第一章 一些典型方程和定解條件的推導(dǎo)_第1頁(yè)
第一章 一些典型方程和定解條件的推導(dǎo)_第2頁(yè)
第一章 一些典型方程和定解條件的推導(dǎo)_第3頁(yè)
第一章 一些典型方程和定解條件的推導(dǎo)_第4頁(yè)
第一章 一些典型方程和定解條件的推導(dǎo)_第5頁(yè)
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文檔簡(jiǎn)介

1、第一章 一些典型方程和定解條件的推導(dǎo)1.1 基本方程的建立例 1 弦的振動(dòng)1、問(wèn)題的提法給定一根兩端固定(平衡時(shí)沿直線)均勻柔軟的細(xì)弦,其長(zhǎng)為l,在外力作用下在平衡位置附近作微小的橫振動(dòng),研究弦上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。2、方程的推導(dǎo)基本假設(shè):(1)弦是均勻的。弦的橫截面直徑與弦的長(zhǎng)度相比可以忽略(細(xì)),因此,弦可以視為一條直線,它的線密度是常數(shù)。(2)弦在某一平面內(nèi)作微小橫振動(dòng),即弦的位置始終在一直線附近,而弦上各點(diǎn)均在同一平面內(nèi)垂直于該直線的方向上作微小的振動(dòng)。所謂“微小”是指振動(dòng)的幅度及弦在任意位置處切線的傾角都很小。(3)弦是柔軟的。它在形變時(shí)不抵抗彎曲,弦上各質(zhì)點(diǎn)間的張力方向與弦的切線方向一

2、致,而弦的伸長(zhǎng)形變與張力的關(guān)系服從胡克(Hook)定律。 由上述假定推導(dǎo)振動(dòng)方程。先討論不受外力作用時(shí)弦的振動(dòng)。由Newton第二定律,知作用在物體上的力=該物體的質(zhì)量該物體的加速度于是,在每一個(gè)時(shí)間段內(nèi)作用在物體上的沖量=該物體的動(dòng)量的變化由于弦上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律不同,必須對(duì)弦的各個(gè)片段分別進(jìn)行考察。為此,如圖1.1,選擇坐標(biāo)系,將弦的兩端固定在x軸的O、L兩點(diǎn)上(OL=l)。圖 1.1 弦樂器所用的弦往往是很輕的,它的重量只有張力的幾萬(wàn)分之一。跟張力相比,弦的重量完全可以略去。這樣,真實(shí)的弦就抽象為“沒有重量的”弦。 把沒有重量的弦繃緊,它在不振動(dòng)時(shí)是一根直線,就取這直線作為x軸(圖1.1)

3、,把弦上各點(diǎn)的橫向位移記作u,位移u在弦上各點(diǎn)是不一樣的,即u有賴干x;另一方面,既然研究的是振動(dòng),位移u必隨時(shí)間t而變,即u又依賴于t。這樣,橫向位移u是x和t的函數(shù)。用u(x,t)表示弦上各點(diǎn)在時(shí)刻t沿垂直于x方向的位移。當(dāng)t固定時(shí),u(x,t)表示弦在時(shí)刻t所處的狀態(tài)。把弦細(xì)分為許多極小的小段。拿區(qū)間(x,x+dx)上的小段B為代表加以研究。B既然沒有重量而且是柔軟的,它就只受到鄰段A和C的拉力T1和T2。 弦的每小段都沒有縱向(即x方向)的運(yùn)動(dòng),所以作用于B的縱向合力應(yīng)為零, (1.1)按照弦作微小振動(dòng)的假設(shè),可知振動(dòng)過(guò)程總弦上x點(diǎn)與x+dx處切線的傾角都很小,即10,20,從而由可知

4、,當(dāng)我們略去1與2所有高于一次方的各項(xiàng)時(shí),就有帶入(1.1)式,便可近似得到。 在u方向弧段B受力的總和為T2sin2- T1sin1-gds,其中-gds是弧段B的重力。又因當(dāng)10,20時(shí)且小弧段B在時(shí)刻t沿u方向運(yùn)動(dòng)的加速度近似為,小弧段的質(zhì)量為gds,所以根據(jù)Fma寫出B的橫向運(yùn)動(dòng)方程或(1.2)上式左邊括號(hào)內(nèi)的部分是由于x產(chǎn)生dx的變化而引起的的改變量,可用微分近似代替,即于是或一般說(shuō)來(lái),張力較大時(shí)振動(dòng)速度變化很快,即要比g大很多,所以又可以把g略去(或跟張力相比,弦的重量完全可以略去。這樣,真實(shí)的弦就抽象為“沒有重量的”弦)。略去次要的量,抓住主要的量,在u(x,t)關(guān)于x,t都是二

5、次連續(xù)可微的前提下,最后得出u(x,t)應(yīng)近似滿足方程 (1.3)其中。(1.3)式稱為一維波動(dòng)方程。如果在振動(dòng)過(guò)程中,弦上另外還受到一個(gè)與弦的振動(dòng)方向平行的外力,且假定在時(shí)刻t弦上x點(diǎn)處的外力密度為F(x,t),顯然,在這時(shí)(1.1)及(1.2)分別為利用上面的方法并略去弦本身的重量,可得弦的強(qiáng)迫振動(dòng)方程為 (1.3)其中,表示時(shí)刻t單位質(zhì)量得弦在x點(diǎn)處所受的外力密度。 方程(1.3)與(1.3)得差別在于(1.3)的右端多了一個(gè)與未知函數(shù)u無(wú)關(guān)的項(xiàng)f(x,t),這個(gè)項(xiàng)稱為自由項(xiàng)。包括非零自由項(xiàng)得方程稱為非齊次方程,自由項(xiàng)恒等于零的方程稱為齊次方程。(1.3)稱為齊次一維波動(dòng)方程,(1.3)

6、稱為非其次一維波動(dòng)方程。例 2 傳輸線方程1、問(wèn)題的提法對(duì)于直流電或低頻的交流電,電路的基爾霍夫(Kirchhoff)定律指出同一支路中電流相等。但對(duì)于較高頻率的電流(指頻率還沒有高到能量顯著地輻射電磁波的情況),電路中導(dǎo)線的自感和電容的效應(yīng)不可忽略,因而同一支路中電流未必相等。2、方程的推導(dǎo)今來(lái)考慮一來(lái)一往高頻傳輸線,它被當(dāng)作具有分布參數(shù)的導(dǎo)體(圖1.2)我們來(lái)研究這種導(dǎo)體內(nèi)電流流動(dòng)的規(guī)律。在具有分布參數(shù)的導(dǎo)體中,電流通過(guò)的情況,可以用電流強(qiáng)度i與電壓v來(lái)描述,此處i與v都是x,t的函數(shù),記作i(x,t)與v(x,t)。以R,L,C,G分別表示下列參數(shù):R每一回路單位的串聯(lián)電阻;L每一回路單

7、位的串聯(lián)電感;C每單位長(zhǎng)度的分路電容;G每單位長(zhǎng)度的分路電導(dǎo)。根據(jù)基爾霍夫第二定律,在長(zhǎng)度為x的傳輸線中,電壓降應(yīng)等于電動(dòng)勢(shì)之和,即由此得 (1.4) 另外,由基爾霍夫第一定律,流入節(jié)點(diǎn)的電流應(yīng)等于流出該節(jié)點(diǎn)的電流,即或 (1.5)將方程(1.4)與(1.5)合并,即得i,v應(yīng)滿足如下方程組從這個(gè)方程組消去v(或i),即可得到i(或v)所滿足得方程。例如,為了消去v,我們將方程(1.5)對(duì)x微分(假定v與i對(duì)x,t都是二次連續(xù)可微得),同時(shí)在方程(1.4)兩端乘以C后再對(duì)t微分,并把兩個(gè)結(jié)果相減,即得將(1.4)中的代入上式,得 (1.6)這就是電流i滿足得微分方程。采用類似得方法從(1.4)

8、與(1.5)中消去i可得電壓v滿足得方程 (1.7)方程(1.6)或(1.7)稱為傳輸線方程(電報(bào)方程)。 根據(jù)不同的具體情況,對(duì)參數(shù)R,L,C,G作不同得假定,就可以得到傳輸線方程的各種特殊形式。例如,在高頻傳輸?shù)那闆r下,電導(dǎo)與電阻所產(chǎn)生的效應(yīng)可以忽略不計(jì)。也就是說(shuō)可令G=R=0,此時(shí)方程(1.6)與(1.7)可簡(jiǎn)化為 這兩個(gè)方程稱為高頻傳輸線方程。 若令,這兩個(gè)方程與(1.3)完全相同。由此可見,同一個(gè)方程可以用來(lái)描述不同的物理現(xiàn)象。一維波動(dòng)方程只是波動(dòng)方程中最簡(jiǎn)單的情況,在流體力學(xué)、聲學(xué)及電磁場(chǎng)理論中,還要研究高維的波動(dòng)方程。例 3 電磁場(chǎng)方程 從物理學(xué)我們知道,電磁場(chǎng)的特性可以用電場(chǎng)強(qiáng)

9、度E與磁場(chǎng)強(qiáng)度H以及電感應(yīng)強(qiáng)度D與磁感應(yīng)強(qiáng)度B來(lái)描述。聯(lián)系這些量的Maxwell方程為 (1.8) (1.9) (1.10) (1.11)其中J為傳導(dǎo)電流的面密度,為電荷的體密度。 這組方程還必須與下述場(chǎng)的物質(zhì)方程 (1.12) (1.13) (1.14)相聯(lián)立。其中是介質(zhì)的介電常數(shù),是導(dǎo)磁率,為導(dǎo)電率,我們假定介質(zhì)是均勻而且各向同性的,此時(shí)、均為常數(shù)。方程(1.8)與(1.9)都同時(shí)包含有E與H,從中消去一個(gè)變量,就可以得到關(guān)于另一個(gè)變量的微分方程。例如先消去H,在(1.8)式兩端求旋度(假定E、H都是二次連續(xù)可微的)并利用(1.12)與(1.14)得將(1.9)與(1.13)代入上式得而,

10、且,所以最后得到H所滿足得方程為同理,若消去H即得E所滿足得方程如果介質(zhì)不導(dǎo)電(0),則上面兩個(gè)方程簡(jiǎn)化為 (1.15) (1.16)(1.15)與(1.16)稱為三維波動(dòng)方程。 若將三維波動(dòng)方程以標(biāo)量得形式表示出來(lái),則可寫成 (1.17)其中,u是E(或H)得任意一個(gè)分量。從方程(1.11)與(1.12)還可以推導(dǎo)處?kù)o電場(chǎng)得電位所滿足得微分方程。事實(shí)上,以(1.12)代入(1.11)得,而電場(chǎng)強(qiáng)度E與電位u之間存在關(guān)系,所以可得或 (1.18)這個(gè)非齊次方程稱為泊松(Poisson)方程。如果靜電場(chǎng)是無(wú)源得,即0,則(1.18)變成 (1.19)這個(gè)方程稱為拉普拉斯(Laplace)方程。例

11、4 熱傳導(dǎo)方程一塊熱的物體,如果體內(nèi)每一點(diǎn)的溫度不全一樣,則在溫度較高的點(diǎn)處的熱量就要向溫度較低的點(diǎn)處流動(dòng),這種現(xiàn)象就是熱傳導(dǎo)。由于熱量的傳導(dǎo)過(guò)程總是表現(xiàn)為溫度隨時(shí)間和點(diǎn)的位置變化,所以解決熱傳導(dǎo)問(wèn)題都要?dú)w結(jié)為求物體內(nèi)溫度的分布,現(xiàn)在我們來(lái)推導(dǎo)均勻且各向同性的導(dǎo)熱體在傳熱過(guò)程中溫度所滿足的微分方程。與例1類似,我們不是先討論一點(diǎn)處的溫度,而應(yīng)該考慮一個(gè)區(qū)域的溫度。為此,在物體內(nèi)任取一閉曲面S,它所包圍的區(qū)域記作V(圖1.3)。假定在時(shí)刻t區(qū)域V內(nèi)點(diǎn)M(x,y,z)處的溫度為u(x,y,z,t),n為曲面元素S的法向(從V內(nèi)指向V外)。由傳熱學(xué)中Fouier實(shí)驗(yàn)定律可知,物體在無(wú)窮小時(shí)間段dt內(nèi)

12、,流過(guò)一個(gè)無(wú)窮小面積dS的熱量dQ與時(shí)間dt,曲面面積dS,以及物體溫度u沿曲面dS的法線方向的方向?qū)?shù)三者成正比,即其中kk(x,y,z)稱為物體的熱傳導(dǎo)系數(shù),當(dāng)物體為均勻且各向同性的導(dǎo)熱體時(shí),k為常數(shù)。上式中的負(fù)號(hào)是由于熱量的流向和溫度的梯度的正向,即gradu的方向相反而產(chǎn)生。這就是說(shuō),當(dāng)時(shí),物體的溫度沿n的方向增加(減少),而熱流方向卻與此相反,故沿n的方向通過(guò)曲面的熱量應(yīng)該時(shí)負(fù)(正)的。利用上面的關(guān)系,從時(shí)刻t1到時(shí)刻t2通過(guò)曲面S流入?yún)^(qū)域V的全部熱量為流入的熱量使V內(nèi)各點(diǎn)的溫度從u(x,y,z,t1)變化到u(x,y,z,t2),則在t1, t2內(nèi)V內(nèi)溫度升高所需的熱量為其中c為物

13、體的比熱,為物體的密度,對(duì)均勻且各向同性的物體來(lái)說(shuō),它們都是常數(shù)。 由于熱量守恒,流入的熱量等于物體溫度升高所需吸收的熱量,即 (1.20)此式左端的曲面積分中S是閉曲面,假設(shè)函數(shù)u關(guān)于x,y,z具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),關(guān)于t具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),可以利用高斯(Guass)公式將它化為三重積分,即同時(shí),(1.20)的右端的體積分可以寫成因此,有 (1.20)由于時(shí)間間隔t1, t2及區(qū)域V都是任意取的,并且被積函數(shù)是連續(xù)的,所以(1.20)式左右恒等的條件是它們的被積函數(shù)恒等,即 (1.21)其中,。方程(1.21)稱為三維熱傳導(dǎo)方程。若物體內(nèi)有熱源,其強(qiáng)度為F(x,y,z,t),則相應(yīng)的熱傳導(dǎo)方程

14、為,其中。作為特例,如果所考慮的物體是一根細(xì)桿(或一塊薄板),或者即使不是細(xì)桿(或薄板)而其中的溫度u只與x,t(或x,y,t)有關(guān),則方程(1.21)就變成一維熱傳導(dǎo)方程或二維熱傳導(dǎo)方程 如果我們考慮穩(wěn)恒溫度場(chǎng),即在熱傳導(dǎo)方程中物體的溫度趨于某種平衡狀態(tài),這時(shí)溫度u已與時(shí)間t無(wú)關(guān),所以,此時(shí)方程(1.21)就變成拉普拉斯方程(1.19)。由此可見,穩(wěn)恒溫度場(chǎng)內(nèi)的溫度u也滿足拉普拉斯方程。 在研究氣體或液體的擴(kuò)散過(guò)程時(shí),若擴(kuò)散系數(shù)是常數(shù),則所得得擴(kuò)散方程與熱傳導(dǎo)方程完全相同。1.2 初始條件與邊界條件上面所討論的是如何將一個(gè)具體問(wèn)題所有的物理規(guī)律用數(shù)學(xué)關(guān)系式表達(dá)出來(lái)。除此之外,我們還需要把這個(gè)

15、問(wèn)題所具有的特定條件也用數(shù)學(xué)形式表達(dá)出來(lái),這是因?yàn)槿魏我粋€(gè)具體的物理現(xiàn)象都是處在特定條件之下的。例如弦的振動(dòng)問(wèn)題,上節(jié)所推導(dǎo)出來(lái)的方程是一切柔軟均勻得弦作微小橫振動(dòng)的共同規(guī)律,在推導(dǎo)這個(gè)方程時(shí)沒有考慮到弦在初始時(shí)刻的狀態(tài)以及弦所受的約束情況。如果我們不是泛泛地研究弦的振動(dòng),勢(shì)必就要考慮到弦所具有的特定條件。因?yàn)槿魏我粋€(gè)振動(dòng)物體在某時(shí)刻的振動(dòng)狀態(tài)總是和此時(shí)刻以前的狀態(tài)有關(guān),從而就與初始時(shí)刻的狀態(tài)有關(guān)。另外,弦的兩端所受的約束也會(huì)影響弦的振動(dòng),端點(diǎn)所處的處理?xiàng)l件不同就會(huì)產(chǎn)生不同的影響,因而弦的振動(dòng)也不同。所以對(duì)弦振動(dòng)問(wèn)題來(lái)說(shuō),除了建立振動(dòng)方程以外,還需列出它所處的特定條件。對(duì)熱傳導(dǎo)方程、拉普拉斯方

16、程也是如此。提出的條件應(yīng)該能夠用來(lái)說(shuō)明某一具體物理現(xiàn)象的初始狀態(tài)或者邊界上的約束情況。用以說(shuō)明初始狀態(tài)的條件稱為初始條件;用以說(shuō)明邊界上的約束情況的條件稱為邊界條件。下面具體說(shuō)明初始條件和邊界條件的表達(dá)形式。先談初始條件,對(duì)于弦振動(dòng)問(wèn)題來(lái)說(shuō),初始條件就是弦在開始時(shí)刻的位移以及速度,若以(x),(x)分別表示初始位移和初速度,則初始條件可以表達(dá)為 (1.22)而對(duì)熱傳導(dǎo)方程來(lái)說(shuō),初始條件是指在開始時(shí)刻物體溫度的分布情況,若以(M)表示t0時(shí)物體內(nèi)任一點(diǎn)M處的溫度,則熱傳導(dǎo)方程的初始條件就是 (1.23)泊松方程與拉普拉斯方程都是描述穩(wěn)恒狀態(tài)的,與初始條件無(wú)關(guān),所以不提初始條件。再談邊界條件。還是

17、先從弦振動(dòng)問(wèn)題說(shuō)起,從物理學(xué)得知,弦在振動(dòng)時(shí),其端點(diǎn)(以xa表示這個(gè)端點(diǎn))所受的約束情況,通常有以下三種類型:第一:固定端,即弦在振動(dòng)過(guò)程中這個(gè)端點(diǎn)始終保持不動(dòng),對(duì)應(yīng)于這種狀態(tài)的邊界條件為 (1.24)第二:自由端,即弦在這個(gè)端點(diǎn)不受位移方向的外力,從而在這個(gè)端點(diǎn)弦在位移方向的張力應(yīng)該為零。由1.1中例1的推導(dǎo)過(guò)程可知,此時(shí)所對(duì)應(yīng)的邊界條件為即 (1.25)或 。第三:彈性支撐端,即弦在這個(gè)端點(diǎn)被某個(gè)彈性體所支撐。設(shè)彈性支撐原來(lái)的位置為u0,則就表示彈性支撐的應(yīng)變,由Hook定律可知,這時(shí)弦在xa處沿位移方向的張力應(yīng)該等于,即或 (1.26)其中k為彈性體的倔強(qiáng)系數(shù),。對(duì)于熱傳導(dǎo)方程來(lái)說(shuō),也有

18、類似的情況。以S表示某物體V的邊界,如果在導(dǎo)熱過(guò)程中邊界S的溫度為已知的函數(shù)f(x,y,z,t),則這時(shí)的邊界條件為 (1.27)這里f是定義在S上(一般依賴于t)的函數(shù)。如果在導(dǎo)熱過(guò)程中,物體V與周圍的介質(zhì)處于絕熱狀態(tài),或者說(shuō),在S上的熱量流速始終為零,這時(shí)從例4的推導(dǎo)過(guò)程可知,在邊界S上必滿足 (1.28)如果物體的內(nèi)部和周圍介質(zhì)通過(guò)邊界S有熱量交換,以u(píng)1表示和物體接觸處的介質(zhì)溫度,這時(shí)利用另一個(gè)熱傳導(dǎo)實(shí)驗(yàn)定律:從一個(gè)介質(zhì)流入另一個(gè)介質(zhì)的熱量和兩個(gè)介質(zhì)間的溫度差成正比其中k1是兩介質(zhì)間的熱交換系數(shù)。在物體內(nèi)部任取一個(gè)無(wú)限貼近于邊界S的閉曲面,由于在S內(nèi)側(cè)熱量不能積累,所以在上的熱量流速應(yīng)

19、等于邊界S上的熱量流速,而在上的熱量流速為,所以,當(dāng)物體和外界有熱交換時(shí),相應(yīng)的邊界條件為即 (1.29)其中。 綜合上述可知,不論對(duì)振動(dòng)問(wèn)題,還是對(duì)熱傳導(dǎo)問(wèn)題,它們所對(duì)應(yīng)的邊界條件,從數(shù)學(xué)角度看不外有三種類型:一是邊界S上直接給出了未知函數(shù)u的數(shù)值,即 (1.30)這種形式的邊界條件稱為第一類邊界條件。二是在邊界S上給出了未知函數(shù)u沿S的外法線方向的方向?qū)?shù),即 (1.31)這種形式的邊界條件稱為第二類邊界條件。三是在邊界S上給出了未知函數(shù)u及沿S的外法線方向的方向?qū)?shù)某種線性組合的值,即 (1.31)這種形式的邊界條件稱為第三類邊界條件。需要注意的是(1.301.32)右端的fi都是定義在

20、邊界S上(一般說(shuō)來(lái),也依賴于t)的已知函數(shù)。不論哪一類型的邊界條件,當(dāng)它的數(shù)學(xué)表達(dá)式中的自由項(xiàng)(即不依賴于u的項(xiàng))恒為零時(shí),則這種邊界條件稱為是齊次的,否則稱為非齊次的。1.3 定解問(wèn)題的提法前面兩節(jié)我們推導(dǎo)了三種不同類型的偏微分方程并討論了于它們相應(yīng)的初始條件與邊界條件的表達(dá)式。由于這些方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)最高階都是二階,而且它們對(duì)于未知函數(shù)及其各階偏導(dǎo)數(shù)來(lái)說(shuō)都是線性的,所以這種方程稱為二階線性偏微分方程。在國(guó)內(nèi)工程技術(shù)上二階線性偏微分方程遇到最多。如果一個(gè)未知函數(shù)具有某偏微分方程中所需要的各階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),并且代入該方程中能使它變成恒等式,則此函數(shù)稱為該方程的解(古典解)。由于每一個(gè)物理過(guò)程都處在特定的條件之下,所以我們的任務(wù)

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