二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型的三種方法_第1頁
二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型的三種方法_第2頁
二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型的三種方法_第3頁
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二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型的三種方法_第5頁
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1、2 二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型的三種方法,(2)如果存在，如何求C?,定理 任何一個二次型都可以通過非退化線性 替換 化為標(biāo)準(zhǔn)形。,(1)若aii不全為零,設(shè)a110,則上式可寫成,它是非退化的,代入后,對y2,y3,yn的二次型.,當(dāng)aii不全為零時,繼續(xù)上述方法.否則用下述(2),(2)若a ii=0 (i=1,2,n),但至少有一個aij0,設(shè)a120,則,它是非退化線性的替換,代入后,反復(fù)使用(1)與(2),可以在有限步內(nèi)將二次型 化為標(biāo)準(zhǔn)形.,因為 x=Cy, |C|0,y=Dz,|D|0,則 x=(CD)z, |CD|=|C|D|0,也是非退化線性替換.,以上做法中,每一步都是非退化線性替換

2、.,因此可以找到一個非退化線性替換化為二 次型為標(biāo)準(zhǔn)形.,定理 對任意對稱陣A,存在可逆陣C使得CTAC 為對角陣. 即任何對稱矩陣合同于一個對角陣.,上述定理的證明實績上給出了一種化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的方法：配方法.,例1,解,所用變換矩陣為,解:配方化簡,代入可得標(biāo)準(zhǔn)形為,非退化線性替換矩陣為,2.若二次型中不含有平方項，但是 則先作可逆線性變換,化二次型為含有平方項的二次型，然后再 按 1 中方法配方.,解,例3,由于所給二次型中無平方項，所以,再配方，得,所用變換矩陣為,用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的具體步驟,例,從而得特征值,step2求特征向量,得正交向量組,step3將特征向量正交化,s

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