推理與證明章末復(fù)習(xí)課件.ppt

1、本 章 歸 納 整 合,知識(shí)網(wǎng)絡(luò),要點(diǎn)歸納 1歸納和類(lèi)比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整體的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推測(cè)未知，都能用于猜想，推理的結(jié)論不一定為真，有待進(jìn)一步證明 2演繹推理與合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是數(shù)學(xué)中證明的基本推理形式也是公理化體系所采用的推理形式，另一方面，合情推理與演繹推理又是相輔相成的，前者是后者的前提，后者論證前者的可靠性,3直接證明和間接證明是數(shù)學(xué)證明的兩類(lèi)基本證明方法直接證明的兩類(lèi)基本方法是綜合法和分析法：綜合法是從已知條件推導(dǎo)出結(jié)論的證明方法；分析法是由結(jié)論追溯到條件的證明方法，在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，常把它們結(jié)合起來(lái)

2、使用，間接證法的一種方法是反證法，反證法是從結(jié)論反面成立出發(fā)，推出矛盾的證明方法 4數(shù)學(xué)歸納法主要用于解決與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題證明時(shí)，它的兩個(gè)步驟缺一不可它的第一步(歸納奠基)nn0時(shí)結(jié)論成立第二步(歸納遞推)假設(shè)nk時(shí)，結(jié)論成立，推得nk1時(shí)結(jié)論也成立數(shù)學(xué)歸納法原理建立在歸納公理的基礎(chǔ)上，它可用有限的步驟(兩步)證明出無(wú)限的命題成立,5歸納、猜想、證明 探索性命題是近幾年高考試題中經(jīng)常出現(xiàn)的一種題型，此類(lèi)問(wèn)題未給出問(wèn)題結(jié)論，需要由特殊情況入手，猜想、證明一般結(jié)論的問(wèn)題稱(chēng)為探求規(guī)律性問(wèn)題，它的解題思想是：從給出的條件出發(fā)，通過(guò)觀(guān)察、試驗(yàn)、歸納、猜想，探索出結(jié)論，然后再對(duì)歸納、猜想的結(jié)論進(jìn)行證

3、明,專(zhuān)題一歸納推理和類(lèi)比推理 歸納推理和類(lèi)比推理是常用的合情推理，兩種推理的結(jié)論“合情”但不一定“合理”，其正確性都有待嚴(yán)格證明盡管如此，合情推理在探索新知識(shí)方面有著極其重要的作用 運(yùn)用合情推理時(shí)，要認(rèn)識(shí)到觀(guān)察、歸納、類(lèi)比、猜想、證明是相互聯(lián)系的在解決問(wèn)題時(shí)，可以先從觀(guān)察入手，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的特點(diǎn)，形成解決問(wèn)題的初步思路，然后用歸納、類(lèi)比的方法進(jìn)行探索、猜想，最后用邏輯推理方法進(jìn)行驗(yàn)證,【例1】 如圖所示，由正整數(shù)排成的三角形數(shù)表，第n行首尾兩數(shù)均為n，記第n(n1)行第2個(gè)數(shù)為f(n)，根據(jù)數(shù)表中上下兩行的數(shù)據(jù)關(guān)系可以得到遞推關(guān)系_，并通過(guò)有關(guān)求解可以得到通項(xiàng)f(n)_.,【例2】 自然數(shù)按下表的

4、規(guī)律排列 則上起第2 007行，左起第2 008列的數(shù)為 () A2 0072 B2 0082 C2 0062 007 D2 0072 008,解析經(jīng)觀(guān)察可得這個(gè)自然數(shù)表的排列特點(diǎn)： 第一列的每個(gè)數(shù)都是完全平方數(shù)，并且恰好等于它所在行數(shù)的平方，即第n行的第1個(gè)數(shù)為n2； 第一行第n個(gè)數(shù)為(n1)21； 第n行從第1個(gè)數(shù)至第n個(gè)數(shù)依次遞減1； 第n列從第1個(gè)數(shù)至第n個(gè)數(shù)依次遞增1. 故上起第2 007行，左起第2 008列的數(shù)，應(yīng)是第2 008列的第2 007個(gè)數(shù)，即為(2 0081)212 0062 0072 008. 答案D,專(zhuān)題二直接證明 由近三年的高考題可以看出，直接證明的考查中，各種題

5、型均有體現(xiàn)，尤其是解答題，幾年來(lái)一直是考查證明方法的熱點(diǎn)與重點(diǎn) 綜合法和分析法是直接證明中最基本的兩種證明方法，也是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題常用的思維方式如果從解題的切入點(diǎn)的角度細(xì)分，直接證明方法可具體分為：比較法、代換法、放縮法、判別式法、構(gòu)造函數(shù)法等，應(yīng)用綜合法證明問(wèn)題時(shí)，必須首先想到從哪里開(kāi)始起步，分析法就可以幫助我們克服這種困難，在實(shí)際證明問(wèn)題時(shí)，應(yīng)當(dāng)把分析法和綜合法結(jié)合起來(lái)使用,【例5】 如圖，在四面體BACD中，CBCD，ADBD，且E，F(xiàn)分別是AB，BD的中點(diǎn)，求證： (1)直線(xiàn)EF平面ACD； (2)平面EFC平面BCD.,證明(1)要證直線(xiàn)EF平面ACD， 只需證EFAD且EF平面ACD

6、. 因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AB，BD的中點(diǎn)， 所以EF是ABD的中位線(xiàn)， 所以EFAD， 所以直線(xiàn)EF平面ACD.,專(zhuān)題三反證法 如果一個(gè)命題的結(jié)論難以直接證明時(shí)，可以考慮反證法通過(guò)反設(shè)已知條件，經(jīng)過(guò)邏輯推理，得出矛盾，從而肯定原結(jié)論成立 反證法是高中數(shù)學(xué)的一種重要的證明方法，在不等式和立體幾何的證明中經(jīng)常用到，在高考題中也經(jīng)常體現(xiàn)，它所反映出的“正難則反”的解決問(wèn)題的思想方法更為重要反證法主要證明：否定性、唯一性命題；至多、至少型問(wèn)題；幾何問(wèn)題,【例6】 如圖所示，已知兩個(gè)正方形ABCD和DCEF不在同一平面內(nèi)，M，N分別為AB、DF的中點(diǎn) (1)若平面ABCD平面DCEF，求直線(xiàn)MN與平面DCE

7、F所成角的正弦值； (2)用反證法證明：直線(xiàn)ME與BN是兩條異面直線(xiàn),圖(1),圖(2),(2)證明假設(shè)直線(xiàn)ME與BN共面，則AB平面MBEN，且平面MBEN與平面DCEF交于EN， 兩正方形不共面， AB平面DCEF. 又ABCD，所以AB平面DCEF，而EN為平面MBEN與平面DCEF的交線(xiàn)，,ABEN. 又ABCDEF， ENEF， 這與ENEFE矛盾，故假設(shè)不成立 ME與BN不共面，即它們是異面直線(xiàn),專(zhuān)題四數(shù)學(xué)歸納法 1數(shù)學(xué)歸納法事實(shí)上是一種完全歸納的證明方法，它適用于與自然數(shù)有關(guān)的問(wèn)題兩個(gè)步驟、一個(gè)結(jié)論缺一不可，否則結(jié)論不成立；在證明遞推步驟時(shí)，必須使用歸納假設(shè)，必須進(jìn)行恒等變換 2

8、探索性命題是近幾年高考試題中經(jīng)常出現(xiàn)的一種題型，此類(lèi)問(wèn)題未給出問(wèn)題的結(jié)論，需要由特殊情況入手，猜想、證明一般結(jié)論，它的解題思路是：從給出條件出發(fā)，通過(guò)觀(guān)察、試驗(yàn)、歸納、猜想、探索出結(jié)論，然后再對(duì)歸納，猜想的結(jié)論進(jìn)行證明,命題趨勢(shì) 1從近年來(lái)的新課標(biāo)高考看，新課標(biāo)高考對(duì)本部分的考查直接涉及的多為小題，主要考查利用歸納推理、類(lèi)比推理去尋求更為一般的、新的結(jié)論，而其他主要是滲透到數(shù)學(xué)問(wèn)題的求解之中因此，對(duì)本部分知識(shí)的復(fù)習(xí)，要注意做好以下兩點(diǎn)：一要熟悉歸納推理、類(lèi)比推理、演繹推理的一般原理、步驟、格式，搞清合情推理與演繹推理的聯(lián)系與區(qū)別；二要把握歸納推理、類(lèi)比推理、演繹推理的基本應(yīng)用，在給定的條件下，

9、能夠運(yùn)用歸納推理、類(lèi)比推理獲得新的一般結(jié)論，能夠運(yùn)用演繹推理對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行嚴(yán)格的證明,2直接證明與間接證明是解決數(shù)學(xué)證明問(wèn)題的兩種重要的思想與方法，是數(shù)學(xué)證明題的核心，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容從近三年的新課標(biāo)高考看，高考對(duì)本部分考查的難度多為中檔題，也有高檔題，其相關(guān)知識(shí)常常涉及數(shù)學(xué)的各個(gè)方面，主要是不等式、數(shù)列、三角函數(shù)、向量、函數(shù)、解析幾何、立體幾何等 在備考中，對(duì)本部分的內(nèi)容，要抓住關(guān)鍵，即分析法、綜合法、反證法，要搞清三種方法的特點(diǎn)，把握三種方法在解決問(wèn)題中的一般步驟，熟悉三種方法適用于解決的問(wèn)題的類(lèi)型，同時(shí)也要加強(qiáng)訓(xùn)練，達(dá)到熟能生巧，有效運(yùn)用它們的目的,3數(shù)學(xué)歸納法是解決與正整數(shù)有關(guān)的

10、數(shù)學(xué)命題證明的一種方法，是高考常考的一個(gè)重要內(nèi)容 從近三年的新課標(biāo)高考看，對(duì)本部分的考查常常在解答題中進(jìn)行，且多為解答題中的某一個(gè)小問(wèn)，但考查問(wèn)題多涉及數(shù)列、不等式、整除問(wèn)題以及幾何問(wèn)題等，范圍廣因此，備考中，我們要做好以下幾點(diǎn)：其一，要抓住數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)命題的原理，明晰其內(nèi)在的聯(lián)系；其二，要把握數(shù)學(xué)歸納法證明命題的一般步驟，熟知每一步間的區(qū)別聯(lián)系；其三，要熟悉數(shù)學(xué)歸納法在證明命題中的應(yīng)用技巧，并在證明的過(guò)程中注意使用,高考真題 1(2011陜西高考)觀(guān)察下列等式 11 2349 3456725 4567891049 照此規(guī)律，第五個(gè)等式應(yīng)為_(kāi),解析由于112,234932,345672552,456789104972，所以第五個(gè)等式為56789101112139281. 答案567891011121381,2(2010陜西高考)觀(guān)察下列等式： 132332