯運(yùn)算,2.2.3 邏輯函數(shù)及其表示法,退出,2.2 邏輯函數(shù)及其表示法,2.2.4 邏輯函數(shù)表示法之間的相互轉(zhuǎn)換,1、與邏輯（與運(yùn)算）,與邏輯的定義：僅當(dāng)決定事件（Y）發(fā)生的所有條件（A，B，C，）均滿足時，事件（Y）才能發(fā)生。表達(dá)式為：,開關(guān)A，B串聯(lián)控制燈泡Y,2.2.1 基本邏輯函數(shù)及運(yùn)算,兩個開關(guān)必須同時接通，燈才亮。邏輯表達(dá)式為：,A、B都斷開，燈不亮。,A斷開、B接通，燈不亮。,A接通、B

3、斷開，燈不亮。,A、B都接通，燈亮。,這種把所有可能的條件組合及其對應(yīng)結(jié)果一一列出來的表格叫做真值表。,將開關(guān)接通記作1，斷開記作0；燈亮記作1，燈滅記作0?？梢宰鞒鋈缦卤砀駚砻枋雠c邏輯關(guān)系：,功能表,實現(xiàn)與邏輯的電路稱為與門。與門的邏輯符號：,真值表,邏輯符號,2、或邏輯（或運(yùn)算）,或邏輯的定義：當(dāng)決定事件（Y）發(fā)生的各種條件（A，B，C，)中，只要有一個或多個條件具備，事件（Y）就發(fā)生。表達(dá)式為：,開關(guān)A，B并聯(lián)控制燈泡Y,兩個開關(guān)只要有一個接通，燈就會亮。邏輯表達(dá)式為：,+,A、B都斷開，燈不亮。,A斷開、B接通，燈亮。,A接通、B斷開，燈亮。,A、B都接通，燈亮。,實現(xiàn)或邏輯的電路稱為

4、或門。或門的邏輯符號：,Y=A+B,真值表,功能表,邏輯符號,3、非邏輯（非運(yùn)算）,非邏輯指的是邏輯的否定。當(dāng)決定事件（Y）發(fā)生的條件（A）滿足時，事件不發(fā)生；條件不滿足，事件反而發(fā)生。表達(dá)式為：,開關(guān)A控制燈泡Y,實現(xiàn)非邏輯的電路稱為非門。非門的邏輯符號：,A斷開，燈亮。,A接通，燈滅。,真值表,功能表,邏輯符號,1、與非運(yùn)算：邏輯表達(dá)式為：,2、或非運(yùn)算：邏輯表達(dá)式為：,2.2.2 幾種導(dǎo)出的邏輯運(yùn)算,3、異或運(yùn)算：邏輯表達(dá)式為：,4、 與或非運(yùn)算：邏輯表達(dá)式為：,2.2.3 邏輯函數(shù)及其表示方法,1、真值表,真值表：是由變量的所有可能取值組合及其對應(yīng)的函數(shù)值所構(gòu)成的表格。,真值表列寫方法

5、：每一個變量均有0、1兩種取值，n個變量共有2i種不同的取值，將這2i種不同的取值按順序（一般按二進(jìn)制遞增規(guī)律）排列起來，同時在相應(yīng)位置上填入函數(shù)的值，便可得到邏輯函數(shù)的真值表。,例如：當(dāng)A=B=1、或則B=C=1時，函數(shù)Y=1；否則Y=0。,2、邏輯表達(dá)式,邏輯表達(dá)式：是由邏輯變量和與、或、非3種運(yùn)算符連接起來所構(gòu)成的式子。,函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式的列寫方法：將函數(shù)的真值表中那些使函數(shù)值為1的最小項相加，便得到函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式。,3、卡諾圖,卡諾圖：是由表示變量的所有可能取值組合的小方格所構(gòu)成的圖形。,邏輯函數(shù)卡諾圖的填寫方法：在那些使函數(shù)值為1的變量取值組合所對應(yīng)的小方格內(nèi)填入1，其余的

6、方格內(nèi)填入0，便得到該函數(shù)的卡諾圖。,4、邏輯圖,邏輯圖：是由表示邏輯運(yùn)算的邏輯符號所構(gòu)成的圖形。,、波形圖,波形圖：是由輸入變量的所有可能取值組合的高、低電平及其對應(yīng)的輸出函數(shù)值的高、低電平所構(gòu)成的圖形。,2.2.4 邏輯函數(shù)表示方法之間的轉(zhuǎn)換,1、由真值表到邏輯圖的轉(zhuǎn)換,真值表,邏輯表達(dá)式或卡諾圖,1,1,最簡與或表達(dá)式,化簡,2,或,2,畫邏輯圖,3,最簡與或表達(dá)式,B,A,A,C,AC,Y,B,A,A,C,Y,若用與非門實現(xiàn)，將最簡與或表達(dá)式變換成最簡與非-與非表達(dá)式,3,2、由邏輯圖到真值表的轉(zhuǎn)換,邏輯圖,邏輯表達(dá)式,1,1,最簡與或表達(dá)式,化簡,2,2,從輸入到輸出逐級寫出,最簡與

7、或表達(dá)式,3,真值表,3,2.3 邏輯代數(shù)的基本定律和規(guī)則,2.3.1 邏輯代數(shù)的基本公式和定律,2.3.2 邏輯代數(shù)的三個重要規(guī)則,退出,2.3.1 邏輯代數(shù)的基本公式和基本定律,1、常量之間的關(guān)系,2、基本公式,分別令A(yù)=0及A=1代入這些公式，即可證明它們的正確性。,3、基本定律,利用真值表很容易證明這些公式的正確性。如證明AB=BA：,(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC,分配律A(B+C)=AB+AC,=A+AB+AC+BC,等冪律AA=A,=A(1+B+C)+BC,分配律A(B+C)=AB+AC,=A+BC,0-1律A+1=1,證明分配律：A+BA=(A+B)(A+C),證

8、明：,4、常用公式,分配律A+BC=(A+B)(A+C),0-1律A1=1,分配律A(B+C)=AB+AC,0-1律A+1=1,例如，已知等式 ，用函數(shù)Y=AC代替等式中的A，根據(jù)代入規(guī)則，等式仍然成立，即有：,1、代入規(guī)則：任何一個含有變量A的等式，如果將所有出現(xiàn)A的位置都用同一個邏輯函數(shù)代替，則等式仍然成立。這個規(guī)則稱為代入規(guī)則。,2、反演規(guī)則：對于任何一個邏輯表達(dá)式Y(jié)，如果將表達(dá)式中的所有“”換成“”，“”換成“”，“0”換成“1”，“1”換成“0”，原變量換成反變量，反變量換成原變量，那么所得到的表達(dá)式就是函數(shù)Y的反函數(shù)Y（或稱補(bǔ)函數(shù)）。這個規(guī)則稱為反演規(guī)則。例如：,2.3.2 邏輯代

9、數(shù)的三個重要規(guī)則,3、對偶規(guī)則：對于任何一個邏輯表達(dá)式Y(jié)，如果將表達(dá)式中的所有“”換成“”，“”換成“”，“0”換成“1”，“1”換成“0”，而變量保持不變，則可得到的一個新的函數(shù)表達(dá)式Y(jié)，Y稱為函Y的對偶函數(shù)。這個規(guī)則稱為對偶規(guī)則。例如：,對偶規(guī)則的意義在于：如果兩個函數(shù)相等，則它們的對偶函數(shù)也相等。利用對偶規(guī)則,可以使要證明及要記憶的公式數(shù)目減少一半。例如：,注意：在運(yùn)用反演規(guī)則和對偶規(guī)則時，必須按照邏輯運(yùn)算的優(yōu)先順序進(jìn)行：先算括號，接著與運(yùn)算，然后或運(yùn)算，最后非運(yùn)算，否則容易出錯。,本節(jié)小結(jié),邏輯代數(shù)是分析和設(shè)計數(shù)字電路的重要工具。利用邏輯代數(shù)，可以把實際邏輯問題抽象為邏輯函數(shù)來描述，并

10、且可以用邏輯運(yùn)算的方法，解決邏輯電路的分析和設(shè)計問題。 與、或、非是3種基本邏輯關(guān)系，也是3種基本邏輯運(yùn)算。與非、或非、與或非、異或則是由與、或、非3種基本邏輯運(yùn)算復(fù)合而成的4種常用邏輯運(yùn)算。 邏輯代數(shù)的公式和定率是推演、變換及化簡邏輯函數(shù)的依據(jù)。,2.4 邏輯函數(shù)的公式化簡法,2.4.1 化簡的意義與標(biāo)準(zhǔn),2.4.2 邏輯函數(shù)的公式化簡法,退出,對邏輯函數(shù)進(jìn)行化簡和變換，可以得到最簡的邏輯函數(shù)式和所需要的形式，設(shè)計出最簡潔的邏輯電路。這樣可以節(jié)省元器件，優(yōu)化生產(chǎn)工藝，降低成本，提高系統(tǒng)的可靠性，從而提高產(chǎn)品在市場中的競爭力。,2.4.1 化簡的意義與標(biāo)準(zhǔn),一、化簡邏輯函數(shù)的意義,二、邏輯函數(shù)

11、的幾種常見形式,一個邏輯函數(shù)的表達(dá)式可以有與或表達(dá)式、 或與表達(dá)式、與非-與非表達(dá)式、 或非-或非表達(dá)式、與或非表達(dá)式5種表示形式。,一種形式的函數(shù)表達(dá)式相應(yīng)于一種邏輯電路。盡管一個邏輯函數(shù)表達(dá)式的各種表示形式不同，但邏輯功能是相同的。,三、邏輯函數(shù)的最簡表達(dá)式,最簡與或表達(dá)式,1、最簡與或表達(dá)式,乘積項最少、并且每個乘積項中的變量也最少的與或表達(dá)式。,2、最簡與非-與非表達(dá)式,非號最少、并且每個非號下面乘積項中的變量也最少的與非-與非表達(dá)式。,在最簡與或表達(dá)式的基礎(chǔ)上兩次取反,用摩根定律去掉下面的非號,3、最簡或與表達(dá)式,括號最少、并且每個括號內(nèi)相加的變量也最少的或與表達(dá)式。,求出反函數(shù)的最

12、簡與或表達(dá)式,利用反演規(guī)則寫出函數(shù)的最簡或與表達(dá)式,4、最簡或非-或非表達(dá)式,非號最少、并且每個非號下面相加的變量也最少的或非-或非表達(dá)式。,求最簡或非-或非表達(dá)式,兩次取反,、最簡與或非表達(dá)式,非號下面相加的乘積項最少、并且每個乘積項中相乘的變量也最少的與或非表達(dá)式。,求最簡或非-或非表達(dá)式,用摩根定律去掉下面的非號,用摩根定律去掉大非號下面的非號,2.4.2 邏輯函數(shù)的公式化簡法,一、并項法,邏輯函數(shù)的公式化簡法就是運(yùn)用邏輯代數(shù)的基本公式、定理和規(guī)則來化簡邏輯函數(shù)。,若兩個乘積項中分別包含同一個因子的原變量和反變量，而其他因子都相同時，則這兩項可以合并成一項，并消去互為反變量的因子。,運(yùn)用

13、摩根定律,運(yùn)用分配律,運(yùn)用分配律,二、吸收法,如果乘積項是另外一個乘積項的因子，則這另外一個乘積項是多余的。,運(yùn)用摩根定律,（）利用公式，消去多余的項。,如果一個乘積項的反是另一個乘積項的因子，則這個因子是多余的。,三、配項法,（）利用公式，為某項配上其所能合并的項。,四、消去冗余項法,例：化簡函數(shù),解：先求出Y的對偶函數(shù)Y，并對其進(jìn)行化簡。,求Y的對偶函數(shù)，便得的最簡或與表達(dá)式。,2.5 邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法,2.5.1 最小項與卡諾圖,2.5.2 用卡諾圖表示邏輯函數(shù),2.5.3 用卡諾圖化簡邏輯函數(shù),2.5.4 具有無關(guān)項的邏輯函數(shù)的化簡,退出,2.5.1 最小項與卡諾圖,一、最小項的

14、定義與性質(zhì),如果一個函數(shù)的某個乘積項包含了函數(shù)的 全部變量，其中每個變量都以原變量或反變量 的形式出現(xiàn)，且僅出現(xiàn)一次，則這個乘積項稱 為該函數(shù)的一個標(biāo)準(zhǔn)積項，通常稱為最小項。,3個變量A、B、C可組成8個最小項：,1、最小項的定義,2、最小項的性質(zhì)：,任意一個最小項，只有一組變量取值使其值為1。,全部最小項的和必為1。,任意兩個不同的最小項的乘積必為0。,通常用符號mi來表示最小項。下標(biāo)i的確定：把最小項中的原變量記為1，反變量記為0，當(dāng)變量順序確定后，可以按順序排列成一個二進(jìn)制數(shù)，則與這個二進(jìn)制數(shù)相對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)，就是這個最小項的下標(biāo)i。,3、最小項的表示方法：,3個變量A、B、C的8個最小

15、項可以分別表示為：,二、最小項的卡諾圖表示,1、卡諾圖的構(gòu)成,將邏輯函數(shù)真值表中的最小項重新排列成矩陣形式，并且使矩陣的橫方向和縱方向的邏輯變量的取值按照格雷碼的順序排列，這樣構(gòu)成的圖形就是卡諾圖。,2、卡諾圖的特點(diǎn),卡諾圖的特點(diǎn)是任意兩個相鄰的最小項在圖中也是相鄰的。（相鄰項是指兩個最小項只有一個因子互為反變量，其余因子均相同，又稱為邏輯相鄰項） 。,每個4變量的最小項有4個最小項與它相鄰,最左列的最小項與最右列的相應(yīng)最小項也是相鄰的,最上面一行的最小項與最下面一行的相應(yīng)最小項也是相鄰的,3、最小項的卡諾圖表示,每個2變量的最小項有兩個最小項與它相鄰,每個3變量的最小項有3個最小項與它相鄰,

16、2.5.2 用卡諾圖表示邏輯函數(shù),一、邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與-或式,如果一個與或邏輯表達(dá)式中的每一個與項都是最小項，則該邏輯表達(dá)式稱為標(biāo)準(zhǔn)與-或式，也稱為最小項表達(dá)式。任何一個邏輯函數(shù)都可以表示成唯一的一組最小項之和的表達(dá)式。對于不是最小項表達(dá)式的與或表達(dá)式，可利用公式AA1 和A(B+C)ABBC來配項展開成最小項表達(dá)式。,如果列出了函數(shù)的真值表，則只要將函數(shù)值為1的那些最小項相加，便是函數(shù)的最小項表達(dá)式。,將真值表中函數(shù)值為0的那些最小項相加，便可得到反函數(shù)的最小項表達(dá)式。,二、用卡諾圖表示邏輯函數(shù),（1）根據(jù)邏輯式中的變量數(shù)，畫出變量的卡諾圖； （2）在卡諾圖上有最小項的方格內(nèi)填入1，其余的方

17、格內(nèi)填入0 或不填。,1、 用卡諾圖表示邏輯函數(shù)的步驟：,每個4變量的最小項有4個最小項與它相鄰,最左列的最小項與最右列的相應(yīng)最小項也是相鄰的,最上面一行的最小項與最下面一行的相應(yīng)最小項也是相鄰的,兩個相鄰最小項可以合并消去一個變量,邏輯函數(shù)化簡的實質(zhì)就是相鄰最小項的合并,先將函數(shù)變換為與或表達(dá)式（不必變換為最小項之和的形式），然后在卡諾圖上與每一個乘積項所包含的那些最小項（該乘積項就是這些最小項的公因子）相對應(yīng)的方格內(nèi)填入1，其余的方格內(nèi)填入0。,變換為與或表達(dá)式,2、邏輯函數(shù)的卡諾圖表示,3、卡諾圖的性質(zhì),（1）任何兩個（21個）標(biāo)1的相鄰最小項，可以合并為一項，并消去一個變量（消去互為反

18、變量的因子，保留公因子）。,（2）任何4個（22個）標(biāo)1的相鄰最小項，可以合并為一項，并消去2個變量。,（3）任何8個（23個）標(biāo)1的相鄰最小項，可以合并為一項，并消去3個變量。,相鄰最小項的數(shù)目必須為 個才能合并為一項，并消去 n 個變量。包含的最小項數(shù)目越多，即由這些最小項所形成的圈越大，消去的變量也就越多，從而所得到的邏輯表達(dá)式就越簡單。這就是利用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的基本原理。,小 結(jié),2.5.3 用卡諾圖化簡邏輯函數(shù),用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的方法和步驟：,1、畫出邏輯函數(shù)的卡諾圖； 2、合并卡諾圖中的相鄰最小項（即將卡諾圖中相鄰的1方格花在一個圈中） ； 3、將合并化簡后的各與項進(jìn)行邏輯加，便求得邏輯函數(shù)的最簡與-或式。,邏輯表達(dá)式或真值表,卡諾圖,1,1,化簡示例,合并最小項,圈越大越好，但每個圈中標(biāo)的方格數(shù)目必須為個。同一個方格可同時畫在幾個圈內(nèi)，但每個圈都要有新的方格，否則它就是多余的。不能漏掉任何一個標(biāo)的方格。,最簡與或表達(dá)式,