動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的描述

1、第二章 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的描述,2-1 SISO線性連續(xù)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模型 時(shí)域模型：微分方程 權(quán)函數(shù)和卷積 階躍響應(yīng) 狀態(tài)方程 頻域模型：傳遞函數(shù)G(S) 頻率特性G(j) 連續(xù)系統(tǒng)的離散化,第二章 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的描述,2-2 線性離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模型 線性差分方程 權(quán)序列與卷積和 狀態(tài)方程 2-3 隨機(jī)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 隨機(jī)噪聲的數(shù)學(xué)模型 隨機(jī)型差分方程 預(yù)報(bào)誤差模型,2-1 線性連續(xù)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模型,時(shí)域模型：微分方程 線性系統(tǒng)輸入u(t)，輸出y(t)，u(t)的n階導(dǎo)數(shù)與y(t)的n階導(dǎo)數(shù)分別用u(n)(t)與y(n)(t)表示，用微分方程描述n階線性定常系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性：,(2-1-1),2-1 線性

2、連續(xù)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模型,時(shí)域模型：權(quán)函數(shù)和卷積 系統(tǒng)輸入為單位脈沖(t)，輸出g(t)為脈沖響應(yīng)： 系統(tǒng)在任意輸入u(t)作用下，有：,(2-1-2),2-1 線性連續(xù)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模型,時(shí)域模型：權(quán)函數(shù)和卷積 考慮到0時(shí)，u()=0，g()=0，那么： 或者等價(jià)的有： 稱為u(t)與g(t)的卷積，g(t)為權(quán)函數(shù)（加權(quán)函數(shù)）。已知g(t) 可求出任意u(t)作用下的y(t),(2-1-3),(2-1-3),2-1 線性連續(xù)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模型,時(shí)域模型：階躍響應(yīng)函數(shù) 輸入為單位階躍函數(shù)： 輸出為單位階躍響應(yīng)函數(shù)： 若令t -=，則有：,(2-1-4),(2-1-5),(2-1-6),2-1 線性連續(xù)系統(tǒng)

3、的動(dòng)態(tài)模型,單位階躍相應(yīng)函數(shù)k(t)與g(t)之間的關(guān)系： 已知k(t)可求出任意u(t)作用下的y(t)：,2-1 線性連續(xù)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模型,時(shí)域模型：狀態(tài)方程 把高階微分方程改寫成一階微分方程組可以得到狀態(tài)方程： 其中x(t)為k維列向量，A為kk維矩陣，B為k維列向量，C為k維行向量，d為標(biāo)量。與(2-1-1)式輸入輸出關(guān)系等價(jià)的狀態(tài)方程(2-1-7)式不是唯一的,(2-1-7),2-1 線性連續(xù)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模型,頻域模型：傳遞函數(shù)G(s) 由微分方程(2-1-1)式的拉氏變換可以得到： 由狀態(tài)方程(2-1-7)式的拉氏變換可以得到：,2-1 線性連續(xù)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模型,頻域模型：頻率特性G(j

4、) 令G(s)中的s=j ，得到： 幅頻特性： 相頻特性： 對(duì)數(shù)幅頻特性、對(duì)數(shù)相頻特性：Bode圖 幅相頻率特性：Nyquist圖,(2-1-12),2-1 線性連續(xù)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模型,連續(xù)系統(tǒng)的離散化：從解微分方程的角度 近似認(rèn)為在一個(gè)采樣周期中u(t)保持不變；求解x(t)和y(t)而得到離散化后的方程，即經(jīng)過采樣后系統(tǒng)的狀態(tài)方程： 離散化后方程（k=t0，k+1=t）：,(2-1-26),2-1 線性連續(xù)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模型,連續(xù)系統(tǒng)的離散化：從解微分方程的角度 因?yàn)樵谝粋€(gè)采樣周期T中u(t)將保持不變：,2-1 線性連續(xù)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模型,連續(xù)系統(tǒng)的離散化：從拉氏變換到Z變換的角度 對(duì)象G0(s)

5、離散后的Z傳遞函數(shù)G0(z)是： 其中零階保持器的傳遞函數(shù)為： 從以上兩個(gè)角度得到的結(jié)果完全等價(jià),2-2 線性離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模型,SISO系統(tǒng)的線性定常差分方程 其中k即kT，aj,bj是常系數(shù)，移位算子q-1y(k) =y(k-1),(2-2-1),(2-2-2),2-2 線性離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模型,與Z傳遞函數(shù)的關(guān)系 對(duì)于SISO系統(tǒng)，可以找出差分方程與Z傳遞函數(shù)之間的關(guān)系。零初始條件下對(duì)(2-2-1)式進(jìn)行Z變換： 其中z=e-Ts，按Z傳遞函數(shù)定義，有：,2-2 線性離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模型,MIMO系統(tǒng)的差分方程 式(2-2-1)的SISO系統(tǒng)差分方程表達(dá)方法可以推廣到MIMO系統(tǒng)。設(shè)系統(tǒng)具有

6、m個(gè)輸入和r個(gè)輸出，可以定義：,2-2 線性離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模型,MIMO系統(tǒng)的差分方程 系統(tǒng)可以用向量的差分方程來表示 方程中Aj，Bj分別是rr和rm維常系數(shù)矩陣 用向后一步平移算子來表示： 其中I、A1等為rr維矩陣，B0、B1等為 rm維矩陣,2-2 線性離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模型,SISO系統(tǒng)的權(quán)序列與卷積和 權(quán)序列定義：系統(tǒng)對(duì)于單位脈沖序列(k)的響應(yīng) SISO系統(tǒng)的權(quán)序列為h(i), i=0, 1, 2, 系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系可以表示為離散卷積和: 在i0時(shí)，u(i)=0，h(i)=0：,2-2 線性離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模型,權(quán)序列與Z傳遞函數(shù)的關(guān)系 權(quán)序列與差分方程的關(guān)系 比較等式兩邊相同冪次z

7、-i的系數(shù)，可得：,2-2 線性離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模型,MIMO系統(tǒng)的權(quán)序列 考慮m輸入r輸出的多變量系統(tǒng)，權(quán)序列表達(dá)式變成權(quán)矩陣序列H(i)，其中第i個(gè)權(quán)矩陣為： 矩陣中元素hkl(k)表示第l個(gè)輸入和第k個(gè)輸出之間的權(quán)系數(shù)。相應(yīng)的卷積和為：,2-2 線性離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模型,SISO系統(tǒng)的狀態(tài)方程 SISO線性定常系統(tǒng)有： 其中x(k)為n維列向量，為nn維矩陣，為n維列向量，G為n維行向量，d為標(biāo)量,(2-2-12),2-2 線性離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模型,SISO系統(tǒng)的狀態(tài)方程 假定系統(tǒng)(2-2-12)完全能控能觀，則： 那么該系統(tǒng)的權(quán)序列與差分方程是唯一確定的 反之，對(duì)應(yīng)某一差分方程或權(quán)序列，狀態(tài)

8、變量選擇不同，獲得狀態(tài)方程參數(shù)不同 但特定的規(guī)范型是唯一的。一般形式的狀態(tài)方程通過等秩變換，可以得到規(guī)范型,2-3 隨機(jī)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,確定系統(tǒng)：無(wú)噪聲干擾 隨機(jī)系統(tǒng)：有噪聲干擾 噪聲：隨機(jī)因素或難以確定描述的因素 加性噪聲： 非加性噪聲：,混合信號(hào),有用信號(hào),隨機(jī)噪聲,非加性函數(shù),2-3 隨機(jī)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,隨機(jī)噪聲過程的數(shù)學(xué)模型 考慮加性噪聲、對(duì)復(fù)雜噪聲的抽象的統(tǒng)計(jì)描述 隨機(jī)過程x(t),過程的實(shí)現(xiàn),固定時(shí)刻為隨機(jī)變量,2-3 隨機(jī)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,隨機(jī)噪聲過程的數(shù)學(xué)模型 給定時(shí)刻的分布規(guī)律 不同時(shí)刻的相互關(guān)系 高維分布函數(shù)：不同時(shí)刻的統(tǒng)計(jì)特性,2-3 隨機(jī)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,平

9、穩(wěn)隨機(jī)過程 嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程：概率特性不隨時(shí)間改變 寬平穩(wěn)隨機(jī)過程：數(shù)字特征不隨時(shí)間改變 均值： 均方值： 方差： 協(xié)方差： 自相關(guān)函數(shù)：,2-3 隨機(jī)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)與平均功率譜密度 確定性過程 其中x(t)與X(w)為傅立葉變換對(duì),平均功率,功率譜密度,2-3 隨機(jī)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)與平均功率譜密度 隨機(jī)過程 自相關(guān)函數(shù)Rxx()與平均功率譜密度Sx(w)是傅立葉變換對(duì),平均功率,平均功率譜密度,2-3 隨機(jī)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,典型的隨機(jī)過程 白噪聲過程w(t)或w(k)：理想化的平穩(wěn)隨機(jī)過程 有色噪聲過程：經(jīng)過線性環(huán)節(jié)濾波的白噪聲,均值為零,能量均勻,彼此無(wú)關(guān),彼此相關(guān),2-3 隨機(jī)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,隨機(jī)型差分方程 確定型差分方程 隨機(jī)型差分方程,白噪聲,有色噪聲,通常b0=0,2-3 隨機(jī)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,隨機(jī)型差分方程 受控自回歸滑動(dòng)平均模型（CARMA） 受控自回歸模型（CAR）,Auto Regression,Controlled,Moving Average,2-3 隨機(jī)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,隨機(jī)型差分方程 自回歸滑動(dòng)平均模型（ARMA） 自回歸模型（AR） 滑動(dòng)平均模型（MA）,2-3 隨機(jī)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,預(yù)報(bào)誤差模型（PEM: Predictive Error Model） 描述動(dòng)態(tài)隨機(jī)模型的