11(3)格林公式及其應(yīng)用.ppt

1、1,，其中積分區(qū)域,是由,和,所圍成.,習(xí)題10-6,1.2,解：積分區(qū)域,可用不等式表示為,2,(1.3),其中積分區(qū)域,解：在極坐標(biāo)下，積分區(qū)域,3,2.2 改變下列二重積分的順序,解：,4,2 計(jì)算, 其中,為上半圓周,與,軸圍成的區(qū)域的整個邊界.,解:,，其中,故,5,3 計(jì)算,其中,為折線,，這,依次為點(diǎn),和,解:,故得,所在直線方程為,從而直線段,的參數(shù)方程為,其中,，,故得,所在直線方程為,6,故直線段,的參數(shù)方程為,其中,故,7,4 計(jì)算,為圓周,，直線,及,軸在第一象限內(nèi)所圍成的扇形的整個邊界.,解:,由線段,，,圓弧,和線段,組成.,8,于是,9,5. 計(jì)算,，,為錐面螺線

2、,，,，,上相應(yīng)于,從,變到,的一段弧.,解: 因?yàn)?，,，,故,故,10,11,2.5一力場由沿橫軸正方向的恒力,所構(gòu)成，試求當(dāng)一,的質(zhì)點(diǎn)沿圓周,移過位于第一象限的那一段弧時,質(zhì)量為,場力所作的功.,.,按逆時針方向,解: 依題意，,，,12,第三節(jié) 格林公式及其應(yīng)用,格林(Green)公式,平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件,二元函數(shù)的全微分求積,第十章 曲線積分與曲面積分,13,1. 區(qū)域連通性的分類,設(shè)D為平面區(qū)域,復(fù)連通區(qū)域,單連通區(qū)域,一、格林公式,否則稱為,則稱D為平面,復(fù)連通區(qū)域.,成的部分都屬于D,如果D內(nèi)任一閉曲線所圍,單連通區(qū)域,14,格林定理(定理1),設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑

3、的,曲線L圍成,在D上具有,一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則有,2. 格林公式,公式(1)稱,其中L是 D的取正向的邊界曲線.,格林公式.,15,當(dāng)觀察者沿邊界行走時,(1) P、Q在閉區(qū)域D上一階偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性;,(2) 曲線L是封閉的,并且取正向.,注,規(guī)定,邊界曲線L的正向,區(qū)域D總在他的,左邊.,16,(1)先對簡單區(qū)域證明:,證明,若區(qū)域D既是,又是,即平行于坐標(biāo)軸的直線,和L至多交于兩點(diǎn).,17,同理可證,18,(2) 再對一般區(qū)域證明:,若區(qū)域D由按段光,(如圖),將D分成三個既是,又是,的區(qū)域,滑的閉曲線圍成.,19,20,(3) 對復(fù)連通區(qū)域證明:,由(2)知,若區(qū)域不止由一條閉曲線,添加

4、直線段,則D的邊界曲線由,及,構(gòu)成.,所圍成.,對復(fù)連通區(qū)域D,格林公式,且邊界的方向?qū)^(qū),的曲線積分,右端應(yīng)包括沿區(qū)域D的全部邊界,域D來說都是正向.,G,F,21,便于記憶形式:,格林公式的實(shí)質(zhì),之間的聯(lián)系.,溝通了沿閉曲線的積分與,二重積分,22,(1) 計(jì)算平面面積,3. 簡單應(yīng)用,格林公式,得,閉區(qū)域D的面積,23,例 求橢圓,解,由公式,得,D,所圍成的面積.,24,(2) 簡化曲線積分,例,其中L為圓周,解,由格林公式有,的正向.,25,設(shè) L 是一條分段光滑的正向閉曲線, 證明,證: 令,則,利用格林公式 , 得,例,26,解,由格林公式,練習(xí),27,對平面閉曲線上的對坐標(biāo)曲線

5、積分,比較簡單時,常常考慮通過格林,公式化為二重積分來計(jì)算.,28,例,計(jì)算,分析,但由,可知,非常簡單.,的上半圓周,到點(diǎn),此積分路徑,不是閉曲線!,29,為應(yīng)用格林公式再補(bǔ)充一段曲線,因在補(bǔ)充的曲線上還要算曲線積分,補(bǔ)充的曲線要簡單,使之構(gòu)成,閉曲線.,所以,因而這里補(bǔ)加直線段,直線段.,通常是補(bǔ)充與坐標(biāo)軸平行的,L不閉合+邊L,使L+ L閉合,再用格林公式.,由格林公式,解,的方程為,故,所以,30,其中L 為上半,從 A (4, 0) 到O(0,0).,解: 為了使用格林公式, 添加輔助線段,它與L 所圍,原式,圓周,區(qū)域?yàn)镈 , 則,練習(xí) 計(jì)算,31,解,記L所圍成的閉區(qū)域?yàn)镈,其中

6、L為一條分段光滑,且不經(jīng)過原點(diǎn)的連續(xù)閉曲線, L的方向?yàn)槟鏁r針方向.,例,令,有,32,即L為不包圍原點(diǎn),的任一閉曲線.,即L為包圍原點(diǎn)在內(nèi)的任一,閉曲線.,由格林公式,應(yīng)用由格林公式,得,作位于D內(nèi)圓周,33,注意格林公式的條件,其中l(wèi) 的方向取,逆時針方向,34,定理2. 設(shè)D 是單連通域 ,在D 內(nèi),具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),(1) 沿D 中任意光滑閉曲線 L , 有,(2) 對D 中任一分段光滑曲線 L, 曲線積分,(3),(4) 在 D 內(nèi)每一點(diǎn)都有,與路徑無關(guān), 只與起止點(diǎn)有關(guān).,函數(shù),則以下四個條件等價:,在 D 內(nèi)是某一函數(shù),的全微分,即,二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價條件,35

7、,說明: 積分與路徑無關(guān)時, 曲線積分可記為,證明 (1) (2),設(shè),為D 內(nèi)任意兩條由A 到B 的有向分段光滑曲,線,則,(根據(jù)條件(1),36,證明 (2) (3),在D內(nèi)取定點(diǎn),因曲線積分,則,同理可證,因此有,和任一點(diǎn)B( x, y ),與路徑無關(guān),有函數(shù),37,證明 (3) (4),設(shè)存在函數(shù) u ( x , y ) 使得,則,P, Q 在 D 內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),從而在D內(nèi)每一點(diǎn)都有,38,證明 (4) (1),設(shè)L為D中任一分段光滑閉曲線,(如圖) ,利用格林公式 , 得,所圍區(qū)域?yàn)?證畢,39,根據(jù)定理2 , 若在某區(qū)域內(nèi),則,2) 可用積分法求d u = P dx + Q dy在域 D 內(nèi)的原函數(shù):,及動點(diǎn),或,則原函數(shù)為,取定點(diǎn),1) 計(jì)算曲線積分時, 可選擇方便的積分路徑;,說明:,40,其中L為,(1) 拋物線,(2) 有向折線,解: (1) 原式,(2) 原式,例 計(jì)算,41,解,原式=,原積分與路徑無關(guān).,例,42,是某個函數(shù)的全微分, 并求,出這個函數(shù).,證: 設(shè),則,由定理2可知, 存在函數(shù) u (x , y) 使,。,。,例 驗(yàn)證,43,在右半平面 ( x 0 ) 內(nèi)存在原函,數(shù) , 并求出它.,證: 令,則,由定理2 可知存在原函數(shù),例. 驗(yàn)證,