培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模思想完善建模培訓(xùn)方法盧鵬.ppt

1、培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模思想，,完善建模培訓(xùn)方法,報告人：盧鵬,西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部, ,如何培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模思想？ 如何完善建模培訓(xùn)方法？ “教師” 與 “教練”, 他們激發(fā)客戶自身尋求解決辦法和對策的,能力 ；, 教練的職責(zé)是提供支持，以增強(qiáng)客戶已有,的技能，資源 和創(chuàng)造力 ；,國際教練聯(lián)盟定義教練：, 教練不是顧問，并不是某個領(lǐng)域的專家，,不提供解決問題的方案，而是支持你自己 去發(fā)現(xiàn)屬于自己的最適合的答案；, 教練不是老師，甚至不比你懂得更多，并,不灌輸概念和知識，但他能支持你發(fā)掘自 己的潛力和智慧；, 教練不是知識訓(xùn)練或者技巧訓(xùn)練，而是一,種拓展信念與視野的能力和習(xí)慣的培養(yǎng)；,采用形式多樣的教

2、學(xué)方式， 自始自終啟發(fā)數(shù)學(xué)建模思想,問題：樹上有10只鳥，獵人開槍,打死了1只，樹上還剩幾只？,答案：, 10-1=9, 樹上沒有鳥，開槍后鳥受驚都飛走了,這樣的回答是在什么條件下得到的？, 是無聲手槍，還是其它沒有聲音的槍？,槍聲有多大？ 能否使得鳥受驚？, 有沒有殘疾（比如鳥里有沒有聾子？）或,餓得飛不動的鳥？, 有沒有鳥智力有問題？呆傻到聽到槍響不,知道飛的？, 有沒有關(guān)在籠子里的？, 邊上還有沒有其它的樹？樹上還有沒有其,它鳥？, 它們受到嚇起飛時，會不會驚慌失措而互,相撞上受傷飛不走的？,可能的結(jié)論：在上面的情況都不存 在的情況下,打死的鳥要是掛在樹上 沒掉下來，那么就剩1只；如果掉

3、下 來，就1只不剩！,啟發(fā), 改變固有的思維習(xí)慣，養(yǎng)成愛思考、善于,思考的習(xí)慣；, 希望能理解哪怕對一個很小的問題的認(rèn),識，也是在其具有的條件下得到的結(jié)論。,完善數(shù)學(xué)建模的培訓(xùn)方式， 形成自己風(fēng)格的教學(xué)特色,如何讓學(xué)生更容易掌握各種數(shù)學(xué)建模方法？,運(yùn)用已知物理定律,面對一個實際問題，你首先應(yīng)想一想，你所 考慮的問題是否遵循什么規(guī)律或物理定律，建立 微分方程模型時應(yīng)用已知物理定律，可起到事半 功倍的作用 在建模案例的挑選上，盡量從問題背景簡單，容易入 手的題目開始，著重讓學(xué)生了解建模的一般過程，然 后再由淺入深。,一、微分方程建模,問題,一名律師為其當(dāng)事人辯護(hù)需要建立一個數(shù) 學(xué)模型他的當(dāng)事人被控

4、嫌疑謀殺，人們懷疑 他曾為了逃避追捕從一個很高的窗戶跳下 來辯護(hù)律師力圖申辯的是：人的腿是虛弱 的，如果他從那扇窗戶跳下來，就可能受傷,建立數(shù)學(xué)模型是為了估計他著地時的速 度，從而判斷他能否當(dāng)即站起來并逃走,首先弄清楚問題的實質(zhì)，也就是要解決什 么？,問題表述：問題可明確為“如果一個人從一個,特定的高度下落，他觸地時的速度是多少?”,研究一個物體下落問題！,這個問題還需要做進(jìn)一步的分析，我們首先 要針對人體下落的情況對一些問題做出判斷： 人體的下落是自由下落，還是需要考慮空 氣阻力?,身體的尺寸對下落有影響嗎?, 如果空氣阻力是重要的因素，在我們的模 型中如何評估它？,d x,dt,假設(shè)該運(yùn)動

5、是垂直下落，則是一個一維的 問題 應(yīng)用牛頓運(yùn)動定律(以豎直向下為正向)， 得到,（）,dv dx,mg R = m,= mv,2,2,這是我們建立的初步模型，還必須確定空,氣阻力R,在人們的運(yùn)動體驗中，無論是跑步、騎車、 甚至于走路都會普遍感覺到空氣阻力的影響， 直覺R不依賴于距離和時間，但卻依賴于速 度，你運(yùn)動得越快，受到的阻力越大所以我 們假定空氣阻力及正比于速度v ，即將空氣的 阻力表示為Rkv,mg kv = mv,也可以將R及與v的關(guān)系式假設(shè)成更復(fù)雜的形 式，比如,或更一般地，,如果取一般表達(dá)式，方程(）為：,（）,2 n,R = kv R = kv,dv dx,n,現(xiàn)在的問題是如何

6、確定n的值，確定依賴 于質(zhì)量m的參數(shù)k的值?這對于求模型的解至關(guān) 重要可以做多種嘗試，我們將利用從力學(xué)書 中得到的結(jié)論：,(1)對于小而堅實的物體，例如一塊小石 頭，空氣阻力直接和速度成正比，即有n=1；,(2)對于一些較為龐大的物體，如人體， 空氣阻力和速度的平方成正比，即n=2,對于律師所建立的人體下落模型，取n=2,較合理,g kv = v,g 0.00341v = v,接下來就是要確定模型中的參數(shù)k 查找力學(xué)書本可利用“極限速度”的概念 人體下降處于極限速度狀態(tài)時，加速度為零(引 力與空氣阻力平衡)，意味著微分方程,最終得到關(guān)于人體從窗戶墜落問題的數(shù)學(xué)模型 是一個一階微分方程,2,dv

7、 dx,= 0,dv dx,2,律師的辯護(hù)合情合理，但嫌疑人是否真的無 罪呢?,這里忽略了什么東西？,落地處的性質(zhì)：是硬地還是柔軟的泥地？問 題可以進(jìn)一步深入。, 引導(dǎo)學(xué)生不斷地思考，從而改變學(xué)生被動 學(xué)習(xí)知識的教學(xué)模式，養(yǎng)成自己去查閱大 量的書籍和資料來研究相關(guān)問題的能力。,實際問題中 的優(yōu)化模型,Min(或Max ) z = f ( x), x = ( x1 , , x n )T s.t. g i ( x) 0, i = 1,2, , m,gi(x)0約束條件,x決策變量 數(shù) 學(xué) 規(guī) 劃,f(x)目標(biāo)函數(shù) 線性規(guī)劃 非線性規(guī)劃 整數(shù)規(guī)劃,二、數(shù)學(xué)規(guī)劃模型：,線性規(guī)劃 一個經(jīng)濟(jì)、管理問題滿足

8、以下條件：, ,目標(biāo)函數(shù)能用數(shù)值指標(biāo)來反映，且為線 性函數(shù)： 存在多種方案； 目標(biāo)是在一定的約束條件下實現(xiàn)的，約 束條件可用線性等式或不等式來描述。,線性規(guī)劃模型一般形式,max(min)Z = c1 x1 + c2 x2 + + cn xn,三要素：決策變量、約束條件、目標(biāo)函數(shù),建立線性規(guī)劃模型的步驟, 建立問題的決策變量, 建立問題的約束條件, 確定問題的目標(biāo)函數(shù),現(xiàn)假定有一片森林，森林中的樹木每年都要 有一批被砍伐出售，為了使這片森林不被耗 盡而且每年都有所收獲，我們要求：每當(dāng)砍 伐一顆樹時，就在原地補(bǔ)種上一顆幼苗，從 而使得森林中樹木的總數(shù)保持不變，請你找 出一種方案，使得在維持每年都

9、有收獲的前 提下去砍伐樹木，使得被砍伐的樹木獲得最 大的經(jīng)濟(jì)價值。,例,1 建模分析,目標(biāo)函數(shù)：被砍伐樹木的經(jīng)濟(jì)價值。,決策變量：被砍伐的樹木的數(shù)量。,約束條件：持續(xù)收獲，總數(shù)不變。,2 模型假設(shè),按高度將樹木分為n類：,第一類，高度為,幼苗，其經(jīng)濟(jì)價值,第 k 類，高度為,每棵樹木的經(jīng)濟(jì)價值,第 n 類，高度為,每棵樹木的經(jīng)濟(jì)價值,假設(shè)1,記,為第 t 年開始時森林中各類樹木的數(shù)量。,每年砍伐一次，為了維持每年都有穩(wěn)定的收獲，只能砍伐部分樹木，留下的樹木和補(bǔ)種的幼苗，其高度狀態(tài)應(yīng)與初始狀態(tài)相同。,設(shè),分別是第1，2，n類樹木,在采伐時砍伐的棵數(shù)。,假設(shè)2,設(shè)森林中樹木的總數(shù)是 s ，即,根據(jù)

10、土地面積和每棵樹木所需空間預(yù)先確定的數(shù)。,假設(shè)3,假設(shè)4,每一棵幼苗從種植以后都能生長到收獲，且在一 年的生長期內(nèi)樹木最多只能生長一個高度級，即 第k類的樹木可能進(jìn)入k+1類，也可能留在k類。,設(shè),是經(jīng)一年的生長期后，從第k類的樹木中進(jìn)入k+1類的比例，則,是在一個生長期內(nèi)留在第k類中的樹木的比例。,3 建模,先看沒有砍伐時樹木生長規(guī)律,變形，矩陣形式,定義高度狀態(tài)向量和生長矩陣：,則沒有砍伐時樹木生長方程為,再考慮有砍伐和補(bǔ)種時的情形,根據(jù)問題的要求，要維持持續(xù)收獲，即 生長期末的狀態(tài)減去收獲采伐的量再加上補(bǔ) 種的幼苗數(shù)應(yīng)等于生長期開始的量,各式相加后，得,再記,則,所收獲樹木的價值,問題,

11、4 模型求解,在實際中，往往只砍伐一種類別的所有樹木。,利用這一假設(shè)，設(shè)被砍伐的樹木為第 k 類，則,根據(jù)所建模型，,根據(jù)所建模型，,得,結(jié)果表明：,森林從幼苗開始長到第 k 年為止開始收獲，此時樹木高度分布為初始分布。 從第 k 年開始后每年砍伐一次，均砍伐第k類高度的樹木。 因此，森林中沒有高于或等于 k 類高度的樹木。,問題：從幼苗開始長到哪一年收獲為最佳？,由,當(dāng)森林中各參數(shù)給定時，分別計算 f k 的值，再 比 較選出最大的即可。同時可計算出相應(yīng)的砍伐量。,5 算例,已知森林具有6 年的生長期，其參數(shù)如下。求 出最優(yōu)采伐策略。,解得,故全部收獲第3類樹木，可獲得最大收益為14.7s。

12、,6 進(jìn)一步思考,1 持續(xù)養(yǎng)魚問題,2 企業(yè)持續(xù)發(fā)展問題,3 經(jīng)濟(jì)（社會）持續(xù)發(fā)展問題,三、綜合評價方法分類：,常見的數(shù)學(xué)模型綜合評價方法一般有四種：,(1) 傳統(tǒng)的評判方法：總評分法 、加權(quán)評分法 。 (2)層次分析法。,(3)模糊綜合評判方法：單層次模糊綜合評判、 多層次模糊綜合評判。 (4)數(shù)據(jù)包絡(luò)分析法(DEA)。 (5)粗糙集方法。,四、預(yù)測方法分類：,(1)回歸分析預(yù)測：多元回歸、非線性回歸。 (2)時間序列預(yù)測：移動平均法、指數(shù)平滑法、 趨勢分析、AR模型、MA模型、ARMA模型、自回 歸求和滑動平均模型ARIMA、季節(jié)性乘積模型 ARIMAz、門限自回歸模型TAR。 (3)馬爾

13、可夫預(yù)測。,(4)灰色預(yù)測：GM（1，1）模型、GM（1，1）殘 差模型、灰色序列預(yù)測、拓?fù)漕A(yù)測，包絡(luò)模型。,(5)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測：BP網(wǎng)絡(luò)預(yù)測、Hopfield網(wǎng)絡(luò),預(yù)測、模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測。,(6)分形預(yù)測。 (7)遺傳預(yù)測。 (8)混沌預(yù)測。,(9)組合預(yù)測：非線性規(guī)劃模型、權(quán)重綜合、區(qū) 域綜合、最優(yōu)加權(quán)法、最優(yōu)加權(quán)模型、模型 綜合的正權(quán)組合方法、方差倒數(shù)加權(quán)法、正 權(quán)綜合方法的改進(jìn)遞歸下權(quán)綜合方法。,堅持以討論班的形式完成對數(shù)模題 目的分析, 同學(xué)們可挑選合適的建模論文研讀，了解 別人的工作，并將各自的認(rèn)識看法報告給 其他同學(xué)聽，互相討論，加強(qiáng)對問題的認(rèn) 識，在此基礎(chǔ)上提出自己的一些看法和改 進(jìn)措施，從而更好地解決問題。,認(rèn)真對待每一次的模擬練習(xí), 精心挑選適合不同階段模擬的題目，嚴(yán)格,按照競賽要求完成答卷。, 對每一次的模擬競賽論文提出意見，反復(fù),斟酌建立的模型，經(jīng)過十多次的反復(fù)修 改，到最后漂亮的、滿意的論文成果。,規(guī)范科技論文的寫作，,養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)