7章-離散時間系統(tǒng)的相位與結(jié)構(gòu)20150926NEW.pptx

1、2020/8/28,1,第七章 離散時間系統(tǒng)的相位與結(jié)構(gòu),提綱,7.1 離散時間系統(tǒng)的相頻特性 7.2 FIR 系統(tǒng)的線性相位特性 7.3 具有線性相位系統(tǒng)的零點(diǎn)分布 7.4 全通系統(tǒng)和最小相位系統(tǒng) 7.5 離散時間系統(tǒng)的Lattice結(jié)構(gòu) 7.6 數(shù)字濾波器的基本概念和結(jié)構(gòu) 7.7 與本章內(nèi)容有關(guān)的MATLAB文件,離散時間系統(tǒng):,FT,更一般的表示形式：,7.1 離散時間系統(tǒng)的相頻響應(yīng), ,( )=| ( )| (),對于輸入,假設(shè)：,由DTFT的性質(zhì)可知 輸出序列為,相位移動,線性相位,輸出y(n)等于輸入x(n)在時間上k個采樣點(diǎn)的延遲，可見當(dāng)系統(tǒng)具有線性相位時可以達(dá)到無失真輸出的目的

2、。,如果 , 我們稱之為線性相位 如果 ,我們也稱之為線性相位。,幅頻特性: 相頻特性:,頻率特性:,【例7.1】: 令,沒有相位失真,線性相位,通過系統(tǒng)后,再次令,并令,相位失真!,則輸出,由例7.1可以看出相頻特性對信號濾波后的影響及線性相位的重要性。,定義系統(tǒng)的群延遲(Group Delay, GD),顯然，如果系統(tǒng)具有線性相位，即 它的群延遲為一時間常數(shù)k。因此，群延遲可作為相頻特性是否線性的一種度量，同時，它也表示了系統(tǒng)輸出的延遲。,若,由于其群延遲仍為常數(shù)，所以我們也稱其為線性相位。,7.2 FIR系統(tǒng)的線性相位特性,回顧相關(guān)知識,FIR系統(tǒng)：有限沖激響應(yīng)(finite impul

3、se response),IIR 系統(tǒng)：無限沖激響應(yīng)(infinite impulse response),h(n)：單位抽樣響應(yīng)，離散系統(tǒng)的一個重要參數(shù)。,線性：指系統(tǒng)的輸入、輸出之間滿足疊加原理。,10,我們在第二章給出了FIR系統(tǒng)和IIR系統(tǒng)的定義及部分性質(zhì)。由于FIR系統(tǒng)全零點(diǎn)的系統(tǒng)，其單位抽樣響應(yīng)為有限長，因此容易實(shí)現(xiàn)某種對稱性，從而獲得線性相位。而IIR系統(tǒng)是極零系統(tǒng)，其單位抽樣響應(yīng)為無線長，很難實(shí)現(xiàn)線性相位。因此，今后我們談到線性相位時，無例外地指的都是FIR系統(tǒng)。,11,由于h(n)有奇、偶對稱，而N可能取偶數(shù)，也可能取奇數(shù)，所以式 對應(yīng)的共有四種情況。,四種情況的證明,12,

4、證明 ： 該系統(tǒng)具有線性相位,3. , N是奇數(shù) 4. , N 是偶數(shù),類型III/IV FIR系統(tǒng),奇對稱,類型I/II FIR系統(tǒng),偶對稱,1. , N 是奇數(shù) 2. , N 是偶數(shù),13,14,1. , N 奇數(shù).,設(shè),的對稱性,類型I FIR 系統(tǒng),(7.2.1),15,設(shè),設(shè),實(shí)數(shù),(7.2.2),16,最終得,相位 增益,結(jié)論: 該濾波器必然具有線性相位,(7.2.3),2. , N 為偶數(shù),設(shè),結(jié)論：這種系統(tǒng)具有線性相位,（7.2.4）,18,3. , N 是奇數(shù),類型III FIR 系統(tǒng),由于這時的 以中心 為對稱，所以必有 ；仿照（7.2.4）式可得,相頻特性：,(7.2.5

5、),19,4. , N 為偶數(shù),類型IV FIR系統(tǒng),性頻特性仍為：,證明得出：當(dāng)FIR數(shù)字濾波器的抽樣響應(yīng)滿足對稱時，該濾波器具有線性相位。 請同學(xué)們掌握這四種情況的推導(dǎo)方法！,(7.2.6),關(guān)鍵詞回顧：,離散時間序列 離散時間系統(tǒng) 單位抽樣信號 單位抽樣響應(yīng) FIR IIR,20,7.3 具有線性相位特性的FIR系統(tǒng)的零點(diǎn)分布,由7.2節(jié)討論的對稱條件可知：,令,（7.3.1）,（7.3.2）,上式中正號對應(yīng)偶對稱，負(fù)號對應(yīng)奇對稱。,當(dāng) 和 ，且 時， 在實(shí)軸上。,由式7.3.2可知： 的零點(diǎn)也是 旳零點(diǎn)反之亦然。若記 的一個零點(diǎn) 且 是關(guān)于 的函數(shù)，則當(dāng) , 取不同值時， 處在不同的位

6、置。如下,當(dāng) 和 ，且 時， 在單位圓內(nèi)。,當(dāng) 和 ，且 時， 在單位圓上。,當(dāng) 和 ，且 時， 在單位圓和實(shí)軸的交點(diǎn)上。,23,四個零點(diǎn)同時存在, 構(gòu)成四階系統(tǒng),把該式展開，其系數(shù)也是對稱的，是具有線性相位的子系統(tǒng)。,零點(diǎn)分布,24,無共軛零點(diǎn), 有鏡象零點(diǎn) 構(gòu)成一個二階系統(tǒng),無鏡象對稱零點(diǎn), 有共軛零點(diǎn)。亦是二階系統(tǒng),零點(diǎn)分布,25,無鏡象零點(diǎn), 也無共軛零點(diǎn) 它構(gòu)成最簡單的一階系統(tǒng),零點(diǎn)分布,在實(shí)軸和單位圓的交點(diǎn)上。,下圖7.3.1畫出了 零點(diǎn)位置示意圖,圖 7.3.1 線性相位FIR濾波器零點(diǎn)位置示意圖,一個FIR系統(tǒng)，如果其零點(diǎn)具有圖7.3.1所示的對稱性或滿足(7.3.2)式，我們

7、稱這樣的 為鏡像對稱的多項(xiàng)式(mirror-image polynomial, MIP)?，F(xiàn)在我們進(jìn)一步分析一下這些MIP在 或 處幅頻響應(yīng)的特點(diǎn)。,對類型濾波器，由于N為奇數(shù)，故 N-1為偶數(shù)，由(7.3.2)式，當(dāng) 和 時,（7.3.3）,（7.3.4）,所以，無論 還是 都會保證(7.3.2)式成立。若 ，那么該系統(tǒng)將具有高通或帶通型的幅頻特性；若 ，那么該系統(tǒng)將具有低通或帶通型的幅頻特性。,所以,Z可以為1，但不能為-1。也就是說， 在 處一定要有零點(diǎn)以保證 ，即 。因此，該系統(tǒng)可以具有低通或帶通型的幅頻特性，但不能具有高通或帶阻型的幅頻特性。,對類型濾波器，由于N為偶數(shù)，故N-1為奇

8、數(shù)，類似上述情況，有,（7.3.5）,（7.3.6）,對類型濾波器，(N-1)為偶數(shù)，有,(7.3.7),(7.3.8),所以，這種類型的濾波器在 和 處都要有零點(diǎn)；同理，對類型濾波器，它在 處也一定要有零點(diǎn)。,由(7.2.2)式和(7.2.6)可知，類型、類型濾波器的幅頻特性是 的線性組合，它是 的偶函數(shù)，且在 時的值為1，這兩種情況下的 也都是偶對稱的，因此，它們適合我們通常說的低通、高通、帶通和帶阻型濾波器。由于類型濾波器在設(shè)計(jì)高通和帶阻濾波器時的限制，因此N一般都取為奇數(shù)。與此相對比，類型、濾波器只適用于一些特殊意義上的濾波器，如差分器、希爾伯特變換器等。,31,定義 如果一個系統(tǒng)的幅

9、頻響應(yīng)對所有的頻率都等于1 (或一個常數(shù)), 即,最簡單的全通系統(tǒng):,該系統(tǒng)得到的輸出信號是輸入信號的簡單延遲,7.4.1 全通系統(tǒng),7.4 全通系統(tǒng)與最小相位系統(tǒng),32,一階全通系統(tǒng),極點(diǎn)： 零點(diǎn)：,（零點(diǎn)、極點(diǎn)關(guān)于單位圓鏡像對稱）,幅頻響應(yīng)：,相頻響應(yīng)：,33,二階全通系統(tǒng),以單位元鏡像對稱,共軛,34,則,高階全通系統(tǒng)：,（7.4.1）,N階全通系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù),（7.4.2）,（7.4.3）,由上式可知全通系統(tǒng)的分子分母多項(xiàng)式是互為鏡像的多項(xiàng)式,易證明出:,（7.4.4）,由(7.4.1)式和(7.4.2)式，我們可總結(jié)出全通系統(tǒng)的一些特點(diǎn)： 全通系統(tǒng)是IIR系統(tǒng)(不考慮Hap(z)=z

10、-k這樣最簡單的形式)； 全通系統(tǒng)的極點(diǎn)數(shù)和零點(diǎn)數(shù)相等； 為保證系統(tǒng)穩(wěn)定，所有偶極點(diǎn)都應(yīng)在單位圓內(nèi)，因此，所有的零點(diǎn)都在單位圓外；, 極點(diǎn)和零點(diǎn)是以單位圓鏡像對稱的； 由于全通系統(tǒng)的每一對極零點(diǎn)都是鏡像對稱的，且零點(diǎn)在單位圓外，因此，當(dāng) 由零變到 時，相頻響應(yīng) 是單調(diào)遞減的； 全通系統(tǒng)的群延遲始終為正值。,在實(shí)際工作中，可以用一個全通系統(tǒng)和已設(shè)計(jì)好的IIR系統(tǒng)相級聯(lián)，在不改變幅頻響應(yīng)的情況下對相頻響應(yīng)做某種矯正，使其盡可能地接近線性相位或常數(shù)相位。,【例7.4.1】 講圖7.4.1和圖7.4.2分別是一階和三階全通系統(tǒng)的極零圖、幅頻響應(yīng)、相頻響應(yīng)和單位抽樣響應(yīng)。對圖7.4.1，極點(diǎn)位置 ；對圖

11、7.4.2，三個極點(diǎn)位置分別是 ， 及 。從這兩個圖可以看到全通系統(tǒng)極點(diǎn)和零點(diǎn)的鏡像對稱關(guān)系、幅頻響應(yīng)的不變及相頻響應(yīng)的單調(diào)下降等特點(diǎn)。,圖7.4.1 例7.4.1的一階全通系統(tǒng) (a) 極零圖；(b) 幅頻響應(yīng)；(c) 相頻響應(yīng)；(d) 單位抽樣響應(yīng)h(n),(a),(b),(c),(d),圖7.4.2 例7.4.1的三階全通系統(tǒng) (a) 極零圖；(b) 幅頻響應(yīng)；(c) 相頻響應(yīng)；(d) 單位抽樣響應(yīng)h(n),(a),(b),(c),(d),全通系統(tǒng)的特點(diǎn)是系統(tǒng)對輸入信號的幅度譜無影響，只對其相位特性產(chǎn)生影響，所以，全通系統(tǒng)是一種純相位濾波器，可以作相位均衡器（群延時均衡器）用。例如，II

12、R濾波器的相位特性是非線性的，因而群延時不為常數(shù)，而在視頻信號的傳輸中希望系統(tǒng)具有線性相位，因而采用全通系統(tǒng)作為相位均衡器來校正系統(tǒng)的非線性相位，以得到線性相位，同時又不改變系統(tǒng)的幅度特性。 如果某一濾波器是非穩(wěn)定的，可級聯(lián)一個全通濾波器，令全通系統(tǒng)的零點(diǎn)等于濾波器單位圓外的極點(diǎn)，濾波器單位圓外的極點(diǎn)被抵消，并引入新的單位圓內(nèi)的極點(diǎn)(全通系統(tǒng)的極點(diǎn))。,如：原濾波器有一對極點(diǎn)在單位圓外 處，則可將濾波器級聯(lián)一個全通系統(tǒng),這樣可以將單位圓外的一對極點(diǎn)抵消，同時又不改變?yōu)V波器的幅頻特性。 全通系統(tǒng)在最小相位理論中也是有用的，在下面會講到。,（7.4.5）,42,一個因果的、穩(wěn)定的離散時間系統(tǒng)，其極

13、點(diǎn)必須位于單位圓內(nèi)，而對零點(diǎn)沒有特殊的要求，如果：,1).所有的極點(diǎn)與零點(diǎn)全都在單位圓內(nèi)，則稱系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)；,2).若零點(diǎn)全部在單位圓外，則稱該系統(tǒng)為最大相位系統(tǒng) ；,3).若在單位圓內(nèi)和圓外都有零點(diǎn)，則稱系統(tǒng)為混合相位系統(tǒng)。,最小相位系統(tǒng)定義：,7.4.2 最小相位系統(tǒng),43,最小相位系統(tǒng)的性質(zhì),在一組具有相同幅頻響應(yīng)的因果的且是穩(wěn)定的濾波器集合中，最小相位濾波器對于軸(即零相位)具有最小的相位偏移。 由第二章的極零圖分析可以很容易地得到這一結(jié)論。,性質(zhì)一：,44,令 為所有具有相同幅頻響應(yīng)的離散時間系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)， 是其中最小相位離散系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)，并定義單位抽樣相應(yīng)的積累能

14、量,則,由Parseval定理，因?yàn)轭l域幅頻響應(yīng)相同，所以時域的總能量也應(yīng)相同。 性質(zhì)指出，最小相位系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)的能量集中在n為較小的范圍內(nèi)。所以，最小相位系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)又稱最小延遲序列。,(7.4.6),性質(zhì)二：,給定一個穩(wěn)定的因果系統(tǒng)， 定義其逆濾波器, =()/(),(7.4.7),當(dāng)且僅當(dāng)是最小相位系統(tǒng)時，才是穩(wěn)定的、因果的，亦即物理可實(shí)現(xiàn)的。,性質(zhì)三：,(7.4.8),任何一個非最小相位的因果系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)H(z)均可由一個最小相位系統(tǒng) 和一個全通系統(tǒng) 級聯(lián)而成，即,設(shè)系統(tǒng)H(z)有一個零點(diǎn)在單位圓之外，即=1/ 0 , 0 1，其余的極、零點(diǎn)均在單位圓內(nèi)，那么H(z)可表

15、示為,性質(zhì)四：,7.5 離散時間系統(tǒng)的Lattice結(jié)構(gòu),1973年，Gay 和Markel提出一種新型的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)形式，即 Lattice 結(jié)構(gòu)，又稱格型結(jié)構(gòu)。 Lattice 結(jié)構(gòu)是一種很有用的結(jié)構(gòu)，它在功率譜估計(jì)、語音信號處理、自適應(yīng)濾波方面有著重要的應(yīng)用。,圖7.5.1 FIR系統(tǒng)的Lattice結(jié)構(gòu),一個M階的FIR系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)H(z)可寫為: (7.5.1),7.5.1 全零點(diǎn)系統(tǒng)(FIR)的Lattice結(jié)構(gòu),由該信號流圖可以總結(jié)出Lattice結(jié)構(gòu)的一些重要特點(diǎn)： H(z)的直接實(shí)現(xiàn)形式有M個參數(shù)，即b(1)，b(2)，b(M)，共需M次乘法，M 次延遲 ， H（z）的Latt

16、ice結(jié)構(gòu)也有M個參數(shù)，它們是 ，需2M次乘法，M次延遲。 (2)信號的傳遞是從左至右，中間沒有反饋回路，所以這是一個FIR系統(tǒng)。若輸入是 ，則 通過信號流圖的上部將立即出現(xiàn)在輸出端，使 。通過下部時，分別經(jīng)過一次延遲、二次延遲，直到M次延遲后出現(xiàn)在輸出端，所以y(n)（即h(n)是 。 (3)信號流圖中的基本單元如圖所示，它們有如下的關(guān)系：,在實(shí)際工作中，一般是首先給出，這樣，我們可以按如下步驟求出 步驟1：有上述關(guān)系式可以得到 ； 步驟2：有系數(shù) 及 系數(shù)求出 的系數(shù)，那么 ； 步驟3：重復(fù)步驟2 后， ， 可以全部求出。,7.5.2 全極點(diǎn)系統(tǒng)(IIR)的Lattice結(jié)構(gòu),圖7.5.2

17、 全極點(diǎn)系統(tǒng)的Lattice結(jié)構(gòu),（7.5.2）,7.5.3極零系統(tǒng)的Lattice結(jié)構(gòu),圖7.5.3 極零系統(tǒng)的Lattice結(jié)構(gòu),(7.5.3),數(shù)字濾波器較模擬濾波器有如下優(yōu)勢：第一，數(shù)字濾波器具有比模擬濾波器更高的精 度。第二，數(shù)字濾波器相較模擬濾波器有更高的信噪比。第三，數(shù)字濾波器還具有模擬濾波器不能比擬的可靠性。 由此可見，數(shù)字濾波器的優(yōu)點(diǎn)較為突出，且設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)過程簡單、可靠。以下主要介紹數(shù)字濾波器的基本概念、結(jié)構(gòu)及設(shè)計(jì)方法。,7.6 數(shù)字濾波器的基本概念和結(jié)構(gòu),7.6.1 數(shù)字濾波器的基本概念 數(shù)字濾波系統(tǒng)是一個完整的、用以實(shí)現(xiàn)濾波功能的LTI離散系統(tǒng)。按照應(yīng)用的功能，該系統(tǒng)可分

18、為頻率選擇型濾波系統(tǒng)和頻率成型濾波系統(tǒng)。 頻率成型濾波系統(tǒng)的功能是有效的補(bǔ)償傳輸信道色散所引起的頻率失真。而頻率選擇型濾波系統(tǒng)的功能則主要集中在增強(qiáng)信號中有用頻率成分、抑制干擾頻率成分方面，這也是生物醫(yī)學(xué)數(shù)字信號處理的重要應(yīng)用。,一個LTI離散系統(tǒng)可以用線性常系數(shù)差分方程來表示： (7.6.1) 時域中，又可用卷積和的形式來表達(dá)該系統(tǒng)，由此可得出其系統(tǒng)函數(shù)為： (7.6.2) 其中，令， 則： (7.6.3) 由式(7.6.2)，其系統(tǒng)函數(shù)為： (7.6.4) 單位脈沖響應(yīng)可表示為:,(7.6.5),當(dāng)h(n)為有限長度序列時，該系統(tǒng)稱為有限脈沖響應(yīng)(FIR)系統(tǒng)，這種形式的濾波器稱為FIR濾

19、波器。 當(dāng)h(n)為無限長度序列時，該系統(tǒng)存在反饋支路，稱為無限脈沖響應(yīng)(IIR)系統(tǒng)，這種形式的濾波器稱為IIR濾波器。,表7.6.1 FIR與IIR數(shù)字濾波器的性能比較,頻率選擇型數(shù)字濾波器主要可分為：低通濾波器(LP)、高通濾波器(HP)、帶通濾波器(BP)和帶阻濾波器(BS)等四種。每一個特定的數(shù)字濾波器都有它們相應(yīng)的通帶和阻帶的幅度響應(yīng)指標(biāo)。低通濾波器幅度響應(yīng)曲線如圖7.6.1所示。,圖7.6.1 數(shù)字低通濾波器的幅度指標(biāo),(a)典型幅度指標(biāo),(b)歸一化幅度指標(biāo),圖7.6.1中， 的頻率范圍定義為通帶，其幅度響應(yīng)要求以誤差 逼近1，即,數(shù)字濾波器的指標(biāo)通常由單位為dB的損益函數(shù)給出

20、，峰值通帶波紋 和最小阻帶衰減 ，即數(shù)字濾波器的損益指標(biāo)為：,而 的頻率范圍則定義為阻帶，其幅度響應(yīng)要求以誤差 逼近0，即,(7.6.6),(7.6.7),(7.6.8),(7.6.9),在濾波器設(shè)計(jì)中，一個性能良好的數(shù)字濾波器要求較小的通帶紋波 ，盡可能大的阻帶衰減 ，以及盡可能窄的過渡帶。此外，數(shù)字濾波器的幅度響應(yīng)指標(biāo)還可以由一個歸一化的形式給出，即假設(shè)幅度響應(yīng)在通帶中的最大值為1，最大通帶幅度偏離是通帶幅度的最小值，記為 ，最大阻帶幅度記為1/A。相應(yīng)的最大通帶衰減為： (7.6.10) 這些常用的數(shù)字濾波器技術(shù)指標(biāo)不僅能夠幫助我們更加準(zhǔn)確地了解濾波器本身的性能，同時在設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器時，

21、更能將所需設(shè)計(jì)要求與實(shí)現(xiàn)參數(shù)緊密結(jié)合在一起，是數(shù)字濾波器的應(yīng)用基礎(chǔ)。,以一個一階IIR數(shù)字濾波器為例，由式(7.6.1)可知：,(7.6.11),(7.6.12),據(jù)此可計(jì)算全部所需n值時的系統(tǒng)輸出y(n)。,數(shù)字濾波器的功能就是對輸入序列進(jìn)行一定的運(yùn)算進(jìn)而轉(zhuǎn)變?yōu)檩敵鲂蛄械倪^程。 該過程可以用兩種方法來實(shí)現(xiàn)：在通用數(shù)字計(jì)算機(jī)上以軟件的形式來實(shí)現(xiàn)；另一種是采用專門的硬件，如數(shù)字信號處理器等來實(shí)現(xiàn)。,7.6.2 數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu),LTI數(shù)字濾波器的可計(jì)算算法可以用表示單位延時、乘法器、加法器和節(jié)點(diǎn)等這些基本結(jié)構(gòu)單元所構(gòu)成的信號流圖方便地表示出來，它們的基本信號流圖如圖7.6.2所示。,圖7.6

22、.2基本運(yùn)算的信號流圖表示,用信號流圖的形式來描述式(7.6.11)，即可得到圖7.6.3。其中，x(n)為輸入節(jié)點(diǎn)，也稱為源節(jié)點(diǎn)，表示輸入的外部信號源； 為輸出節(jié)點(diǎn)，也稱為阱節(jié)點(diǎn)；延時支路則用 來表示單位延時。,圖7.6.3某一階IIR數(shù)字濾波器的信號流圖表示,相反的，對于用信號流圖的形式來表示的數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)，通常可以進(jìn)行如下分析：以輸入信號的和的形式，寫出每個加法器的輸出信號表達(dá)式，從而生成一組方程，該方程組以所有內(nèi)部信號來關(guān)聯(lián)濾波器的輸入和輸出信號。消去不需要的內(nèi)部變量后，即可得到用輸入信號和乘法器系數(shù)表示的輸出信號表達(dá)式。 由此可見，信號流圖是一種便捷、直觀的數(shù)字濾波器表示方法，由于

23、IIR濾波器與FIR濾波器的信號流圖結(jié)構(gòu)各有不同的特點(diǎn)，因此下面將分別對這兩種濾波器的基本結(jié)構(gòu)加以討論。,7.6.2.1 IIR數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu),IIR濾波器具有以下幾個特點(diǎn)： 第一，系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng) 是無限長的； 第二，系統(tǒng)函數(shù) 在有限Z平面( )上存在極點(diǎn)； 第三，結(jié)構(gòu)上存在輸出到輸入的反饋，即結(jié)構(gòu)為遞歸型。 同一種系統(tǒng)函數(shù) 可以有多種不同的結(jié)構(gòu)，它的基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)有三種：直接型、級聯(lián)型和并聯(lián)型。其中，直接型又包括直接型和直接型，它們在實(shí)現(xiàn)過程中所獲得的穩(wěn)定性和計(jì)算誤差性能也各不相同。,(1) 直接型,一個 階IIR數(shù)字濾波器的有理系統(tǒng)函數(shù)為：,(7.6.13),表示這一系統(tǒng)輸入輸出關(guān)

24、系的 階差分方程為：,(7.6.14),其中y(n)由兩部分相加而成：對y(n)依次延時反饋N-1個單元的加權(quán)和：,(7.6.15),以及對x(n)依次延時N-1個單元的加權(quán)和：,(7.6.16),因此，其傳輸函數(shù)是用 個不同的系數(shù)來描述的，并且通常需要 個乘法器和 個兩輸入加法器來實(shí)現(xiàn)。若乘法器的系數(shù)等于傳輸函數(shù)的系數(shù)，則稱這種IIR濾波器結(jié)構(gòu)為直接型結(jié)構(gòu)。,下面具體描述如何生成該結(jié)構(gòu)。為簡化起見，以一個二階IIR濾波器為例，考慮其傳輸函數(shù)為：,(7.6.17),根據(jù)級聯(lián)特性，可用如圖7.6.5的兩個濾波器節(jié)來級聯(lián)實(shí)現(xiàn)，,圖7.6.4一種級聯(lián)實(shí)現(xiàn)IIR濾波器的方案,其中,(7.6.18),(

25、7.6.19),式(7.6.18)可由基本信號流圖單元構(gòu)成，如圖7.6.5所示：,式(7.6.19)則需要考慮該傳輸函數(shù)的時域表達(dá)式為：,(7.6.20),圖7.6.5傳輸函數(shù)H1(Z)=W(Z)/X(Z)的實(shí)現(xiàn),據(jù)此可得到圖7.6.6的實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)：,圖7.6.6傳輸函數(shù)H2(Z)=Y(Z)/W(Z)的實(shí)現(xiàn),圖7.6.7所示，即為通常所說的直接型結(jié)構(gòu)。,圖7.6.7 直接型結(jié)構(gòu),直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的優(yōu)點(diǎn)是物理概念清晰，缺點(diǎn)是使用的延時單元過多，故一般使用如下的直接型結(jié)構(gòu)。,這種結(jié)構(gòu)描述 階差分方程只需N個延時單元，因此比直接型節(jié)省了大量的延時單元，既可節(jié)省存儲單元，也可節(jié)約寄存器。,(2) 直接型

26、直接型結(jié)構(gòu)，又稱典范型結(jié)構(gòu)，它是在直接型結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上進(jìn)行等效改造得到的。,圖7.6.8 直接型結(jié)構(gòu),但是，以上兩種結(jié)構(gòu)均為直接型的實(shí)現(xiàn)方式，其共同的缺點(diǎn)是系數(shù) ， 對濾波器性能的控制作用不明顯，這是因?yàn)樗鼈兣c系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn)、極點(diǎn)關(guān)系不明顯，調(diào)整困難所致；此外，這種結(jié)構(gòu)中極點(diǎn)對系數(shù)的變化過于靈敏，從而使系統(tǒng)頻率響應(yīng)對系數(shù)的變化過于靈敏，即對有限精度運(yùn)算過于靈敏，從而容易出現(xiàn)不穩(wěn)定或產(chǎn)生較大誤差的情況。,【例7.6.1】設(shè)IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 ： 繪制該數(shù)字濾波器的直接型結(jié)構(gòu)。,解：,由H(z)可得其對應(yīng)的差分方程為：,據(jù)此差分方程即可繪制出圖7.6.9所示的直接型數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)。,圖7.

27、6.9例7.6.1的直接型結(jié)構(gòu),(3) 級聯(lián)型,級聯(lián)型結(jié)構(gòu)是以系統(tǒng)函數(shù) 經(jīng)過因式分解后的零點(diǎn)和極點(diǎn)為主要依據(jù)的數(shù)字濾波器形式。由式(7.6.13)可將系統(tǒng)的傳輸函數(shù)按零點(diǎn)、極點(diǎn)進(jìn)行因式分解為式(7.6.21)的形式：,(7.6.21),由于原多項(xiàng)式的系數(shù)為實(shí)數(shù)，故 和 應(yīng)為實(shí)數(shù)或共軛成對的復(fù)數(shù)，將其中共軛成對的零點(diǎn)或極點(diǎn)放在一起，構(gòu)成一個二階多項(xiàng)式，使其系數(shù)仍為實(shí)數(shù)，之后將分子、分母均為實(shí)系數(shù)的二階多項(xiàng)式放在一起，形成一個二階網(wǎng)絡(luò)：,(7.6.22),此時， 即可分解為由一些一階和二階數(shù)字網(wǎng)絡(luò)相級聯(lián)的形式： 式中 表示一個一階或二階的數(shù)字網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)，每個 的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)均可采用直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)來

28、實(shí)現(xiàn)。 級聯(lián)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)是調(diào)整系數(shù) 就能單獨(dú)調(diào)整濾波器的第k對零點(diǎn)，而不影響其它零點(diǎn)、極點(diǎn)；同理，調(diào)整系數(shù) 就能單獨(dú)調(diào)整濾波器的第k對極點(diǎn)，而不影響其它零點(diǎn)、極點(diǎn)。所以這種結(jié)構(gòu)能夠更為準(zhǔn)確的實(shí)現(xiàn)濾波器的零點(diǎn)、極點(diǎn)，因而也更便于調(diào)整濾波器的頻率響應(yīng)性能。,(7.6.23),【例7.6.2】設(shè)IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為H(z)：,對H(z)進(jìn)行因式分解，可得：,解：,繪制該數(shù)字濾波器的級聯(lián)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。,據(jù)此分解形式，即可繪制出圖7.6.10所示的級聯(lián)型數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)。,圖7.6.10由直接型構(gòu)建的IIR數(shù)字濾波器級聯(lián)實(shí)現(xiàn),(4) 并聯(lián)型 對IIR濾波器的傳輸函數(shù)H(z)進(jìn)行部分分式展開，即可得到II

29、R的并聯(lián)結(jié)構(gòu)。 (7.6.25) 其中， 為一個一階網(wǎng)絡(luò)或二階網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)系數(shù)均為實(shí)數(shù)，其具體展開式形式如下：,(7.6.26),H(z)則是由 個一階系統(tǒng)、 個二階系統(tǒng)所組成的，它們均采用典范型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)，其結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)如圖7.6.11所示。,圖7.6.11 IIR數(shù)字濾波器的并聯(lián)實(shí)現(xiàn),直接型結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)簡單直觀，但對有限字長效應(yīng)太敏感，容易出現(xiàn)不穩(wěn)定現(xiàn)象，因此對于三階以上的IIR濾波器設(shè)計(jì)，幾乎都不采用直接型結(jié)構(gòu)，而是采用級聯(lián)型、并聯(lián)型等其它結(jié)構(gòu)。由于基本網(wǎng)絡(luò)并聯(lián)，可同時對輸入信號進(jìn)行運(yùn)算，因此并聯(lián)型結(jié)構(gòu)與直接型和級聯(lián)型相比，其運(yùn)算速度最高。,7.6.2.2 FIR濾波器的基本結(jié)構(gòu) FIR數(shù)字濾波器有

30、以下幾個特點(diǎn)： 第一，系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng) 在有限個 值處不為零； 第二，系統(tǒng)函數(shù) 在 處收斂，在 處只有零點(diǎn)，即有限Z平面只有零點(diǎn)，而全部極點(diǎn)都在 處，即因果系統(tǒng)； 第三，結(jié)構(gòu)上沒有輸出到輸入的反饋，即主要是非遞歸結(jié)構(gòu)。 N階因果FIR數(shù)字濾波器可以用傳輸函數(shù) 來描述： (7.6.27) 在時域中，其輸入輸出關(guān)系表達(dá)如下： (7.6.28),FIR數(shù)字濾波器有以下幾種基本結(jié)構(gòu)。 (1) 直接型 N階FIR濾波器要用N+1個系數(shù)描述，通常需要用N+1個乘法器和N個兩輸入加法器來實(shí)現(xiàn)。在該結(jié)構(gòu)中，乘法器的系數(shù)剛好為傳輸函數(shù)的系數(shù)，故稱為直接型結(jié)構(gòu)。以N=3為例，式(7.6.28)可化為：,(7.6

31、.29),圖7.6.12 FIR數(shù)字濾波器的直接型結(jié)構(gòu),依此可畫出FIR濾波器直接型結(jié)構(gòu)如圖7.6.12所示。,(2) 級聯(lián)型 高階FIR傳輸函數(shù)也可以用一階或二階傳輸函數(shù)通過級聯(lián)來實(shí)現(xiàn)。與IIR濾波器相似，將式(7.3.17)進(jìn)行因式分解如下:,(7.6.30),其中，若N為偶數(shù)，則K=N/2；若N為奇數(shù)，則K=(N+1)2，且 。,以N=4為例，用兩個二階FIR直接型網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)級聯(lián)結(jié)構(gòu)如圖7.6.13所示。,圖7.6.13 FIR數(shù)字濾波器的級聯(lián)型結(jié)構(gòu),這種結(jié)構(gòu)的每一節(jié)控制一對零點(diǎn)，因此在需要控制傳輸零點(diǎn)時，可以采用該結(jié)構(gòu)。,【例7.6.3】設(shè)FIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為H(z)：,繪制該濾

32、波器的直接型結(jié)構(gòu)和級聯(lián)型結(jié)構(gòu)。,解：,對H(z)進(jìn)行因式分解，可得：,據(jù)此分解形式，即可繪制出圖7.6.14所示的直接型結(jié)構(gòu)和級聯(lián)型結(jié)構(gòu)。,(a) 直接型 (b) 級聯(lián)型,圖7.6.14 一個FIR數(shù)字濾波器的直接型結(jié)構(gòu)和級聯(lián)型結(jié)構(gòu),(3) 線性相位FIR濾波器網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 階線性相位FIR濾波器可以用對稱沖激響應(yīng),(7.6.31),或反對稱沖激響應(yīng)來描述,(7.6.32),在FIR數(shù)字濾波器的直接型實(shí)現(xiàn)中，應(yīng)用線性相位的對稱性質(zhì)可以減少近一半數(shù)量的乘法器。例如，一個5階線性FIR濾波器的對稱沖激響應(yīng)為：,繪制式(7.6.33)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖7.6.15所示。,(7.6.33),通過比較可知，繪制

33、一個5階的FIR數(shù)字濾波器，用直接型結(jié)構(gòu)需要5個乘法器，而線性相位結(jié)構(gòu)則只需要3個乘法器。在繪制高階FIR線性相位濾波器的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)時，這種方法可以有效節(jié)省乘法器資源。,圖7.6.15 線性相位FIR數(shù)字濾波器的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu),7.7.1 IIR數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn) (1) 直接型 在MATLAB中使用filter()函數(shù)來實(shí)現(xiàn)數(shù)字濾波器直接型結(jié)構(gòu)，該函數(shù)的定義如下： filter(b, a ,x)，其中b和a分別表示系統(tǒng)函數(shù)分子多項(xiàng)式系數(shù)和分母多項(xiàng)式系數(shù)。,7.7 基于MATLAB的數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn),(2) 級聯(lián)型 MATLAB中提供了多個函數(shù)實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)函數(shù)及其零極點(diǎn)表示與級聯(lián)的二階子系統(tǒng)之間的相互轉(zhuǎn)換，具體介紹如下。, sos = zp2sos(z, p, k),zp2sos函數(shù)用來根據(jù)給定的系統(tǒng)函數(shù)H(z)直接求解二階因式，由此產(chǎn)生以零極點(diǎn)形式確定的等效系統(tǒng)函數(shù)H(z)的各個二階因式的系數(shù)矩陣sos，sos是一個L行6列的矩陣。,矩陣的第j 行是指