版高考數(shù)學一輪復習第四章平面向量數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入第講平面向量基本定理及坐標運算學案

1、第25講平面向量基本定理及坐標運算考綱要求考情分析命題趨勢1了解平面向量的基本定理及其意義2掌握平面向量的正交分解及其坐標表示3會用坐標表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算4理解用坐標表示的平面向量共線的條件2017全國卷，122017全國卷，122017江蘇卷，122016四川卷，10對平面向量基本定理及坐標表示的考查主要是加、減、數(shù)乘及向量共線定理的坐標表示及應用分值：5分1兩個向量的夾角(1)定義已知兩個_非零_向量a和b，作a，b，則AOB叫做向量a與b的夾角(2)范圍向量夾角的范圍是！0，#，a與b同向時，夾角！0#；a與b反向時，夾角！180#.(3)向量垂直若向量a與b的夾角是！9

2、0#，則a與b垂直，記作！ab#.2平面向量基本定理及坐標表示(1)平面向量基本定理定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個_不共線_向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，_有且只有_一對實數(shù)1，2，使a！1e12e2#.其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組_基底_.(2)平面向量的正交分解把一個向量分解為兩個_互相垂直_的向量，叫做把向量正交分解(3)平面向量的坐標表示在平面直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i，j作為基底，對于平面內(nèi)的一個向量a，有且只有一對實數(shù)x，y，使得axiyj，把有序數(shù)對_(x，y)_叫做向量a的坐標，記作a_(x，y)_，

3、其中_x_叫做a在x軸上的坐標，_y_叫做a在y軸上的坐標設xiyj，則向量的坐標(x，y)就是_終點A的坐標_，即若(x，y)，則A點坐標為_(x，y)_，反之亦成立(O為坐標原點)3平面向量的坐標運算向量的加法、減法設a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab_(x1x2，y1y2)_，ab_(x1x2，y1y2)_向量的數(shù)乘設a(x，y)，R，則a_(x，y)_向量坐標的求法設O(0,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則_(x1，y1)_，_(x2x1，y2y1)_4向量共線的坐標表示若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab_x1y2x2y1_0，特別地，若x2，y20，則a

4、b.5三點共線定理若，是平面內(nèi)不共線的向量，則存在實數(shù)1，2使12，則當121時，A，B，C三點共線，特別地，當12時，C是A與B的中點解析(1)正確由向量的坐標表示可知向量不論怎樣平移 ，其坐標 均為終點坐標減去起點坐標，故平移后坐標不變(2)正確由基底的定義可知，只要兩向量不共線均可作為一組基底(3)錯誤兩向量的夾角，關(guān)鍵要看起點與方向，與的夾角應為ABC的補角(4)正確由平面向量基本定理可知存在唯一實數(shù)對，使ae1e2故其表現(xiàn)形式唯一1思維辨析(在括號內(nèi)打“”或“”)(1)平面向量不論經(jīng)過怎樣的平移變換之后其坐標不變()(2)平面內(nèi)任何兩個不共線的向量均可作為一組基底()(3)向量與的夾

5、角為ABC.()(4)在同一組基底下同一向量的表現(xiàn)形式是唯一的()2若向量(1,2)，(3,4)，則(A)A(4,6)B(4，6)C(2，2)D(2,2)解析，(1,2)(3,4)(4,6)3已知向量a(2,1)，b(x，2)，若ab，則ab(A)A(2，1)B(2,1)C(3，1)D(3,1)解析由ab可得2(2)1x0，故x4，所以ab(2，1)4已知兩點A(4,1)，B(7，3)，則與同向的單位向量是(A)ABCD解析A(4,1)，B(7，3)，(3，4)，與同向的單位向量為.5梯形ABCD中，ABCD, AB2CD，M，N分別是CD，AB的中點，設a，b.若manb，則_4_.解析ab

6、aab，m，n1，4.一平面向量基本定理的應用(1)應用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算(2)用平面向量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決【例1】 (1)在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點若，其中，R，則！#.第(1)題圖第(2)題圖(2)如圖所示，在ABC中，點O是BC的中點，過點O的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點M，N，若m，n，則mn的最大值為_1_.解析(1)選擇，作為平面向量的一組基底，則，又，于是得即故.(2)點O是BC的中點，

7、()又m，n，.又M，O，N三點共線，1，即mn2，mn21，當且僅當mn1時取等號，故mn的最大值為1二平面向量共線的坐標表示(1)利用兩向量共線求參數(shù)如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時，則利用“若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件是x1y2x2y1”解題比較方便(2)利用兩向量共線的條件求向量坐標一般地，在求與一 個已知向量a共線的向量時，可設所求向量為a(R)，然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于的方程，求出的值后代入a即可得到所求的向量【例2】 (1)已知點A(0,1)，B(3,2)，向量(4，3)，則向量(A)A(7，4)B(7,4)C(1,4)D(1,4)(2)若向量a(

8、1,1)，b(1，1)，c(1,2)，則c(B)AabBabCabDab解析(1)設C(x，y)，則(x，y1)(4，3)，所以從而(4，2)(3,2)(7，4)(2)設c1a2b，則(1,2)1(1,1)2(1，1)(12，12)，解得所以cab.三平面向量的坐標運算向量的坐標運算主要是利用加、減、數(shù)乘運算法則進行，若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求向量的坐標解題過程中要注意方程思想的運用及正確使用運算法則【例3】 (1)如圖，已知平面內(nèi)有三個向量，其中與的夾角為120，與的夾角為30，且|1，|2.若(，R)，則的值為_6_.第(1)題圖第(2)題圖(2)給定兩個長度為1的平面向量和，它

9、們的夾角為.如圖所示，點C在以O為圓心的圓弧上運動若xy，其中x，yR，則xy的最大值為_2_.解析(1)如圖，作平行四邊形OB1CA1，則，因為與的夾角為120，與的夾角為30，所以B1OC90.在RtOCB1中，OCB130，|OC|2，所以|OB1|2，|B1C|4，而|OA1|B1C|4，所以42，則4，2，即6.(2)以O為坐標原點，所在的直線為x軸建立平面直角坐標系，如圖所示，則A(1,0)，B，設AOC，則C(cos ，sin )，由xy，得所以xcos sin ，ysin ，所以xycos sin 2sin，又，所以當時，xy取得最大值2.1已知向量a(3，2)，b(x，y1)

10、且ab，若x，y均為正數(shù)，則的最小值是(B)A24B8CD解析ab，2x3(y1)0，即2x3y3，(2x3y)8，當且僅當2x3y時，等號成立的最小值是8，故選B2如圖，在直角梯形ABCD中，AB2AD2DC，E為BC邊上一點，3，F(xiàn)為AE的中點，則(C)ABCD解析().3(2018北京海淀模擬)已知向量a(1,1)，點A(3,0)，點B為直線y2x上的一個動點若a，則點B的坐標為(3，6)解析設B(x,2x)，則(x3,2x)a，x32x0，解得x3，B(3，6)4(2017江蘇卷)如圖，在同一個平面內(nèi)，向量，的模分別為1,1，與的夾角為，且tan 7，與的夾角為45.若mn(m，nR)

11、，則mn_3_.解析以O為坐標原點，OA所在直線為x軸建立平面直角坐標系，則A(1,0)，由tan 7，得sin ，cos ，設C(xC，yC)B(xB，yB)，則xC|cos ，yC|sin ，即C.又cos(45)，sin(45)，則xB|cos(45)，yB|sin(45)，即B，由mn，可得解得所以mn3.易錯點不會正確選用基向量錯因分析：基向量通常取整個圖形中從同一點出發(fā)的兩邊所對應的向量【例1】 在ABO中，AD與BC相交于M，設a，b，試用a與b表示.解析如圖，A，M，D三點共線(1)；B，M，C三點共線(1).于是有解得所以ab.【跟蹤訓練1】 (2017全國卷)已知ABC是邊

12、長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點，則()的最小值是(B)A2BCD1解析如圖，以等邊三角形ABC的底邊BC所在直線為x軸，以BC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系，則A(0，)，B(1,0)，C(1,0)，設P(x，y)，則(x，y)，(1x，y)，(1x，y)，所以()(x，y)(2x，2y)2x222，當x0，y時，()取得最小值為，故選B課時達標第25講解密考綱本考點重點考查向量的概念、線性運算、平面向量的基本定理及坐標表示，多以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，難度中等偏下一、選擇題1若向量(2,4)，(1,3)，則(B)A(1,1)B(1，1)C(3,7)D(3，7)解析因為(2,

13、4)，(1,3)，所以(1,3)(2,4)(1，1)，故選B2已知向量m(a，2)，n(1,1a)，且mn，則實數(shù)a(B)A1B2或1C2D2解析因為mn，所以a(1a)2，即a2a20，解得a1或a2，故選B3在平面直角坐標系xOy中，已知點O(0,0)，A(0,1)，B(1，2)，C(m,0)若，則實數(shù)m(C)A2BCD2解析在平面直角坐標系xOy中，點O(0,0)，A(0,1)，B(1，2)，C(m,0)，所以(1，2)，(m，1)又因為，所以，m，故選C4已知點O是ABC的外接圓圓心，且AB3，AC4.若存在非零實數(shù)x，y，使得xy，且x2y1，則cosBAC(A)ABCD解析設M為A

14、C的中點，則xyx2y.因為x2y1，所以O，B，M三點共線又因為O是ABC的外接圓圓心，所以BMAC，從而cosBAC，故選A5如圖，在OAB中，P為線段AB上的一點，xy，且2P，則(A)Ax，yBx，yCx，yDx，y解析由題意知B，又2P，所以O()O，所以x，y.6如圖所示，在ABC中，點M，N分別在AB，AC上，且2，線段CM與BN相交于點P，且a，b，則用a和b表示為(A)AabBabCabDab解析由于a，b，b，則ba，ba.設，由，得a，得解得因此aab.二、填空題7已知向量a(3,1)，b(1,3)，c(k,7)，若(ac)b，則k_5_.解析a(3,1)，b(1,3)，

15、c(k,7)，ac(3k，6)(ac)b，1(6)3(3k)，解得k5.8已知向量(3,4)，(6，3)，(5m，3m)，若點A，B，C能構(gòu)成三角形，則實數(shù)m應滿足的條件是！m#.解析因為(3，7)，(2m，7m)，點A，B，C能構(gòu)成三角形，所以點A，B，C不共線，即與不共線，所以3(7m)(7)(2m)0，解得m，故實數(shù)m應滿足m.9在ABC中，過中線AD的中點E任作一條直線分別交AB，AC于M，N兩點若x，y，則4xy的最小值為！#.解析由題意知()，.M，E，N三點共線，(1)(其中01，則4xyt(t1)，當且僅當t，即時取得等號三、解答題10已知a(1,0)，b(2,1)求：(1)|a3b|；(2)當k為何實數(shù)時，kab與a3b平行，平行時它們是同向還是反向？解析(1)a(1,0)，b(2,1)，a3b(7,3)，故|a3b|.(2)kab(k2，1)，a3b(7,3)，kab與a3b平行，3(k2)70，即k.此時kab(k2，1)，a3b(7,3)，則a3b3(kab)，即此時向量a3b與kab方向相反11已知平面上三個點的坐標分別為A(2,1)，B(1,3)，C(3,4)，求點D的坐標，使得A，B，C，D四點構(gòu)成平行四邊形解析設D(x，y)，由ABCD為平行四邊形得，即(1,2)(3x，4y)