使用導數的最優(yōu)化方法.ppt

1、第10章 使用導數的最優(yōu)化方法,無約束最優(yōu)化問題,2. 最速下降法,4.共軛梯度法 5.擬牛頓法,3. 牛頓法,一. 無約束最優(yōu)化問題,無約束非線性規(guī)劃問題的求解方法分為解析法和直接法兩類。,解析法 需要計算函數的梯度，利用函數的解析性質構造迭代公式使之收斂到最優(yōu)解。本節(jié)介紹最速下降法、共軛梯度法、牛頓法、變尺度法等解析方法,直接法 僅通過比較目標函數值的大小來移動迭代點。下一章主要介紹模式搜索法等直接方法。,無約束非線性規(guī)劃問題的求解方法分為解析法和直接法兩類。,一般來說，無約束非線性規(guī)劃問題的求解是通過一系列一維搜索來實現。因此，如何選擇搜索方向是解無約束非線性規(guī)劃問題的核心問題，搜索方向

2、的不同選擇，形成不同的求解方法。,本章主要介紹解析法;另一類只用到目標函數值,不必計算導數,通常稱為直接方法,放在第11章討論.,本章考慮如下的下降算法：,主要介紹最速下降法、牛頓法，共軛梯度法，擬牛頓法等,其中函數 具有一階連續(xù)偏導數. 人們在處理這類問題時,總希望從某一點出發(fā),選擇一個目標函數值下降最快的方向,以利于盡快達到極小點.正是基于這樣一種愿望,早在1847年法國著名數學家Cauchy提出了最速下降法.后來,Curry等人作了進一步的研究.現在最速下降法已經成為眾所周知的一種最基本的算法,它對其他算法的研究也很有啟發(fā)作用,因此在最優(yōu)化方法中占有重要地位.下面我們先來討論怎樣選擇最速

3、下降方向.,解：,第二次迭代：,第三次迭代：,在最速下降法的一位搜素中,即在最速下降法中相鄰兩次搜索方向是正交的。,對于二次嚴格凸函數,其中A為n維對稱正定矩陣,可以求出步長因子k,（本章習題7）,鋸齒現象,最速下降法的迭代點在向極小點靠近的過程中，走的是曲折的路線：后一次搜索方向d(k+1)與前一次搜索方向 d(k),總是相互垂直的，稱它為鋸齒現象。這一點在前面的例題中已得到驗證。除極特殊的目標函數（如等值面為球面的函數）和極特殊的初始點外，這種現象一般都要發(fā)生。,最速下降法的收斂性,從直觀上可以看到，在遠離極小點的地方，每次迭代都有可能使目標函數值有較多的下降，但在接近極小點的地方，由于鋸

4、齒現象，每次迭代行進的距離開始逐漸變小。因而收斂速度不快。,已有結論表明，最速下降法對于正定二次函數關于任意初始點都是收斂的(定理10.1.2)，而且恰好是線性收斂的。,則牛頓法產生的序列收斂于 .,實際上,當牛頓法收斂時,有下列關系:,其中 C 是某個常數.因此,牛頓法至少2級收斂,參看文獻19.可見牛頓法的收斂速率是很快的.,例10.2.1 用牛頓法解下列問題:,我們取初點,解：,第2次迭代：,第2次迭代：,繼續(xù)迭代，得到,最終收斂到最優(yōu)解x*=(1,0)T,我們先用極值條件求解.令,下面用牛頓法求解. 任取初始點x(1) , 根據牛頓法的迭代公式：,特別地,對于二次凸函數,用牛頓法求解,

5、經1次迭代即達極小點.,設有二次凸函數,其中A是對稱正定矩陣。,求迭代點x(2),即1次迭代達到極小點.,對于二次凸函數,用牛頓法求解,經1次迭代即達極小點,10.3、共軛梯度法,10.3.1 共軛方向法,1. 共軛方向和共軛方向法,共軛是正交的推廣。,幾何意義,幾何意義,推論：,共軛方向法,對于上述正交方向法，它是下降算法嗎？,不難得到：,故正交方向法，它是下降算法。,可由一組線性無關向量組，類似于schmidt正交化過程，,10.3.2. 共軛梯度法,如何選取一組共軛方向？,以下分析算法的具體步驟。,我們先討論對于二次凸函數的共軛梯度法,然后再把這種方法推廣到極小化一般函數的情形,初始搜索

6、方向為最速下降方向,常用兩個公式: 著名的FR和PPR公式,求解二次凸規(guī)劃的FR 共軛梯度法,求解二次凸規(guī)劃的FR 共軛梯度法迭代多少次才可以達到最優(yōu)解？,10.3.3. 用于一般函數的共軛梯度法,10.3.3. 用于一般函數的共軛梯度法,10.4 擬牛頓法,6.4.1 擬牛頓條件,前面介紹了牛頓法,它的突出優(yōu)點是收斂很快.但是,運用牛頓法需要計算二階便導數,而且目標函數的Hessian矩陣可能非正定.為了克服牛頓法的缺點,人們提出了擬牛頓法.它的基本思想是用不包含二階導數的矩陣近似牛頓法中的Hessian矩陣的逆矩陣.,Newton法的優(yōu)缺點都很突出。 優(yōu)點：高收斂速度（二階收斂）； 缺點：對初始點、目標函數要求高，計算量、存儲量大（需要計算、存儲Hesse矩陣及其逆）。,擬Newton法是模擬Newton法給出的一個保優(yōu)去劣的算法,擬Newton法是效果很好的一大類方法。它當中的DFP算法和BFGS算法是直到目前為止在不用Hesse矩陣的方法中的最好方法。,由于構造近似矩陣的方法不同,因而出現不同的擬牛頓法.經理論證明和實踐檢驗,擬牛