第一章 一些典型方程和定解條件的推導(dǎo)

1、第一章 一些典型方程和定解條件的推導(dǎo)1.1 基本方程的建立例 1 弦的振動(dòng)1、問題的提法給定一根兩端固定（平衡時(shí)沿直線）均勻柔軟的細(xì)弦，其長為l，在外力作用下在平衡位置附近作微小的橫振動(dòng)，研究弦上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。2、方程的推導(dǎo)基本假設(shè)：（1）弦是均勻的。弦的橫截面直徑與弦的長度相比可以忽略（細(xì)），因此，弦可以視為一條直線，它的線密度是常數(shù)。（2）弦在某一平面內(nèi)作微小橫振動(dòng)，即弦的位置始終在一直線附近，而弦上各點(diǎn)均在同一平面內(nèi)垂直于該直線的方向上作微小的振動(dòng)。所謂“微小”是指振動(dòng)的幅度及弦在任意位置處切線的傾角都很小。（3）弦是柔軟的。它在形變時(shí)不抵抗彎曲，弦上各質(zhì)點(diǎn)間的張力方向與弦的切線方向一

2、致，而弦的伸長形變與張力的關(guān)系服從胡克（Hook）定律。 由上述假定推導(dǎo)振動(dòng)方程。先討論不受外力作用時(shí)弦的振動(dòng)。由Newton第二定律，知作用在物體上的力=該物體的質(zhì)量該物體的加速度于是，在每一個(gè)時(shí)間段內(nèi)作用在物體上的沖量=該物體的動(dòng)量的變化由于弦上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律不同，必須對(duì)弦的各個(gè)片段分別進(jìn)行考察。為此，如圖1.1，選擇坐標(biāo)系，將弦的兩端固定在x軸的O、L兩點(diǎn)上（OL=l）。圖 1.1 弦樂器所用的弦往往是很輕的，它的重量只有張力的幾萬分之一。跟張力相比，弦的重量完全可以略去。這樣，真實(shí)的弦就抽象為“沒有重量的”弦。 把沒有重量的弦繃緊，它在不振動(dòng)時(shí)是一根直線，就取這直線作為x軸(圖1.1)

3、，把弦上各點(diǎn)的橫向位移記作u，位移u在弦上各點(diǎn)是不一樣的，即u有賴干x；另一方面，既然研究的是振動(dòng)，位移u必隨時(shí)間t而變，即u又依賴于t。這樣，橫向位移u是x和t的函數(shù)。用u(x,t)表示弦上各點(diǎn)在時(shí)刻t沿垂直于x方向的位移。當(dāng)t固定時(shí)，u(x,t)表示弦在時(shí)刻t所處的狀態(tài)。把弦細(xì)分為許多極小的小段。拿區(qū)間（x，x+dx）上的小段B為代表加以研究。B既然沒有重量而且是柔軟的，它就只受到鄰段A和C的拉力T1和T2。 弦的每小段都沒有縱向（即x方向)的運(yùn)動(dòng)，所以作用于B的縱向合力應(yīng)為零， （1.1）按照弦作微小振動(dòng)的假設(shè)，可知振動(dòng)過程總弦上x點(diǎn)與x+dx處切線的傾角都很小，即10，20，從而由可知

4、，當(dāng)我們略去1與2所有高于一次方的各項(xiàng)時(shí)，就有帶入（1.1）式，便可近似得到。 在u方向弧段B受力的總和為T2sin2- T1sin1-gds，其中-gds是弧段B的重力。又因當(dāng)10，20時(shí)且小弧段B在時(shí)刻t沿u方向運(yùn)動(dòng)的加速度近似為，小弧段的質(zhì)量為gds，所以根據(jù)Fma寫出B的橫向運(yùn)動(dòng)方程或（1.2）上式左邊括號(hào)內(nèi)的部分是由于x產(chǎn)生dx的變化而引起的的改變量，可用微分近似代替，即于是或一般說來，張力較大時(shí)振動(dòng)速度變化很快，即要比g大很多，所以又可以把g略去（或跟張力相比，弦的重量完全可以略去。這樣，真實(shí)的弦就抽象為“沒有重量的”弦）。略去次要的量，抓住主要的量，在u(x,t)關(guān)于x，t都是二

5、次連續(xù)可微的前提下，最后得出u(x,t)應(yīng)近似滿足方程 （1.3）其中。（1.3）式稱為一維波動(dòng)方程。如果在振動(dòng)過程中，弦上另外還受到一個(gè)與弦的振動(dòng)方向平行的外力，且假定在時(shí)刻t弦上x點(diǎn)處的外力密度為F(x,t)，顯然，在這時(shí)（1.1）及（1.2）分別為利用上面的方法并略去弦本身的重量，可得弦的強(qiáng)迫振動(dòng)方程為 （1.3）其中，表示時(shí)刻t單位質(zhì)量得弦在x點(diǎn)處所受的外力密度。 方程（1.3）與（1.3）得差別在于（1.3）的右端多了一個(gè)與未知函數(shù)u無關(guān)的項(xiàng)f(x,t)，這個(gè)項(xiàng)稱為自由項(xiàng)。包括非零自由項(xiàng)得方程稱為非齊次方程，自由項(xiàng)恒等于零的方程稱為齊次方程。（1.3）稱為齊次一維波動(dòng)方程，（1.3）

6、稱為非其次一維波動(dòng)方程。例 2 傳輸線方程1、問題的提法對(duì)于直流電或低頻的交流電，電路的基爾霍夫（Kirchhoff）定律指出同一支路中電流相等。但對(duì)于較高頻率的電流（指頻率還沒有高到能量顯著地輻射電磁波的情況），電路中導(dǎo)線的自感和電容的效應(yīng)不可忽略，因而同一支路中電流未必相等。2、方程的推導(dǎo)今來考慮一來一往高頻傳輸線，它被當(dāng)作具有分布參數(shù)的導(dǎo)體（圖1.2）我們來研究這種導(dǎo)體內(nèi)電流流動(dòng)的規(guī)律。在具有分布參數(shù)的導(dǎo)體中，電流通過的情況，可以用電流強(qiáng)度i與電壓v來描述，此處i與v都是x，t的函數(shù)，記作i（x，t）與v（x，t）。以R，L，C，G分別表示下列參數(shù)：R每一回路單位的串聯(lián)電阻；L每一回路單

7、位的串聯(lián)電感；C每單位長度的分路電容；G每單位長度的分路電導(dǎo)。根據(jù)基爾霍夫第二定律，在長度為x的傳輸線中，電壓降應(yīng)等于電動(dòng)勢之和，即由此得 （1.4） 另外，由基爾霍夫第一定律，流入節(jié)點(diǎn)的電流應(yīng)等于流出該節(jié)點(diǎn)的電流，即或 （1.5）將方程（1.4）與（1.5）合并，即得i，v應(yīng)滿足如下方程組從這個(gè)方程組消去v（或i），即可得到i（或v）所滿足得方程。例如，為了消去v，我們將方程（1.5）對(duì)x微分（假定v與i對(duì)x，t都是二次連續(xù)可微得），同時(shí)在方程（1.4）兩端乘以C后再對(duì)t微分，并把兩個(gè)結(jié)果相減，即得將（1.4）中的代入上式，得 （1.6）這就是電流i滿足得微分方程。采用類似得方法從（1.4）

8、與（1.5）中消去i可得電壓v滿足得方程 （1.7）方程（1.6）或（1.7）稱為傳輸線方程（電報(bào)方程）。 根據(jù)不同的具體情況，對(duì)參數(shù)R，L，C，G作不同得假定，就可以得到傳輸線方程的各種特殊形式。例如，在高頻傳輸?shù)那闆r下，電導(dǎo)與電阻所產(chǎn)生的效應(yīng)可以忽略不計(jì)。也就是說可令G=R=0,此時(shí)方程（1.6）與（1.7）可簡化為 這兩個(gè)方程稱為高頻傳輸線方程。 若令，這兩個(gè)方程與（1.3）完全相同。由此可見，同一個(gè)方程可以用來描述不同的物理現(xiàn)象。一維波動(dòng)方程只是波動(dòng)方程中最簡單的情況，在流體力學(xué)、聲學(xué)及電磁場理論中，還要研究高維的波動(dòng)方程。例 3 電磁場方程 從物理學(xué)我們知道，電磁場的特性可以用電場強(qiáng)

9、度E與磁場強(qiáng)度H以及電感應(yīng)強(qiáng)度D與磁感應(yīng)強(qiáng)度B來描述。聯(lián)系這些量的Maxwell方程為 （1.8） （1.9） （1.10） （1.11）其中J為傳導(dǎo)電流的面密度，為電荷的體密度。 這組方程還必須與下述場的物質(zhì)方程 （1.12） （1.13） （1.14）相聯(lián)立。其中是介質(zhì)的介電常數(shù)，是導(dǎo)磁率，為導(dǎo)電率，我們假定介質(zhì)是均勻而且各向同性的，此時(shí)、均為常數(shù)。方程（1.8）與（1.9）都同時(shí)包含有E與H，從中消去一個(gè)變量，就可以得到關(guān)于另一個(gè)變量的微分方程。例如先消去H，在（1.8）式兩端求旋度（假定E、H都是二次連續(xù)可微的）并利用（1.12）與（1.14）得將（1.9）與（1.13）代入上式得而，

10、且，所以最后得到H所滿足得方程為同理，若消去H即得E所滿足得方程如果介質(zhì)不導(dǎo)電（0），則上面兩個(gè)方程簡化為 （1.15） （1.16）（1.15）與（1.16）稱為三維波動(dòng)方程。 若將三維波動(dòng)方程以標(biāo)量得形式表示出來，則可寫成 （1.17）其中，u是E（或H）得任意一個(gè)分量。從方程（1.11）與（1.12）還可以推導(dǎo)處靜電場得電位所滿足得微分方程。事實(shí)上，以（1.12）代入（1.11）得，而電場強(qiáng)度E與電位u之間存在關(guān)系，所以可得或 （1.18）這個(gè)非齊次方程稱為泊松（Poisson）方程。如果靜電場是無源得，即0，則（1.18）變成 （1.19）這個(gè)方程稱為拉普拉斯（Laplace）方程。例

11、4 熱傳導(dǎo)方程一塊熱的物體，如果體內(nèi)每一點(diǎn)的溫度不全一樣，則在溫度較高的點(diǎn)處的熱量就要向溫度較低的點(diǎn)處流動(dòng)，這種現(xiàn)象就是熱傳導(dǎo)。由于熱量的傳導(dǎo)過程總是表現(xiàn)為溫度隨時(shí)間和點(diǎn)的位置變化，所以解決熱傳導(dǎo)問題都要?dú)w結(jié)為求物體內(nèi)溫度的分布，現(xiàn)在我們來推導(dǎo)均勻且各向同性的導(dǎo)熱體在傳熱過程中溫度所滿足的微分方程。與例1類似，我們不是先討論一點(diǎn)處的溫度，而應(yīng)該考慮一個(gè)區(qū)域的溫度。為此，在物體內(nèi)任取一閉曲面S，它所包圍的區(qū)域記作V（圖1.3）。假定在時(shí)刻t區(qū)域V內(nèi)點(diǎn)M（x，y，z）處的溫度為u（x，y，z，t），n為曲面元素S的法向（從V內(nèi)指向V外）。由傳熱學(xué)中Fouier實(shí)驗(yàn)定律可知，物體在無窮小時(shí)間段dt內(nèi)

12、，流過一個(gè)無窮小面積dS的熱量dQ與時(shí)間dt，曲面面積dS，以及物體溫度u沿曲面dS的法線方向的方向?qū)?shù)三者成正比，即其中kk（x，y，z）稱為物體的熱傳導(dǎo)系數(shù)，當(dāng)物體為均勻且各向同性的導(dǎo)熱體時(shí)，k為常數(shù)。上式中的負(fù)號(hào)是由于熱量的流向和溫度的梯度的正向，即gradu的方向相反而產(chǎn)生。這就是說，當(dāng)時(shí)，物體的溫度沿n的方向增加（減少），而熱流方向卻與此相反，故沿n的方向通過曲面的熱量應(yīng)該時(shí)負(fù)（正）的。利用上面的關(guān)系，從時(shí)刻t1到時(shí)刻t2通過曲面S流入?yún)^(qū)域V的全部熱量為流入的熱量使V內(nèi)各點(diǎn)的溫度從u（x，y，z，t1）變化到u（x，y，z，t2），則在t1, t2內(nèi)V內(nèi)溫度升高所需的熱量為其中c為物

13、體的比熱，為物體的密度，對(duì)均勻且各向同性的物體來說，它們都是常數(shù)。 由于熱量守恒，流入的熱量等于物體溫度升高所需吸收的熱量，即 （1.20）此式左端的曲面積分中S是閉曲面，假設(shè)函數(shù)u關(guān)于x，y，z具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，關(guān)于t具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，可以利用高斯（Guass）公式將它化為三重積分，即同時(shí)，（1.20）的右端的體積分可以寫成因此，有 （1.20）由于時(shí)間間隔t1, t2及區(qū)域V都是任意取的，并且被積函數(shù)是連續(xù)的，所以（1.20）式左右恒等的條件是它們的被積函數(shù)恒等，即 （1.21）其中，。方程（1.21）稱為三維熱傳導(dǎo)方程。若物體內(nèi)有熱源，其強(qiáng)度為F(x,y,z,t),則相應(yīng)的熱傳導(dǎo)方程

14、為，其中。作為特例，如果所考慮的物體是一根細(xì)桿（或一塊薄板），或者即使不是細(xì)桿（或薄板）而其中的溫度u只與x，t（或x，y，t）有關(guān)，則方程（1.21）就變成一維熱傳導(dǎo)方程或二維熱傳導(dǎo)方程 如果我們考慮穩(wěn)恒溫度場，即在熱傳導(dǎo)方程中物體的溫度趨于某種平衡狀態(tài)，這時(shí)溫度u已與時(shí)間t無關(guān)，所以，此時(shí)方程（1.21）就變成拉普拉斯方程（1.19）。由此可見，穩(wěn)恒溫度場內(nèi)的溫度u也滿足拉普拉斯方程。 在研究氣體或液體的擴(kuò)散過程時(shí)，若擴(kuò)散系數(shù)是常數(shù)，則所得得擴(kuò)散方程與熱傳導(dǎo)方程完全相同。1.2 初始條件與邊界條件上面所討論的是如何將一個(gè)具體問題所有的物理規(guī)律用數(shù)學(xué)關(guān)系式表達(dá)出來。除此之外，我們還需要把這個(gè)

15、問題所具有的特定條件也用數(shù)學(xué)形式表達(dá)出來，這是因?yàn)槿魏我粋€(gè)具體的物理現(xiàn)象都是處在特定條件之下的。例如弦的振動(dòng)問題，上節(jié)所推導(dǎo)出來的方程是一切柔軟均勻得弦作微小橫振動(dòng)的共同規(guī)律，在推導(dǎo)這個(gè)方程時(shí)沒有考慮到弦在初始時(shí)刻的狀態(tài)以及弦所受的約束情況。如果我們不是泛泛地研究弦的振動(dòng)，勢必就要考慮到弦所具有的特定條件。因?yàn)槿魏我粋€(gè)振動(dòng)物體在某時(shí)刻的振動(dòng)狀態(tài)總是和此時(shí)刻以前的狀態(tài)有關(guān)，從而就與初始時(shí)刻的狀態(tài)有關(guān)。另外，弦的兩端所受的約束也會(huì)影響弦的振動(dòng)，端點(diǎn)所處的處理?xiàng)l件不同就會(huì)產(chǎn)生不同的影響，因而弦的振動(dòng)也不同。所以對(duì)弦振動(dòng)問題來說，除了建立振動(dòng)方程以外，還需列出它所處的特定條件。對(duì)熱傳導(dǎo)方程、拉普拉斯方

16、程也是如此。提出的條件應(yīng)該能夠用來說明某一具體物理現(xiàn)象的初始狀態(tài)或者邊界上的約束情況。用以說明初始狀態(tài)的條件稱為初始條件；用以說明邊界上的約束情況的條件稱為邊界條件。下面具體說明初始條件和邊界條件的表達(dá)形式。先談初始條件，對(duì)于弦振動(dòng)問題來說，初始條件就是弦在開始時(shí)刻的位移以及速度，若以(x)，(x)分別表示初始位移和初速度，則初始條件可以表達(dá)為 （1.22）而對(duì)熱傳導(dǎo)方程來說，初始條件是指在開始時(shí)刻物體溫度的分布情況，若以(M)表示t0時(shí)物體內(nèi)任一點(diǎn)M處的溫度，則熱傳導(dǎo)方程的初始條件就是 （1.23）泊松方程與拉普拉斯方程都是描述穩(wěn)恒狀態(tài)的，與初始條件無關(guān)，所以不提初始條件。再談邊界條件。還是

17、先從弦振動(dòng)問題說起，從物理學(xué)得知，弦在振動(dòng)時(shí)，其端點(diǎn)（以xa表示這個(gè)端點(diǎn)）所受的約束情況，通常有以下三種類型：第一：固定端，即弦在振動(dòng)過程中這個(gè)端點(diǎn)始終保持不動(dòng)，對(duì)應(yīng)于這種狀態(tài)的邊界條件為 （1.24）第二：自由端，即弦在這個(gè)端點(diǎn)不受位移方向的外力，從而在這個(gè)端點(diǎn)弦在位移方向的張力應(yīng)該為零。由1.1中例1的推導(dǎo)過程可知，此時(shí)所對(duì)應(yīng)的邊界條件為即 （1.25）或 。第三：彈性支撐端，即弦在這個(gè)端點(diǎn)被某個(gè)彈性體所支撐。設(shè)彈性支撐原來的位置為u0，則就表示彈性支撐的應(yīng)變，由Hook定律可知，這時(shí)弦在xa處沿位移方向的張力應(yīng)該等于，即或 （1.26）其中k為彈性體的倔強(qiáng)系數(shù)，。對(duì)于熱傳導(dǎo)方程來說，也有

18、類似的情況。以S表示某物體V的邊界，如果在導(dǎo)熱過程中邊界S的溫度為已知的函數(shù)f(x,y,z,t)，則這時(shí)的邊界條件為 （1.27）這里f是定義在S上（一般依賴于t）的函數(shù)。如果在導(dǎo)熱過程中，物體V與周圍的介質(zhì)處于絕熱狀態(tài)，或者說，在S上的熱量流速始終為零，這時(shí)從例4的推導(dǎo)過程可知，在邊界S上必滿足 （1.28）如果物體的內(nèi)部和周圍介質(zhì)通過邊界S有熱量交換，以u(píng)1表示和物體接觸處的介質(zhì)溫度，這時(shí)利用另一個(gè)熱傳導(dǎo)實(shí)驗(yàn)定律：從一個(gè)介質(zhì)流入另一個(gè)介質(zhì)的熱量和兩個(gè)介質(zhì)間的溫度差成正比其中k1是兩介質(zhì)間的熱交換系數(shù)。在物體內(nèi)部任取一個(gè)無限貼近于邊界S的閉曲面，由于在S內(nèi)側(cè)熱量不能積累，所以在上的熱量流速應(yīng)

19、等于邊界S上的熱量流速，而在上的熱量流速為，所以，當(dāng)物體和外界有熱交換時(shí)，相應(yīng)的邊界條件為即 （1.29）其中。 綜合上述可知，不論對(duì)振動(dòng)問題，還是對(duì)熱傳導(dǎo)問題，它們所對(duì)應(yīng)的邊界條件，從數(shù)學(xué)角度看不外有三種類型：一是邊界S上直接給出了未知函數(shù)u的數(shù)值，即 （1.30）這種形式的邊界條件稱為第一類邊界條件。二是在邊界S上給出了未知函數(shù)u沿S的外法線方向的方向?qū)?shù)，即 （1.31）這種形式的邊界條件稱為第二類邊界條件。三是在邊界S上給出了未知函數(shù)u及沿S的外法線方向的方向?qū)?shù)某種線性組合的值，即 （1.31）這種形式的邊界條件稱為第三類邊界條件。需要注意的是（1.301.32）右端的fi都是定義在

20、邊界S上（一般說來，也依賴于t）的已知函數(shù)。不論哪一類型的邊界條件，當(dāng)它的數(shù)學(xué)表達(dá)式中的自由項(xiàng)（即不依賴于u的項(xiàng)）恒為零時(shí)，則這種邊界條件稱為是齊次的，否則稱為非齊次的。1.3 定解問題的提法前面兩節(jié)我們推導(dǎo)了三種不同類型的偏微分方程并討論了于它們相應(yīng)的初始條件與邊界條件的表達(dá)式。由于這些方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)最高階都是二階，而且它們對(duì)于未知函數(shù)及其各階偏導(dǎo)數(shù)來說都是線性的，所以這種方程稱為二階線性偏微分方程。在國內(nèi)工程技術(shù)上二階線性偏微分方程遇到最多。如果一個(gè)未知函數(shù)具有某偏微分方程中所需要的各階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并且代入該方程中能使它變成恒等式，則此函數(shù)稱為該方程的解（古典解）。由于每一個(gè)物理過程都處在特定的條件之下，所以我們的任務(wù)