各種圓定理總結(包括托勒密定理、塞瓦定理、西姆松定理、梅涅勞斯定理、圓冪定理和四點共圓)

1、托勒密定理一些圓定理.doc定理圖定理的內容 托勒密(Ptolemy)定理指出，圓的內接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積。 原文：圓的內接四邊形中，兩對角線所包矩形的面積等于 一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和。 從這個定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理實質上是關于共圓性的基本性質 定理的提出一般幾何教科書中的“托勒密定理”，實出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是從他的書中摘出。證明一、（以下是推論的證明，托勒密定理可視作特殊情況。） 在任意四邊形ABCD中，作ABE使BAE=CAD ABE= ACD 因為ABEACD

2、所以 BE/CD=AB/AC,即BEAC=ABCD (1) 而BAC=DAE，ACB=ADE 所以ABCAED相似. BC/ED=AC/AD即EDAC=BCAD (2) (1)+(2),得 AC(BE+ED)=ABCD+ADBC 又因為BE+EDBD （僅在四邊形ABCD是某圓的內接四邊形時，等號成立，即“托勒密定理”） 所以命題得證 復數(shù)證明 用a、b、c、d分別表示四邊形頂點A、B、C、D的復數(shù)，則AB、CD、AD、BC、AC、BD的長度分別是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。 首先注意到復數(shù)恒等式： (a b)(c d) + (a d)(b c)

3、= (a c)(b d) ，兩邊取模，運用三角不等式得。 等號成立的條件是(a-b)(c-d)與(a-d)(b-c)的輻角相等，這與A、B、C、D四點共圓等價。 四點不限于同一平面。 平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。 二、設ABCD是圓內接四邊形。 在弦BC上，圓周角BAC = BDC，而在AB上，ADB = ACB。 在AC上取一點K，使得ABK = CBD； 因為ABK + CBK = ABC = CBD + ABD，所以CBK = ABD。 因此ABK與DBC相似，同理也有ABD KBC。 因此AK/AB = CD/BD，且CK/BC = DA/BD； 因此AKBD = AB

4、CD，且CKBD = BCDA； 兩式相加，得(AK+CK)BD = ABCD + BCDA； 但AK+CK = AC，因此ACBD = ABCD + BCDA。證畢。 三、 托勒密定理：圓內接四邊形中，兩條對角線的乘積(兩對角線所包矩形的面積)等于兩組對邊乘積之和(一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和)已知：圓內接四邊形ABCD，求證：ACBDABCDADBC 證明：如圖1，過C作CP交BD于P，使1=2，又3=4，ACDBCP得AC：BC=AD：BP，ACBP=ADBC 。又ACB=DCP，5=6，ACBDCP得AC：CD=AB：DP，ACDP=ABCD 。得 AC(BPD

5、P)=ABCDADBC即ACBD=ABCDADBC 推論1.任意凸四邊形ABCD，必有ACBDABCD+ADBC，當且僅當ABCD四點共圓時取等號。 2.托勒密定理的逆定理同樣成立：一個凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積，則這個凸四邊形內接于一圓、 推廣托勒密不等式：四邊形的任兩組對邊乘積不小于另外一組對邊的乘積，取等號當且僅當共圓或共線。 簡單的證明：復數(shù)恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，兩邊取模， 得不等式ACBD|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=ABCD+BCAD 注意： 1.等號成立的條件是(a-b)(c-d)與(a-

6、d)(b-c)的輻角相等，這與A、B、C、D四點共圓等價。 2.四點不限于同一平面。 歐拉定理：在一條線段上AD上，順次標有B、C兩點，則ADBC+ABCD=ACBD塞瓦定理簡介 塞瓦（Giovanni Ceva，16481734）意大利水利工程師，數(shù)學家。塞瓦定理載于塞瓦于1678年發(fā)表的直線論一書，也有書中說塞瓦定理是塞瓦重新發(fā)現(xiàn)。 具體內容塞瓦定理 在ABC內任取一點O， 直線AO、BO、CO分別交對邊于D、E、F，則 (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 證法簡介 （）本題可利用梅涅勞斯定理證明： ADC被直線BOE所截， (CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=

7、1 而由ABD被直線COF所截， (BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1 :即得：(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 （）也可以利用面積關系證明 BD/DC=SABD/SACD=SBOD/SCOD=(SABD-SBOD)/(SACD-SCOD)=SAOB/SAOC 同理 CE/EA=SBOC/ SAOB AF/FB=SAOC/SBOC 得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1 利用塞瓦定理證明三角形三條高線必交于一點: 設三邊AB、BC、AC的垂足分別為D、E、F， 根據(jù)塞瓦定理逆定理，因為(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=(CD*ctgA）/(CD*

8、ctgB）*(AE*ctgB)/(AE*ctgC)*(BF*ctgC)/(BF*ctgA)=1，所以三條高CD、AE、BF交于一點。 可用塞瓦定理證明的其他定理; 三角形三條中線交于一點（重心）:如圖5 D , E分別為BC , AC 中點 所以BD=DC AE=EC 所以BD/DC=1 CE/EA=1 且因為AF=BF 所以 AF/FB必等于1 所以AF=FB 所以三角形三條中線交于一點 此外，可用定比分點來定義塞瓦定理： 在ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線上分別取L、M、N三點，又分比是=BL/LC、=CM/MA、=AN/NB。于是AL、BM、CN三線交于一點的充要條件是=1。（注意

9、與梅涅勞斯定理相區(qū)分，那里是=-1） 塞瓦定理推論1.設E是ABD內任意一點，AE、BE、DE分別交對邊于C、G、F，則(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1 因為(BC/CD)*(DG/GA)*(AF/FB)=1，（塞瓦定理）所以 (BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=K（K為未知參數(shù)）且(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=K（K為未知參數(shù)）又由梅涅勞斯定理得：(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=1 所以(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1 2.塞瓦定理角元形式 AD,BE,CF交于一點的充分必要條件是： (sinBAD/sinDA

10、C)*(sinACF/sinFCB)*(sinCBE/sinEBA)=1 由正弦定理及三角形面積公式易證 3.如圖，對于圓周上順次6點A,B,C,D,E,F，直線AD,BE,CF交于一點的充分必要條件是： (AB/BC)*(CD/DE)*(EF/FA)=1 由塞瓦定理的角元形式，正弦定理及圓弦長與所對圓周角關系易證。 4.還能利用塞瓦定理證三角形三條高交于一點 設三邊AB、BC、AC的垂足分別為D、E、F，根據(jù)塞瓦定理逆定 理，因為(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=(CD*ctgA）/(CD*ctgB）*(AE*ctgB)/(AE*ctgC)*(BF*ctgC)/(AE*ctgB

11、)=1，所以三條高CD、AE、BF交于一點。梅涅勞斯定理 梅涅勞斯定理證明梅涅勞斯（Menelaus）定理（簡稱梅氏定理）是由古希臘數(shù)學家梅涅勞斯首先證明的。它指出：如果一條直線與ABC的三邊AB、BC、CA或其延長線交于F、D、E點，那么(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1。 或：設X、Y、Z分別在ABC的BC、CA、AB所在直線上，則X、Y、Z共線的充要條件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)= 證明一：過點A作AGBC交DF的延長線于G, 則AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG。 三式相乘得：(AF/FB)(BD/DC)(C

12、E/EA)=(AG/BD)(BD/DC)(DC/AG)=1 證明二：過點C作CPDF交AB于P，則BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF 所以有AF/FBBD/DCCE/EA=AF/FBFB/PFPF/AF=1 它的逆定理也成立：若有三點F、D、E分別在ABC的邊AB、BC、CA或其延長線上，且滿足(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1，則F、D、E三點共線。利用這個逆定理，可以判斷三點共線。 梅涅勞斯(Menelaus)定理證明三：過ABC三點向三邊引垂線AABBCC， 所以AD：DB=AA：BB，BE：EC=BB：CC，CF：FA=CC：AA 所以(AF/FB)(BD/DC

13、)(CE/EA)=1 證明四：連接BF。 （AD：DB）（BE：EC）（CF:FA) =（SADF：SBDF）（SBEF：SCEF）（SBCF：SBAF） =（SADF：SBDF）（SBDF：SCDF）（SCDF：SADF） =1 此外，用定比分點定義該定理可使其容易理解和記憶： 在ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線上分別取L、M、N三點，又分比是=BL/LC、=CM/MA、=AN/NB。于是L、M、N三點共線的充要條件是=1。 第一角元形式的梅涅勞斯定理 如圖：若E，F(xiàn)，D三點共線，則 (sinACF/sinFCB)(sinBAD/sinDAC)(sinCBA/sinABE)=1 即圖中

14、的藍角正弦值之積等于紅角正弦值之積 該形式的梅涅勞斯定理也很實用 第二角元形式的梅涅勞斯定理 在平面上任取一點O，且EDF共線，則（sinAOF/sinFOB)(sinBOD/sinDOC)(sinCOA/sinAOE)=1。(O不與點A、B、C重合) 記憶ABC為三個頂點，DEF為三個分點 (AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1 （頂?shù)椒?分到頂）*（頂?shù)椒?分到頂）*（頂?shù)椒?分到頂）=1 空間感好的人可以這么記：（上1/下1）*（整/右）*（下2/上2）=1 實際應用為了說明問題，并給大家一個深刻印象，我們假定圖中的A、B、C、D、E、F是六個旅游景點，各景點之間有公路相連。我們

15、乘直升機飛到這些景點的上空，然后選擇其中的任意一個景點降落。我們換乘汽車沿公路去每一個景點游玩，最后回到出發(fā)點，直升機就停在那里等待我們回去。 我們不必考慮怎樣走路程最短，只要求必須“游歷”了所有的景點。只“路過”而不停留觀賞的景點，不能算是“游歷”。 例如直升機降落在A點，我們從A點出發(fā)，“游歷”了其它五個字母所代表的景點后，最終還要回到出發(fā)點A。 另外還有一個要求，就是同一直線上的三個景點，必須連續(xù)游過之后，才能變更到其它直線上的景點。 從A點出發(fā)的旅游方案共有四種，下面逐一說明： 方案 從A經(jīng)過B（不停留）到F（停留），再返回B（停留），再到D（停留），之后經(jīng)過B（不停留）到C（停留），

16、再到E（停留），最后從E經(jīng)過C（不停留）回到出發(fā)點A。 按照這個方案，可以寫出關系式： （AF：FB）*（BD：DC）*（CE：EA）=1。 現(xiàn)在，您知道應該怎樣寫“梅涅勞斯定理”的公式了吧。 從A點出發(fā)的旅游方案還有： 方案 可以簡記為：ABFDECA，由此可寫出以下公式： （AB：BF）*（FD：DE）*（EC：CA）=1。從A出發(fā)還可以向“C”方向走，于是有： 方案 ACEDFBA，由此可寫出公式： （AC：CE）*（ED：DF）*（FB：BA）=1。 從A出發(fā)還有最后一個方案： 方案 AECDBFA，由此寫出公式： （AE：EC）*（CD：DB）*（BF：FA）=1。 我們的直升機還可

17、以選擇在B、C、D、E、F任一點降落，因此就有了圖中的另外一些公式。 值得注意的是，有些公式中包含了四項因式，而不是“梅涅勞斯定理”中的三項。當直升機降落在B點時，就會有四項因式。而在C點和F點，既會有三項的公式，也會有四項的公式。公式為四項時，有的景點會游覽了兩次。 不知道梅涅勞斯當年是否也是這樣想的，只是列出了一兩個典型的公式給我們看看。 還可以從逆時針來看，從第一個頂點到逆時針的第一個交點比上到下一個頂點的距離，以此類推，可得到三個比例，它們的乘積為1. 現(xiàn)在是否可以說，我們對梅涅勞斯定理有了更深刻的了解呢。那些復雜的相除相乘的關系式，不會再寫錯或是記不住吧。西姆松定理 西姆松定理圖示西

18、姆松定理是一個幾何定理。表述為：過三角形外接圓上異于三角形頂點的任意一點作三邊的垂線，則三垂足共線。（此線常稱為西姆松線）。西姆松定理的逆定理為：若一點在三角形三邊所在直線上的射影共線，則該點在此三角形的外接圓上。 西姆松定理說明相關的結果有： （1）稱三角形的垂心為H。西姆松線和PH的交點為線段PH的中點，且這點在九點圓上。 （2）兩點的西姆松線的交角等于該兩點的圓周角。 （3）若兩個三角形的外接圓相同，這外接圓上的一點P對應兩者的西姆松線的交角，跟P的位置無關。 （4）從一點向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點落在三角形的外接圓上。 證明證明一： ABC外接圓上有點P，且PEA

19、C于E，PFAB于F，PDBC于D，分別連DE、DF. 易證P、B、F、D及P、D、C、E和A、B、P、C分別共圓，于是FDP=ACP ，（都是ABP的補角） 且PDE=PCE 而ACP+PCE=180 FDP+PDE=180 即F、D、E共線. 反之，當F、D、E共線時，由可見A、B、P、C共圓. 證明二： 如圖，若L、M、N三點共線，連結BP，CP，則因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和 M、P、L、C分別四點共圓，有 PBN = PLN = PLM = PCM. 故A、B、P、C四點共圓。 若A、B、P、C四點共圓，則PBN = PCM。因PL垂直于BC，

20、PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和M、P、L、C四點共圓，有 PBN =PLN =PCM=PLM. 故L、M、N三點共線。 相關性質的證明連AH延長線交圓于G, 連PG交西姆松線與R,BC于Q 如圖連其他相關線段 AHBC,PFBC=AG/PF=1=2 A.G.C.P共圓=2=3 PEAC,PFBC=P.E.F.C共圓=3=4 =1=4 PFBC =PR=RQ BHAC,AHBC=5=6 A.B.G.C共圓=6=7 =5=7 AGBC=BC垂直平分GH =8=2=4 8+9=90,10+4=90=9=10 =HQ/DF =PM=MH 第二個問，平分點在九點圓上，如圖：設O,G,

21、H 分別為三角形ABC的外心，重心和垂心。 則O是,確定九點圓的中點三角形XYZ的垂心，而G還是它的重心。 那么三角形XYZ的外心 O1， 也在同一直線上，并且 HG/GO=GO/GO1=2，所以O1是OH的中點。 三角形ABC和三角形XYZ位似，那么它們的外接圓也位似。兩個圓的圓心都在OH上，并且兩圓半徑比為1:2 所以G是三角形ABC外接圓和三角形XYZ外接圓(九點圓)的反位似中心(相似點在位似中心的兩邊),H 是正位似中心(相似點在位似中心的同一邊). 所以H到三角形ABC的外接圓上的連線中點必在三角形DEF的外接圓上. 圓冪定理 圓冪定理圓冪定理是對相交弦定理、切割線定理及割線定理（切

22、割線定理推論）以及它們推論統(tǒng)一歸納的結果。 1. 問題1 2. 問題2 3. 問題3 4. 問題4 定義圓冪=PO2-R2| 所以圓內的點的冪為負數(shù)，圓外的點的冪為正數(shù)，圓上的點的冪為零。 相交弦定理：圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。 切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。 割線定理：從圓外一點P引兩條割線與圓分別交于A、B；C、D，則有 PAPB=PCPD。 統(tǒng)一歸納：過任意不在圓上的一點P引兩條直線L1、L2，L1與圓交于A、B（可重合，即切線），L2與圓交于C、D（可重合），則有PAPB=PCPD。 進一步升華（推論）

23、過任意在圓O外的一點P引一條直線L1與一條過圓心的直線L2，L1與圓交于A、B（可重合，即切線），L2與圓交于C、D。則PAPB=PCPD。若圓半徑為r，則PCPD=(PO-r)(PO+r)=PO2-r2=|PO2-r2| （要加絕對值，原因見下）為定值。這個值稱為點P到圓O的冪。（事實上所有的過P點與圓相交的直線都滿足這個值） 若點P在圓內，類似可得定值為r2-PO2=|PO2-r2| 故平面上任意一點對于圓的冪為這個點到圓心的距離與圓的半徑的平方差，而過這一點引任意直線交圓于A、B，那么PAPB等于圓冪的絕對值。（這就是“圓冪”的由來） 證明圓冪定理（相交弦定理、切割線定理及其推論(割線定

24、理)統(tǒng)一歸納為圓冪定理） 問題1相交弦定理：圓內的兩條相交弦,被交點分成的兩條線段長的乘積相等。 證明：連結AC，BD，由圓周角定理的推論，得A=D，C=B。 PACPDB，PA:PD=PC:PB，PAPB=PCPD 問題2割線定理：從圓外一點P引兩條割線與圓分別交于A.B.C.D 則有 PAPB=PCPD，當PA=PB，即直線AB重合，即PA切線時得到切線定理PA2=PCPD 證明：（令A在P、B之間，C在P、D之間）因為ABCD為圓內接四邊形，所以角CAB+角CDB=180度，又角CAB+角PAC=180度，所以角PAC=角CDB，又角APC公共，所以三角形APC與三角形DPB相似，所以P

25、A/PD=PC/PB,所以PA*PB=PC*PD 切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項 幾何語言：PT切O于點T，PBA是O的割線 PT2=PAPB（切割線定理） 推論 從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等 幾何語言：PBA、PDC是O的割線 PDPC=PAPB（切割線定理推論） 問題3過點P任作直線交定圓于兩點A、B，證明PAPB為定值（圓冪定理）。 證：以P為原點，設圓的方程為 (x-xO)2+(y-yO)2=a 過P的直線為 x=k1t y=k2t 則A、B的橫坐標是方程 (k1t-xO)2+(k2t

26、-yO)2=r2 即 (k12+k22)t2-2(k1xO+k2yO)t+xO2+yO2-r2=0 的兩個根t1、t2。由韋達定理 t1t2=(xO2+yO2-2)/(k12+k22) 于是 PAPB=(k1t1)2+(k2t1)2)(k1t2)2+(k2t2)2) =(k12+k22)2|t1|t2| =k12+k22|(xO2+yO2-r2)/(k12+k22)| =|(xO2+yO2-r2)| 為定值，證畢。 圓也可以寫成 x2+y2-2xOx-2yOy+xO2+yO2-a=0 其中a為圓的半徑的平方。所說的定值也就是（原點）與圓心O的距離的平方減去半徑的平方。當P在圓外時，這就是自P向

27、圓所引切線（長）的平方。 這定值稱為點P到這圓的冪。 在上面證明的過程中，我們以P為原點，這樣可以使問題簡化。 如果給定點O，未必是原點，要求出P關于圓的冪（即OP2-r2），我們可以設直線AB的方程為 是 的傾斜角， 表示直線上的點與 的距離 將代入得 即 ， 是它的兩個根，所以由韋達定理 是定值 是 關于的冪（當 是原點時，這個值就是 ）它也可以寫成 即 與圓心 距離的平方減去半徑的平方 當P在圓內時，冪值是負值；P在圓上時，冪為0；P在圓外時，冪為正值，這時冪就是自P向圓所引切線長的平方。 以上是圓冪定理的證明，下面看一看它的應用 問題4自圓外一點 向圓引割線交圓于 、 兩點，又作切線

28、、 ， 、 為切點， 與 相交于 ，如圖求證 、 、 成調和數(shù)列，即 證：設圓的方程為 點 的坐標為 ， 的參數(shù)方程為 其中 是 的傾斜角， 表示直線上的點 與 的距離 代入得 即 、 是它的兩個根，由韋達定理 另一方面，直線 是圓的切點弦，利用前邊的結論， 的方程為 代入得 因此，這個方程的根 滿足 綜合，結論成立。 可以證明，當 在圓內時，上述推導及結論仍然成立。 說明：問題4的解決借用了問題3的方法，同時我們也看到了問題4與問題1、問題2的內在聯(lián)系。圓冪定理 圓冪定理圓冪定理是對相交弦定理、切割線定理及割線定理（切割線定理推論）以及它們推論統(tǒng)一歸納的結果。 1. 問題1 2. 問題2 3

29、. 問題3 4. 問題4 定義圓冪=PO2-R2| 所以圓內的點的冪為負數(shù)，圓外的點的冪為正數(shù)，圓上的點的冪為零。 相交弦定理：圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。 切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。 割線定理：從圓外一點P引兩條割線與圓分別交于A、B；C、D，則有 PAPB=PCPD。 統(tǒng)一歸納：過任意不在圓上的一點P引兩條直線L1、L2，L1與圓交于A、B（可重合，即切線），L2與圓交于C、D（可重合），則有PAPB=PCPD。 進一步升華（推論）過任意在圓O外的一點P引一條直線L1與一條過圓心的直線L2，L1與圓交于A

30、、B（可重合，即切線），L2與圓交于C、D。則PAPB=PCPD。若圓半徑為r，則PCPD=(PO-r)(PO+r)=PO2-r2=|PO2-r2| （要加絕對值，原因見下）為定值。這個值稱為點P到圓O的冪。（事實上所有的過P點與圓相交的直線都滿足這個值） 若點P在圓內，類似可得定值為r2-PO2=|PO2-r2| 故平面上任意一點對于圓的冪為這個點到圓心的距離與圓的半徑的平方差，而過這一點引任意直線交圓于A、B，那么PAPB等于圓冪的絕對值。（這就是“圓冪”的由來） 證明圓冪定理（相交弦定理、切割線定理及其推論(割線定理)統(tǒng)一歸納為圓冪定理） 問題1相交弦定理：圓內的兩條相交弦,被交點分成的

31、兩條線段長的乘積相等。 證明：連結AC，BD，由圓周角定理的推論，得A=D，C=B。 PACPDB，PA:PD=PC:PB，PAPB=PCPD 問題2割線定理：從圓外一點P引兩條割線與圓分別交于A.B.C.D 則有 PAPB=PCPD，當PA=PB，即直線AB重合，即PA切線時得到切線定理PA2=PCPD 證明：（令A在P、B之間，C在P、D之間）因為ABCD為圓內接四邊形，所以角CAB+角CDB=180度，又角CAB+角PAC=180度，所以角PAC=角CDB，又角APC公共，所以三角形APC與三角形DPB相似，所以PA/PD=PC/PB,所以PA*PB=PC*PD 切割線定理：從圓外一點引

32、圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項 幾何語言：PT切O于點T，PBA是O的割線 PT2=PAPB（切割線定理） 推論 從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等 幾何語言：PBA、PDC是O的割線 PDPC=PAPB（切割線定理推論） 問題3過點P任作直線交定圓于兩點A、B，證明PAPB為定值（圓冪定理）。 證：以P為原點，設圓的方程為 (x-xO)2+(y-yO)2=a 過P的直線為 x=k1t y=k2t 則A、B的橫坐標是方程 (k1t-xO)2+(k2t-yO)2=r2 即 (k12+k22)t2-2(k1xO+k2yO)t+

33、xO2+yO2-r2=0 的兩個根t1、t2。由韋達定理 t1t2=(xO2+yO2-2)/(k12+k22) 于是 PAPB=(k1t1)2+(k2t1)2)(k1t2)2+(k2t2)2) =(k12+k22)2|t1|t2| =k12+k22|(xO2+yO2-r2)/(k12+k22)| =|(xO2+yO2-r2)| 為定值，證畢。 圓也可以寫成 x2+y2-2xOx-2yOy+xO2+yO2-a=0 其中a為圓的半徑的平方。所說的定值也就是（原點）與圓心O的距離的平方減去半徑的平方。當P在圓外時，這就是自P向圓所引切線（長）的平方。 這定值稱為點P到這圓的冪。 在上面證明的過程中，

34、我們以P為原點，這樣可以使問題簡化。 如果給定點O，未必是原點，要求出P關于圓的冪（即OP2-r2），我們可以設直線AB的方程為 是 的傾斜角， 表示直線上的點與 的距離 將代入得 即 ， 是它的兩個根，所以由韋達定理 是定值 是 關于的冪（當 是原點時，這個值就是 ）它也可以寫成 即 與圓心 距離的平方減去半徑的平方 當P在圓內時，冪值是負值；P在圓上時，冪為0；P在圓外時，冪為正值，這時冪就是自P向圓所引切線長的平方。 以上是圓冪定理的證明，下面看一看它的應用 問題4自圓外一點 向圓引割線交圓于 、 兩點，又作切線 、 ， 、 為切點， 與 相交于 ，如圖求證 、 、 成調和數(shù)列，即 證：

35、設圓的方程為 點 的坐標為 ， 的參數(shù)方程為 其中 是 的傾斜角， 表示直線上的點 與 的距離 代入得 即 、 是它的兩個根，由韋達定理 另一方面，直線 是圓的切點弦，利用前邊的結論， 的方程為 代入得 因此，這個方程的根 滿足 綜合，結論成立。 可以證明，當 在圓內時，上述推導及結論仍然成立。 說明：問題4的解決借用了問題3的方法，同時我們也看到了問題4與問題1、問題2的內在聯(lián)系。四點共圓 四點共圓-圖釋如果同一平面內的四個點在同一個圓上，則稱這四個點共圓，一般簡稱為“四點共圓”。四點共圓有三個性質： （1）同弧所對的圓周角相等 （2）圓內接四邊形的對角互補 （3）圓內接四邊形的外角等于內對角 以上性質可以根據(jù)圓周角等于它所對弧的度數(shù)的一半進行證明。 四點共圓證明四點共圓的基本方法證明四點共圓有下述一些基本方法： 方法1從被證共圓的四點中先選出三點作一圓，然后證另一點也在這個圓上，若能證明這一點，即可肯定這四點共圓 方法2把被證共圓的四個點連成共底邊的兩個三角形，且兩三角形都在這底邊的同側，若能證明其頂角相等，從而即可肯定這四點共圓 （若能證明其兩頂角為直角，即可肯定這四個點共圓，且斜邊上兩點連線為該圓直徑。） 方法3把被證共圓的四點連成四邊形，若能證明其對角互補或能證明其一個外角等于其鄰補角